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1、1,第三讲,矩阵对角化的步骤,第五章 相似矩阵与二次型,2,定理 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵 的充,要条件是 A 有 n 个线性无关的特征向量.,推论 若 n 阶矩阵 A 有 n 个不同的特征值,则A 必能相似于对角矩阵.,矩阵可对角化的条件,3,我们先假设存在可逆矩阵 ，使,将 用其列向量表示为,由 得 ，即,4,于是 ，这说明 是 的特征值， 是 的对应于特征值 的特征向量。这就是 的具体构造方法.,因为 可逆，所以,线性无关.,5,n1 + n2 + + ns = n.,矩阵对角化的步骤,设 n 阶方阵 A 可对角化，则把 A对角化的,步骤如下：,Step1 ：求出矩阵 A 的所有特
2、征值，设 A,有 s 个不同的特征值 1 , 2 , , s ，它们的重,数分别为 n1, n2 , , ns , 有,6,Step2 : 对 A 的每个特征值 i ,求(A - iE)x = 0,的基础解系, 设为,( i = 1, 2, , s ) . 以这些向量为列构造矩阵,7,上的元素( A 的特征值 ) 之间的对应关系.,则 P-1AP = .,要注意矩阵 P 的列与对角矩阵 主对角线,8,例2 判断下列实矩阵能否化为对角阵？若可， 则将其对角化，并写出相似变换矩阵P及对角 矩阵 。,解：,9,得,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,当 时，齐次线性方程组为,得基础解系,10,线性
3、无关,即A有3个线性无关的特征向量，所以A可以对角化。,相似变换矩阵,相似对角阵,11,当 时，解,12,实对称矩阵的相似对角化,定理1 实对称矩阵的特征值为实数.,定理2 设A为 n 阶实对称矩阵，是A的特征方 程的r 重根,则矩阵A-E的秩R(A-E)=n-r，从 而对应于特征值恰有 r 个线性无关的特征向量.,定理3 设A为 n 阶实对称矩阵，则必有可逆阵P， 使得 P-1AP = ，其中 是以A的n 个特征值为对 角元素的对角阵.,13,例3 将下面实对称矩阵A相似对角化,解：特征多项式,14,15,小结：,3. 若A有n个线性无关的特征向量,一、矩阵对角化的步骤,其中是以A的n个特征值为对角元素的对角阵.,二、实对称矩阵必可对角化,