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1、二、形变和形变梯度张量,（一）形变,（1）定义： 物体在平衡的外力或外力矩作用下发生形状和尺寸的变化称为形变。,（2）分类,按宏观表现来分类: 形变可分为简单剪切、均匀拉伸和压缩、纯剪切、纯扭转、纯弯曲、膨胀和收缩等。,实际材料发生地变形和受力情况是复杂的，要找出其应力应变的关系十分困难。因此，在流变学中采用一些理想化的实验，使形变能准确定义和分析。这种理性化的实验被称为简单实验。 在简单实验中，材料是均匀的，各向同性的，而材料被施加的应力而发生形变也是均匀和各向同性的。下面讨论在这些简单实验中的形变的定义。,实际物体的形变往往是这些简单形变的复杂组合。高分子液体流动中发生的主要形变方式有剪切
2、、拉伸、压缩及其组合。, 简单剪切形变 物体内一些平行平面彼此作相对移动，相对移动的大小与平面间距成比例，移动方向与平面平行。,图矩形材料经简单剪切变为底角为90-的平行四边形，矩形内任一质点P（X1，X2，X3）位移到平行四边形中的P(x1，x2，x3）点位置， 其位置矢量由X变为x。由图可以导出简单剪切形变的描述方程：,均匀拉伸形变,发生均匀拉伸形变时，物体在一个或几个坐标轴方向经历均匀伸缩。若三个坐标轴方向都有伸缩形变，则形变可由如下方程描写,式中1、2、3 称为拉伸比，可为常数或时间t 的函数，的值可以作为拉伸形变的一种度量。,假定在拉伸形变过程中材料的体积保持不变，则有图给出两种典型
3、的拉伸形变过程。,a表示一维拉伸形变，其形变度量可记为：11,2=3=1/0.5 ;,b表示二维拉伸形变，材料在x2 x3 两个方向受到拉伸，形变度量记为： 21, 31, 1=1/23,各向同性膨胀和压缩,在各向同性膨胀中，任何形状的试样都变为几何形状相似但尺寸较大地试样。 形变度量记为： 11 ，21, 31,各向同性压缩中，任何形状的试样都变为尺寸较小的试样。 形变度量记为： 11 ，2 1, 31,若1=2=3，则表明物体经历均匀膨胀或压缩；,（二）流动与变形新的描述,a、所谓物体的形变实际上可视为该物体在不同时刻，在空间占有不同位形（也称构型）的相互比较。,若选择物体的原形为参考位形
4、，而以后的一系列时刻中，物体在空间分别占有一系列不同的位形，那么可以认为，选择任一时刻物体的位形与参考位形对比，就是对物体形变的描述。,b、所谓物体流动在一个时间序列中，对物体位形连续变化的描述。,C、流动与变形新描述的特点 是一种与时间有关的大变形有限形变 形变时间进程中，这种形变描述始终是针对同一材料元的。,由于粘弹性材料的力学松弛行为，这种跟踪十分必要，因为当一个材料元经历有限形变时，它对于固定原点的坐标位置会发生变化，而以往用固定坐标定义的形变度量已失去了意义。,关于参考位形的选择，必须指出固体和液体的差别。,对固体而言，它有原始形状，一般取原始位形作为参考位形。,而液体无原始形状，因
5、此人们只能根据现在时刻其占据的位形加以区别，故一般选现在时（t）的位形为参考位形，反回去讨论以往时刻（t）的形变情形。,（三）形变梯度张量,设在时刻t1， t2物体分别占有空间位形1、位形2;在t1时刻物体内的任一线元d X,在t2时刻占据的空间位置变为d x,则定义t1-t2 时刻间，物体内发生的形变梯度为：,F形变梯度张量，这是一个二阶张量。用分量式展开来写，记为：,一般来说， F一个非对称张量，这一性质决定了F不是形变的恰当度量。 原因：一个好的形变度量应该具有无形变时度量不变的性质，但F在刚体的纯转动中（此时并无形变发生）也会发生变化。从应力张量的性质看，应力张量和偏应力张量都是对称张
6、量，由此可见与其相对应的形变度量也应该是对称张量。, 简单剪切形变,图矩形材料经简单剪切变为底角为90-的平行四边形，矩形内任一质点P（X1，X2，X3）位移到平行四边形中的P(x1，x2，x3）点位置， 其位置矢量由X变为x。由图可以导出简单剪切形变的描述方程：,均匀拉伸形变,发生均匀拉伸形变时，物体在一个或几个坐标轴方向经历均匀伸缩。若三个坐标轴方向都有伸缩形变，则形变可由如下方程描写,F形变梯度张量，这是一个二阶张量。用分量式展开来写，记为：,一般来说， F一个非对称张量，这一性质决定了F不是形变的恰当度量。 原因：一个好的形变度量应该具有无形变时度量不变的性质，但F在刚体的纯转动中（此
7、时并无形变发生）也会发生变化。从应力张量的性质看，应力张量和偏应力张量都是对称张量，由此可见与其相对应的形变度量也应该是对称张量。,（四）、Cauchy-Green形变张量和Finger形变张量,F构成一些新的张量，这些张量是对称张量，它们能正确的描述有限形变。这些张量有Cauchy-Green形变张量，定义为：,式中FT为F的转置张量,Cauchy-Green张量分量式记为：,利用了张量的性质,Finger形变张量，定义为：,F-1为F的逆张量,利用了张量的性质,Finger张量分量式记为：,注意Cauchy 张量与Finger 张量不是有限应变的等值度量。Cauchy张量与Finger张量
8、的不同之处在于其定义不同，形象地说：,例1 简单剪切形变中形变张量,简单剪切形变：x1=X1+X2tg,x2=X2,x3=X3 根据定义，形变梯度张量为：,求逆矩阵的方法：用定义，当AB=E(或BA=E)且A,B为方阵时，有A-1=B 用伴随矩阵 用初等变换法,形变张量分别记为：,可以看出，F确实为非对称张量，而C和C-1 均为对称张量，后者具有无形变时度量不变的性质。,例2 均匀拉伸形变中形变张量,均匀拉伸形变：x1=1X1, x2=2X2,x3=3X3 根据定义,得到：,三、速度梯度,在流动过程中，与流体应力状态相关的更重要物理量，往往不是形变的大小，而是形变进行的速率，它与流动场中的速度
9、梯度密切相关。,速度梯度张量定义：设在某一瞬时位形，流体内的流动速度场为v，如下：,速度矢量v和位置矢量x 都应是同一瞬时位形中的物理量。,分量式记为,速度梯度张量L 一般为非对称张量，按张量性质，一个非奇异的二阶张量总可以分解成一个对称张量与一个反对称张量之和。于是可以将L写成：,式中,其中d为对称张量，称形变率张量，表征了材料形变的速率。为反对称张量，称旋转速率张量，与材料的形变无关。,例1 简单剪切流场中的形变率张量,简单剪切流场，一律取x1方向为流动方向，X2方向为速度梯度方向，第三个方向X3为中性方向。 简单剪切流场的速度场为：,式中称剪切速率，单位为s-1,x1,x3,x2,由此得
10、速度梯度张量：,分解L得到形变率张量d和旋转速率张量分别为：,可以看出，d为对称张量，为反对称张量。,例2 均匀拉伸流场中的形变率张量,在纤维纺丝、薄膜吹塑等工艺过程以及在一切流道截面积有变化的流场中都有强烈的拉伸流动存在。,在拉伸流场中流体的速度方向与速度梯度的方向是相同的，流体的速度方向为x1方向，而速度的梯度方向也同样在x1方向，v1只是x1坐标的函数， v1=v1（x1）。,一维单轴拉伸流场。设 x1方向为拉伸方向，速度场：v1=v1（x1） 模仿简单剪切流场，拉伸速率同样用速度梯度定义，为,对于不可压缩流体, 若在第1方向受到拉伸, 则必然在第2、3方向被反拉伸，而且第2、3方向是对
11、等的，因此有v2=v30。按不可压缩流体的连续性方程有：,即,有,由此得：,说明在一维拉伸流场中， 材料元只受到拉伸形变，不发生旋转。,二维双轴拉伸流场。设x1,x2 为拉伸方向，速度场为,需要定义两个方向的拉伸速率,由此得到速度梯度张量和形变率张量为：,这是拉伸流场与剪切流场的本质区别， 剪切流场中，速度与速度梯度的方向相互垂直； 拉伸流场中，速度与速度梯度的方向相互平行。,称二维等幅拉伸流动,称二维不等幅拉伸流动,思考题,一、解释下列名词 1、震凝性流体 2、偏应力张量 3、Weissenberg效应 二、填空题 1、流变学是研究材料 及 的科学，遵从 定律的液体称为牛顿流体，遵从 定律的固体称为胡克弹性体。 2、按Cauchy应力定律，平衡时，物体所受的合外力与合外力矩均等于零，因此单位立方体平衡时剪切应力分量Tij= (i,j=1,2,3)。若静止液体内只有法向应力，无剪切应力，则应力分量Tij= (ij)。,判断下列说法是否正确。 1、触变性流体可认为是假塑性流体，同样假塑性流体也一定是触变性流体。 （ ） 2、法向应力差值的大小是高分子流体弹性效应的量度。（ ） 3、静止液体内只有法向应力，无剪切应力，且T11T22=T33=-P。（ ） 4、由于高分子液体的流动单元是链段，因此粘流活化能的大小与分子链结构有关，而与总分子量关系不大。（ ）,