离散傅里叶变换DFT.ppt

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1、离散傅里叶变换,1753年，Bernoulli就推断一振动的弦可以表示成正弦加权和的形式，但是他未能给出所需的加权系数。 Jean-Baptiste-Joseph Fourier于1768年3月出生在法国的Auxerre，当他8岁时不幸成了一名孤儿，被收养在一个宗教界主办的军事学校中。在此期间，Fourier对数学产生了浓厚的兴趣。21岁那年，Fourier在巴黎学术界论述了有关数值方程解的著名论作，这一工作使他在巴黎的数学界出名。Fourier不仅是公认的大数学家，而且他还是一位杰出的教师。他灵活运用历史典故使得他的讲座非常生动。实际上，Fourier所研究的主要领域是数学史。Fourier

2、是最早以应用的眼光来解释抽象数学概念的研究者之一。 1798年，拿破仑侵略埃及，在侵略队伍中一些有名的数学家和科学家，Fourier就是其中的一位，他负责组织修建第一条从格勒诺布尔到都灵的道路。Fourier也是一个拥有独特想法的一个怪才。例如，他认为酷热是理想的环境，因此，他喜欢居住在严热的小屋里，并穿上厚厚的衣服。1801，法国决心召回自己的军队，于是Fourier才得以重返家园。 回国后，Fourier被任命为格勒诺布尔伊泽尔省的长官，就是在此期间，Fourier完成了其经典之作Theorie analytiquede la chaleur(热能数学原理)。在该著作中，他证明了任一周期函

3、数都可以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率为频率的整数倍。,Fourier,离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。,1.1 离散傅里叶变换（DFT）,为了便于更好地理解DFT的概念，先讨论

4、周期序列及其离散傅里叶级数（DFS）表示。 1.1.1 离散傅里叶级数（DFS） 一个周期为N的周期序列，即 ， k为任意整数，N为周期 周期序列不能进行Z变换，因为其在 n=-到+ 都周而复始永不衰减，即 z 平面上没有收敛域。但是，正象连续时间周期信号可用傅氏级数表达，周期序列也可用离散的傅氏级数来表示，也即用周期为N的正弦序列来表示。,将周期序列展成离散傅里叶级数时，只需取 k=0 到(N-1) 这N个独立的谐波分量，所以一个周期序列的离散傅里叶级数只需包含这N个复指数， 利用正弦序列的周期性可求解系数 。 将上式两边乘以 ，并对一个周期求和,上式中 部分显然只有当k=r时才有值为1,其

5、他任意k值时均为零,所以有 或写为 1) 可求 N 次谐波的系数 2） 也是一个由 N 个独立谐波分量组成的傅立叶级数 3） 为周期序列，周期为N。,时域上周期序列的离散傅里叶级数在频域上仍是一个周期序列。,是一个周期序列的离散傅里叶级数(DFS)变换对，这种对称关系可表为： 习惯上：记 ，,假设 都是周期为 N 的两个周期序列，各自的离散傅里叶级数为：,1）线性,a,b为任意常数,DFS的几个主要特性：,证:因为 及 都是以N为周期的函数，所以有,2）序列移位,由于 与 对称的特点，同样可证明,证:,同理:,对于复序列 其共轭序列 满足,3）共轭对称性,进一步可得,共轭偶对称分量,共轭奇对称

6、分量,4）周期卷积 若 则 或,周 期 卷 积,证： 这是一个卷积公式，但与前面讨论的线性卷积的差别在于，这里的卷积过程只限于一个周期内（即 m=0N-1），称为周期卷积。 例： 、 ，周期为 N=7, 宽度分别为 4 和 3 ，求周期卷积。 结果仍为周期序列，周期为 N 。,由于DFS与IDFS的对称性，对周期序列乘积，存在着频域的周期卷积公式， 若,则,1.1.2 离散傅里叶变换（DFT）,我们知道周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因此它的许多特性可推广到有限长序列上。 一个有限长序列 x(n)，长为N， 为了引用周期序列的概念，假定一个周期序列 ，它由长度为 N 的有限长序列 x(n

7、) 延拓而成，它们的关系：,周期序列的主值区间与主值序列： 对于周期序列 ，定义其第一个周期 n=0N-1，为 的“主值区间”，主值区间上的序列为主值序列 x(n)。 x(n)与 的关系可描述为： 数学表示： RN(n)为矩形序列。 符号(n)N 是余数运算表达式，表示 n 对 N 求余数。,例： 是周期为 N=8 的序列，求 n=11 和 n=-2 对 N的余数。 因此,频域上的主值区间与主值序列：,周期序列 的离散傅氏级数 也是一个周期序列，也可给它定义一个主值区间 ，以及主值序列 X(k)。 数学表示：,长度为N的有限长序列 x(n) ，其离散傅里叶变换 X(k) 仍是一个长度为N 的有

8、限长序列，它们的关系为： x(n) 与 X(k) 是一个有限长序列离散傅里叶变换对，已知 x(n) 就能唯一地确定 X(k) ，同样已知 X(k) 也就唯一地确定 x(n) ，实际上 x(n) 与 X(k) 都是长度为 N 的序列（复序列）都有N个独立值，因而具有等量的信息。 有限长序列隐含着周期性。,DFT的矩阵方程表示,DFT特性：,以下讨论DFT的一些主要特性，这些特性都与周期序列的DFS有关。 假定x(n)与y(n)是长度为N的有限长序列，其各自的离散傅里叶变换分别为： X(k)=DFTx(n) Y(k)=DFTy(n) (1) 线性 DFTax(n)+by(n)=aX(k)+bY(k

9、) ,a,b为任意常数,(2) 循环移位 有限长序列x(n)的循环移位定义为： f(n)=x(n+m)NRN(n) 含义：1) x(n+m)N 表示 x(n) 的周期延拓序列 的移位： 2) x(n+m)NRN(n) 表示对移位的周期序列 x(n+m)N 取主值序列, 所以f(n)仍然是一个长度为N的有限长序列。f(n)实际上可看作序列 x(n)排列在一个N等分圆周上，并顺时针旋转 m 位。,循环移位,循环移位,移位前,左移两位后,证：利用周期序列的移位特性： 实际上，利用WN-mk的周期性，将f(n)=x(n+m)NRN(n)代入DFT定义式，同样很容易证明。,序列循环移位后的DFT为 F（

10、k）=DFTf（n）= x（k）,同样，对于频域有限长序列X(k)的循环移位，有如下反变换特性： IDFTX(k+l)NRN(k)= x（n）,（3）循环卷积 若 F（k）=X（k）Y（k） 则 或,证：这个卷积可看作是周期序列 卷积后再取其主值序列。将F（k）周期延拓，得： 则根据DFS的周期卷积公式： 因0mN-1时，x(m)N=x(m)，因此 经过简单的换元可证明：,这一卷积过程与周期卷积比较，过程是一样的，只是这里只取结果的主值序列，由于卷积过程只在主值区间0mN-1内进行，所以 实际上就是 y（m）的圆周移位，称为“循环卷积”，习惯上常用符号“”表示循环卷积，以区别于线性卷积。,同样

11、，若 f(n)=x(n)y(n)， 则,（4）有限长序列的线性卷积与循环卷积（循环卷积的应用） 实际问题的大多数是求解线性卷积，如信号 x(n)通过系统 h(n) ，其输出就是线性卷积 y(n) = x(n) * h(n)。而循环卷积比起线性卷积，在运算速度上有很大的优越性，它可以采用快速傅里叶变换（FFT）技术，若能利用循环卷积求线性卷积，会带来很大的方便。 现在我们来讨论上述 x(n)与h(n)的线性卷积，如果 x(n) 、 h(n)为有限长序列，则在什么条件下能用循环卷积代替而不产生失真。,有限长序列的线性卷积：,假定 x(n)为有限长序列，长度为N， y(n)为有限长序列，长度为M，

12、它们的线性卷积f(n) = x(n) * y(n)也应是有限长序列。 因 x(m)的非零区间： 0mN-1， y(n-m)的非零区间： 0n-mM-1， 这两个不等式相加，得： 0nN+M-2， 在这区间以外不是x(m) =0，就是y(n-m) =0，因而f(n)=0。因此， f(n)是一个长度为N+M-1的有限长序列。,循环卷积：,重新构造两个有限长序列 x(n)、y(n)，长度均为 L maxN,M ，序列 x(n)只有前N个是非零值，后L-N个为补充的零值；序列 y(n)只有前M个是非零值，后L-M个为补充的零值。为了分析 x(n)与y(n)的循环卷积，先看x(n),y(n)的周期延拓：

13、,根据前面的分析，f（n）具有 N+M-1 个非零序列值，因此，如果周期卷积的周期 LN+M-1，那么 f（n）周期延拓后，必然有一部分非零序列值要重叠，出现混淆现象。只有 LN+M-1 时，才不会产生交叠，这时 f（n）的周期延拓 中每一个周期L内，前N+M-1个序列值是f（n）的全部非零序列值，而剩下的 L （N+M-1）点的序列则是补充的零值。 循环卷积正是周期卷积取主值序列： 所以使圆周卷积等于线性卷积而不产生混淆的必要条件是： LN+M-1,比较线性卷积与循环卷积,例: 设有两个序列，x(n)为N=4矩形序列，y(n)为M=6矩形序列，观察其线性卷积和圆周卷积。 由线性卷积定义可直接

14、验证，两者的线性卷积f(n)=x(n)*y(n)具有N+M-1=9个非零值,其结果见下图左半部分(c)，不同L下的圆周卷积结果在图的右半部分。 图 线性卷积和循环卷积 图中（d）、（e）、（f），反映了不同L下循环卷积与线性卷积之间的关系，图（d）中L=6，产生严重的混淆，致使fl(n)与f（n）已完全不同，图（e）中L=8，这时有两点（n=0，n=8）发生混淆失真，只有图（f）中，满足条件LN+M-1=9，循环卷积与线性卷积相同（与图（c）比较）。,（5）共轭对称性 设 x*(n)为 x(n)的共轭复数序列，则 DFTx*(n)=X*(N-k) 证： DFTx*(n) 0kN-1 由于 因此

15、， DFTx*(n),说明： 当k=0时，应为X*(N-0)=X*(0)，因为按定义X（k）只有N个值，即0kN-1，而XN已超出主值区间，但一般已习惯于把X（k）认为是分布在N等分的圆周上，它的末点就是它的起始点，即XN= X0，因此仍采用习惯表示式 DFTx*（n）=X*（N-k） 以下在所有对称特性讨论中，XN均应理解为XN=X0， 同样，x(N)=x(0)。,Xe(k)和X0(k)表示实部与虚部序列的DFT，则,显然， Xe(k)与Xo(k)对称性： 故 因此,Xe(k)具有共轭对称性，称为X(k)的共轭偶对称分量。,用同样的方法可得到 X0(k)= - X*0(N-k) 即Xo(k)

16、具有共轭反对称特性，称其为X(k)的共轭奇对称分量。 对于纯实数序列 x（n），即x（n）=xr（n），X（k）只有共轭偶对称部分，即X（k）=Xe（k），表明实数序列的DFT满足共轭对称性，利用这一特性，只要知道一半数目的 X（k），就可得到另一半的 X（k），这一特点在DFT运算中可以加以利用，以提高运算效率。,根据x(n)与X(k)的对称性，同样可找到X(k)的实部、虚部与x(n)的共轭偶部与共轭奇部的关系。 分别以xe (n)及x0 (n)表示序列x(n)的圆周共轭偶部与圆周共轭奇部： 同样应从圆周意义上理解 x(N-0)=x(0)。 可证明: DFTxe(n)=ReX（k） DFTx

17、0(n)=jImX（k）,（6）选频性 （对0有限制？） 对复指数函数 进行采样得复序列 x(n) 0nN-1 其中q为整数。当0=2/N时，x（n）=ej2nq/N,其离散傅里叶变换为 写成闭解形式 可见，当输入频率为q0时，变换X（K）的N个值中只有 X（q）=N，其余皆为零，如果输入信号为若干个不同频率的信号的组合，经离散傅里叶变换后，不同的k上，X（k）将有一一对应的输出，因此，离散傅里叶变换算法实质上对频率具有选择性。,例:求余弦序列,的DFT,（7）DFT与Z变换 有限长序列可以进行z变换 比较z变换与DFT变换，可见，当z=w-kN时， 即,图 DFT与z变换,o,o,o,o,o

18、,o,o,o,o,o,o,X(ej),X(k),o,Rez,jImz,o,变量,周期,分辨率,是z平面单位圆上幅角为 的点，即将z平面上的单位圆N等分后的第k点。,1）X(k)也就是z变换在单位圆上等间隔的采样值。 2）X(k)也可看作是对序列傅氏变换X(ej)的采样，采样间隔为： N=2/N。 即,结论：,采样定律告诉我们，一个频带有限的信号，可以对它进行时域采样而不丢失任何信息； DFT变换进一步告诉我们，对于时间有限的信号（有限长序列），也可以对其进行频域采样，而不丢失任何信息，这正反应了傅立叶变换中时域、频域的对称关系。它有十分重要的意义，由于时域上的采样，使我们能够采用数字技术来处理这些时域上的信号（序列），而DFT的理论不仅在时域，而且在频域也离散化，因此使得在频域采用数字技术处理成为可能。 FFT就是频域数字处理中最有成效的一例。,（8）DFT形式下的Parseval定理,令k = 0, 得到,