第一章有效数字和误差分析.ppt

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1、随着科学技术的飞速发展，科学计算愈来愈显示出其重要性。科学计算的应用之广已遍及各行各业；例如：气象、地震资料的分析图像，飞机、汽车及轮船的外形设计，油藏的数值模拟，高科技研究等都离不开科学计算。因此，作为科学计算的数学工具的数值计算方法已成为各高等院校数学、物理和计算机应用专业等理工科本科生的专业基础课，也是工科硕士研究生的学位必修课。,为什么要开设这个课呢？,1.绪论,1. 认识建立算法和对每个算法进行理论分析是基本 任务，主动适应“公式多”的特点； 2. 注重各章建立算法的问题的提法，搞清问题的基 本提法，逐步深入； 3. 理解每个算法建立的数学背景，数学原理和基本 线索，对最基本的算法要

2、非常熟悉； 4. 认真进行数值计算的训练，学习各章算法完全是,为用于实际计算，必须真会算。,如何进行学习？,数值分析又称计算方法或数值计算方法，是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它研究的是各种数学问题的一类近似解法数值方法，即从一组原始数据（如模型中的某些参数）出发，按照确定的运算规则进行有限步运算，最终获得数学问题数值形式的满足精度要求的近似解。,1.1 研究对象,数值分析方法课程主要讨论如何构造求数学模型近似解的算法，讨论算法的数学原理、误差和复杂性，配合程序设计进行计算试验并分析试验结果。,与纯数学的理论方法不同，用数值分析所求出的结果一般不是解的精确值或者准确的解析表达

3、式，而是所求真解的某些近似值或近似曲线。,根据数学模型提出求解的数值计算方法直到编出程序上机算出结果，这一过程便是数值分析研究的对象,数值计算方法的任务,数值计算方法的主要特点,借助计算机提供切实可行的数学算法.,通过数值实验证明算法行之有效.,采用“近似替代”方法逼近 采用“构造性”方法 采用“离散化”方法 把求连续变量的问题转化为求离散变量的问题 采用“递推化”方法 复杂的计算归结为简单过程的多次重复，易于用循环结构来实现（迭代法）。 采用各种搜索方法,构造数值算法主要手段,1、数值逼近 插值与拟合、数值积分与微分 2、数值代数 线性代数方程组的解法、非线性代数方程（组）的解法 3、微分方

4、程数值解 ODE PDE,1.2 研究内容,1.3.1 误差的来源与分类,从实际问题中抽象出数学模型 模型误差,例:质量为m的物体，在重力作用下,自由下落， 其下落距离s 与时间t 的关系是：,其中 g 为重力加速度。,1.3 误差,通过测量得到模型中参数的值 观测误差,求近似解 方法误差 （截断误差）,例如，当函数,用 maclaurin 多项式,近似代替时，数值方法的截断误差是,机器字长有限 舍入误差,用计算机、计算器和笔算，都只能用有限位, = 3.1415926,小数来代替无穷小数或用位数较少的小数来,代替位数较多的有限小数，如：,四舍五入后,在数值计算方法中，主要研究截断误差和舍入误

5、差 （包括初始数据的误差）对计算结果的影响！,1.3.2 误差与有效数字,1、绝对误差与绝对误差限,例 :若用以厘米为最小刻度的尺去量桌子的长，大约为1.45米，求1.45米的绝对误差。,1.45米的 绝对误差=？,不知道！,定义：设 是准确值，为 的一个近似值，称,是近似值 的绝对误差,简称为误差。,但实际问题往往可以估计出 不超过某个正数 ，,即 则称 为绝对误差限，有了绝对误差限,就可以知道 的范围为,即 落在 内。,在应用上，常常采用下列写法来刻划 的精度。,例1 设x =3.1415926 近似值x* =3.14,它的绝 对误差是 0.0015926，有, x-x*=0.001592

6、6 0.002=0.210-2 例2 又近似值x* =3.1416，它的绝对误差是 0.0000074，有 x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5 例3 而近似值x* =3.1415，它的绝对误差是 0.0000926，有 x-x*=0.0000926 0.0001=0.110-3 可见，绝对误差限*不是唯一的，但*越小越好,2、相对误差与相对误差限,定义：设 是准确值， 是近似值，是近似值的误差，,通常取,为近似值 的相对误差，记作 ，,称,一般情况下是不知道 的，怎么办？,事实上，当 较小时,是 的二次方项级,故可忽略不计.,相应地，若正数,满足,则称 为 的相对误

7、差限。,例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差限 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差限 乙打字时的相对误差限,3 、有效数字,定义：如果,则说 近似表示 准确到小数后第 位，并从这,由上述定义,第 位起直到最左边的非零数字之间的一切数字都,称为有效数字，并把有效数字的位数称为有效位数。,定义 :,若近似值 的误差限是某一位的半个单位,也即，若,其中， 是1到9中的一个数字； 是 0到9中一个数字； 为整数，且,该位到 的左边第一位非零数字共有 位,就说 有 位有效数字。,取 作 的近似值， 就有三位有效数字；,取 作 的近似值， 就有五位有效数字。,例如：,x

8、-x*=0.0015926 0.002=0.210-20.510-2,前面例1,前面例2,x-x*=0.0000074 0.000008=0.810-5 0.510-4,关于有效数字说明 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.3450.0005=1/210-3 把任何数

9、乘以10p(p=0,1,)不影响有效位数 准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积 S=1/2ah=0.5ah 因为0.5是真值,没有误差 *=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字,4 、误差限与有效数字的关系,则 至少具有 位有效数字。,Th1：,对于用 式表示的近似数 ，若 具有 位有效,数字，则其相对误差限为,反之，若 的相对误差限为,例5 已知近似数x*有两位有效数字，试求其相 对误差限 解：已知 n=2 代入公式 r*=1/2x1 10-(n-1)得 r*=1/2x1 10-1 x*的第一位有效数字x1没有给出，可进行如下讨论：当 x1=1 r*=1/2x1 10-1=1/2*1 1

10、0-1=5% x1=9 r*=1/2x1 10-1=1/2*9 10-1=0.56% 取 x1=1 时相对误差为最大，即 5%,例6 已知近似数x*的相对误差限为0.3%，问x* 有几位有效数字？ 解：由,得,当x1=1时,310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1) 上式两边取以10为底的对数得 lg22+lg3+(-3)=-n+1 lg2=0.3010 lg3=0.4771 20.3010+0.4771-4=-n n=2.9209 当x1=9时,310-3=1/2010-(n-1) 610-3=10-n 上式两边取以10为底的对数得 lg2+lg3+(-3)=-n n=

11、2.2219 x*至少有3位有效数字,例7 为使 的近似数的相对误差小于0.1%， 问查开方表时，要取几位有效数字？ 解： 8 9 x1=8, -(n-1)2.7448 取 n =3即查平方表时 8.37取三位有效数字,1.3.3 数值运算的误差估计,1、四则运算的误差估计,两个近似数 与 ,其误差限分别为 及 , 它们进行加减乘除运算得到的误差限分别为,从而有,的相对误差,对于近似值,，函数,在,舍去右边第二项得到,即,的绝对误差,可以得到,附近按泰勒展式展开得到,2、函数误差估计,当自变量有误差时，计算函数值也会产生误差，其误差限可利用函数的Taylor展开式进行估计。,对绝对误差式两边取

12、绝对值得,故,的相对误差限,的误差限,而,解释：,当 为多元函数时计算 ,如果,的近似值为 ,则 的近似为,于是函数值 的误差 由Taylor展开,得：,多元函数的情况,于是误差限为,而 的相对误差限为,式(1),例8:已测得某场地长 的值为 ,宽 的值为 ,已知 , .试求 面积 的绝对误差限与相对误差限.,解: 因,其中,由式(1)得,而,于是绝对误差限为,相对误差限为,3、 算法的数值稳定性,数值计算在设计算法时首先关心的是由它产生的计算结果的稳定性，而算法的稳定性与舍入误差是否增长密切相关。一个算法如果输入数据有微小扰动（即误差），而在计算过程中舍入误差不增长，则称此算法是数值稳定的，

13、否则称其为数值不稳定。,例9：求定积分,的值.,解：直接积分可产生递推公式,若取初值,可得递推公式,按公式就可以逐步算出,What happened?!,不稳定的算法 ！,这就是误差传播所引起的危害 !,注意此公式精确成立，且,由题设中的递推公式（1）可看出， 的误差扩大了,5倍后传给 ，因而初值 的误差对以后各步,这就造成 的计算结果严重失真。,计算结果的影响，随着 的增大愈来愈严重。,要怎么做才能解决这个问题呢?,可求得I9 0.017，按改写后的公式可逐次求得,不妨设I9 I10，于是由,(2),I8 0.019 I7 0.021 I6 0.024 I5 0.028 I4 0.034 I

14、3 0.043 I2 0.058 I1 0.088 I0 0.182,稳定的算法 ！,在我们今后的讨论中，误差将不可回避， 算法的稳定性会是一个非常重要的话题。,注：递推公式(1)的舍入误差以5的幂次增长进行传播，因此是数值不稳定的，而递推公式(2)的舍入误差在一定范围内以0.2的幂次进行传播，随着n的增大，误差逐步减少，因此该算法是数值稳定的。,因此，可以看出数值不稳定的算法是不能使用的，实际计算中对任何输入数据都是数值稳定的算法，称为无条件稳定。而对某些数据数值稳定，对其它数据数值不稳定的算法，称为条件稳定。,病态问题和条件数,如果问题的输入数据有微小扰动，就会引起输出结果数据 （即解）的

15、很大扰动，称这样的问题为病态问题。相反的情形 称为良态问题。对于病态的数学问题，用通常的算法求数值解 都是不稳定的。,病态和良态是相对的，没有严格的界限，通常用条件数大小 来衡量问题的病态程度，条件数越大病态可能越严重。,条件数c(x)越大，f(x)的相对误差越大，通常认为,时，问题是病态的。,1.3.4 数值计算中应该注意的一些原则,1.要选择数值稳定的计算公式,定义 一种数值方法，若原始数据有误差，而在计算的过程中，由于舍入误差的传播，使得近似计算结果与准确值相差很大，则称这种数值方法是不稳定的。否则，在计算的过程中，若舍入误差得到控制，近似计算结果能逼近准确值，则称这种数值方法是稳定的。

16、,从而有,对上式两边求绝对值得,2.要避免两个相近的数相减,在数值计算中，两个相近的数作减法时 有效数字会损失。,例11: 求,当x = 1000，y 的准确值为0.01580,类似地,(2) 若将原式改写为,则 y = 0.01581,(1)直接相减,有3位有效数字！,只有1位有效数字,3.尽量避免绝对值太小的数作分母,例12：,如分母变为0.0011，也即分母只有0.0001的变化时,结果相差这么大!,4. 避免大数吃小数,精确解为, 算法1：利用求根公式,例13：用单精度计算 的根。,在计算机内，109存为0.11010，1存为0.1101。做加法时，两加数的指数先向大指数对齐，再将浮点

17、部分相加。即1 的指数部分须变为1010，则：1 = 0.0000000001 1010，取单精度时就成为： 109+1=0.100000001010+0.00000000 1010=0.10000000 1010,算法2：先解出,再利用,注：求和时从小到大相加，可使和的误差减小。,例14：试按从小到大、以及从大到小的顺序分别计算,1 + 2 + 3 + + 40 + 109,5. 简化计算步骤，避免误差积累。,一般来说，计算机处理下列运算的速度为,例15：多项式求值：给定的x 求下列n 次多项式的值。,解：1. 用一般算法，即直接求和法；,2. 逐项求和法；,3. 秦九韶方法(即Hornor算法）；,先计算x2, x3, , xn, 再作线性组合，需做 2n-1次乘法和n次加法。,解法一：直接求和法,解法二：逐项求和法,按顺序依次计算每一项的值再求和，需做 n(n+1)/2次乘法和n次加法。,解法三：秦九韶算法（即Horner算法）,只需做n次乘法和n次加法。且可以递推实现。,