《第五章定积分的应用.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章定积分的应用.ppt（40页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第七章 定积分的应用,第一节 定积分的几何应用,三、已知平行截面面积函数的 立体体积,二、 平面图形的面积,*四、 平面曲线的弧长,一 、定积分应用的微元法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一、 定积分应用的微元法,用定积分计算的量的特点：,(1) 所求量（设为,）与一个给定区间,有关，且在该区间上具有可加性.,就是说，,是确定于,上的整体量，,当把,分成许多小区间时，,整体量等于各部分量之和，即,(2) 所求量,在区间,上的分布是不均匀的，,也就是说，,的值与区间,的长不成正比.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,用定积分概念解决实际问题的四个步骤：
2、,第一步：将所求量,分为部分量之和，即:,第二步：求出每个部分量的近似值，,第三步：写出整体量,的近似值，,第四步：取,时的,极限，则得,“大化小 , 常代变 , 近似和 , 取极限 ”,观察上述四步我们发现，第二步最关键，,因为最后的被积表达式的形式就是在这一步被确定的，,这只要把近似式,中的变量记号改变一下即可,而第三、第四两步可以合并成一步：,在区间,上无限累加，即在,上积分.,至于第一步，它只是指明所求量具有可加性，这是,能用定积分计算的前提，,于是，上述四步简化后形成实用的微元法.,定积分应用的微元法：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,于是，上述四步简化后形成实用的微元法.,(一
3、) 在区间,上任取一个微小区间,然后写出在这个小区间上的部分量,的近似值，,记为,(称为F的微元）,（二） 将微元,上积分（无限累加），,即得,表示为,什么问题可以用定积分解决 ?,1) 所求量 F 是与区间a , b上的某分布 f (x) 有关的,2) F 对区间 a , b 具有可加性 ,即可通过,“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”,定积分定义,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一个整体量 ;,如何应用定积分解决问题 ?,第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量的,微分表达式,第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的,积分表达式,这种分析方法成为元素法 (
4、或微元分析法),元素的几何形状常取为:,条, 带, 段, 环, 扇, 片等,近似值,精确值,第二节 目录 上页 下页 返回 结束,二、用定积分求平面图形的面积,1. 直角坐标系下的面积计算,设曲线,与直线,及 x 轴所围曲,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,边梯形面积为 A ,右下图所示图形面积为,例1. 计算两条抛物线,在第一象限所围,所围图形的面积 .,解: 由,得交点,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例2. 计算抛物线,与直线,的面积 .,解: 由,得交点,所围图形,为简便计算, 选取 y 作积分变量,则有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例3. 求椭圆,解: 利用对称性
5、,所围图形的面积 .,有,利用椭圆的参数方程,应用定积分换元法得,当 a = b 时得圆面积公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程,给出时,则曲边梯形面积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 极坐标情形,求由曲线,及,围成的曲边扇形的面积 .,在区间,上任取小区间,则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为,所求曲边扇形的面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例4. 求双纽线,所围图形面积 .,解: 利用对称性 ,则所求面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、已知平行截面面积函数的立体体积,设所给立体垂直于x 轴的截面面积为A(x),则
6、对应于小区间,的体积元素为,因此所求立体体积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,上连续,例5. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 ,并,与底面交成 角,解: 如图所示取坐标系,则圆的方程为,垂直于x 轴 的截面是直角三角形,其面积为,利用对称性,计算该平面截圆柱体所得立体的体积 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考: 可否选择 y 作积分变量 ?,此时截面面积函数是什么 ?,如何用定积分表示体积 ?,提示:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,特别 , 当考虑连续曲线段,轴旋转一周围成的立体体积时,有,当考虑连续曲线段,绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时,有,机动 目录 上页
7、 下页 返回 结束,例6. 计算由椭圆,所围图形绕 x 轴旋转而,转而成的椭球体的体积.,解: 方法 利用直角坐标方程,则,(利用对称性),机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法2 利用椭圆参数方程,则,特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 平面图形的面积,边界方程,参数方程,极坐标方程,直角坐标方程 (作业P138 1.(1),机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 已知平行截面面面积函数的立体体积,旋转体的体积 (作业P138 10.(2),绕 x 轴 :,绕 y 轴 :,第二节,一、 变力沿直线所作的功,二、 液体对平
8、面薄板的压力,三、 转动惯量,定积分在物理学上的应用,一、 变力沿直线所作的功,设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 xa 移动到,力的方向与运动方向平行,求变力所做的功 .,在其上所作的功元,素为,因此变力F(x) 在区间,上所作的功为,例1.,一个单,求电场力所作的功 .,解:,当单位正电荷距离原点 r 时,由库仑定律电场力为,则功的元素为,所求功为,说明:,位正电荷沿直线从距离点电荷 a 处移动到 b 处 (a b) ,在一个带 +q 电荷所产生的电场作用下,例2.,体,求移动过程中气体压力所,解:,由于气体的膨胀, 把容器中的一个面积为S 的活塞从,点 a 处移动到点 b 处
9、 (如图),作的功 .,建立坐标系如图.,由波义耳马略特定律知压强,p 与体积 V 成反比 , 即,功元素为,故作用在活塞上的,所求功为,力为,在底面积为 S 的圆柱形容器中盛有一定量的气,例3.,试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ?,解: 建立坐标系如图.,在任一小区间,上的一薄层水的重力为,这薄层水吸出桶外所作的功(功元素)为,故所求功为,( KJ ),设水的密度为,(KN),一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m,面积为 A 的平板,二、液体侧压力,设液体密度为,深为 h 处的压强:,当平板与水面平行时,当平板不与水面平行时,所受侧压力问题就需用积分解决 .,平板一侧所受的
10、压力为,小窄条上各点的压强,例4.,的液体 , 求桶的一个端面所受的侧压力.,解: 建立坐标系如图.,所论半圆的,利用对称性 , 侧压力微元素,端面所受侧压力为,方程为,一水平横放的半径为R 的圆桶,内盛半桶密度为,说明:,当桶内充满液体时,小窄条上的压强为,侧压力元素,故端面所受侧压力为,奇函数,三、转动惯量,质量为 m 的质点关于轴 l 的转动惯量为,则需用积分解决 .,关于质量连续分布 的物体绕轴的转动惯量问题,例5 一均匀细杆长为l,质量为m,试计算细杆绕过它的,中点且垂直与杆的轴的转动惯量.,解 选择坐标系(如图),先求转动惯量微元dl,为此考虑细杆上x,x+dx一段,它的质量为,把这一小段杆设想为位于x处的一个质点,于是微元为,则沿细杆积分的整个细杆转动惯量为,内容小结,(1) 先用微元分析法求出它的微分表达式 dQ,一般微元的几何形状有:,扇、片等.,(2) 然后用定积分来表示整体量 Q , 并计算之.,1.用定积分求一个分布在某区间上的整体量 Q 的步骤:,2.定积分的物理应用:,变力作功 ,侧压力 ,转动惯量等.,条、段、环、带、,1已知总产量的变化率求总产量 .,二、经济应用问题举例,2、已知边际函数求总量函数 .,思考题,