第四章本构关系2.ppt

《第四章本构关系2.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第四章本构关系2.ppt（88页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、第四章 本构关系,4.1 广义胡克定律 4.2 弹性应变能函数 4.3 屈服函数与应力空间 4.4 德鲁克公设与伊留申公设 4.5 常用的屈服条件 4.6 增量理论 4.7 全量理论 4.8 塑性势的概念,第四章 本构关系,4.5 常用的屈服条件,1. 最大剪应力条件,Tresca 屈服条件,Tresca认为当最大剪应力达到某个极限值时材料将进入屈服,f (ij) =,max- k1=,（1）单轴拉伸：屈服时1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件 k1= s/2,（2）简单剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s, 代入屈服条件 k1= s,k1=s/2=s,12 = 2k1 13 =

2、2k1 23 = 2k1,若1、2、3不规定大小顺序，则屈服条件是,由对称性拓展后，得到平面上的一个正六边形。,屈服条件为：,在主应力空间中，他们构成一母线平行于L直线的正六边形柱面。,在 平面上，上式给出的屈服轨迹呈斜六边形，如图。这相当于正六边形柱面被 的平面斜截所得的曲线。,对于平面应力状态，当 时，上式变为,一定的应力状态在应力平面上是一个确定的点(应力点),当应力点在屈服六边形内部时,材料处于弹性阶段;当应力点达到屈服六边形上的任一点时,材料开始进入塑性状态.,对于理想弹塑性材料,应力点不可能跑出屈服六边形之外.,采用Treca条件就意味着,1、在主应力方向和大小顺序都已知时，Tre

3、sca条件很便于应用，其表达式简单，而且还是线性的。,然后可用应力偏张量的不变量的形式写成,Treca屈服条件的适用范围,2、在主应力方向已知，但其大小顺序未知时，不失一般性，屈服条件可写为：,3、主应力方向未知，很难用表达式描述。,Treca屈服条件一般仅适用于主应力方向已知的情况。,sijeij= sijsij= J2,J2与弹性状态的形状改变能成正比,J2 的物理意义,J2也与材料八面体上的剪应力成比例,2. 畸变能条件,畸变能条件认为,与物体中一点的应力状态对应的畸变能达到某一数值时,该点便屈服,Mises屈服条件,Mises在1913年提出了屈服条件：当偏应力的第二不变量达到某个极限

4、时,f (ij) =,r= k2 =const，,Mises屈服条件在平面上是一个圆，在应力空间是一圆柱体，,Mises条件又称为 最大八面体剪应力屈服条件,其中,材料常数k2由简单实验确定 （1）单轴拉伸：屈服时 1 =s，2 =3 =0，代入屈服条件 （2）剪切：屈服时 =s 1= s，2=0，3= s,，屈服条件 J2= =k22 k2 = s。 因此，如果材料服从Mises屈服条件，则 s= s,根据畸变能条件, 纯剪切屈服应力是简单拉伸屈服应力的 倍.,两种屈服条件比较,如假定单轴拉伸时两个屈服面重合，则Tresca六边形内接于Mises圆； 如假定简单剪切时两个屈服面重合，则Tre

5、sca六边形外切于Mises圆,1、实验表明，多数金属材料的屈服性态接近Mises屈服条件。,Tresca屈服条件与Mises屈服条件的适用范围：,2、在应用上， 主应力方向已知时用Tresca条件较方便。 主应力方向未知时用Mises 条件较方便。,而无论何种情形，二者的相对偏差不会超过15.5%。,3、在实际问题中，并不限制使用何种屈服条件，二者都可用。,Lode实验 1926年，Lode进行了薄壁圆筒受拉力T和内水压p共同作用的实验。取圆筒的平均半径为R，厚度为t，,任一点的应力状态是,= z = r=0,Lode参数为,改变T与p的比值关系，可以得到不同的。例如 当T=0，= 1；T=

6、R2p，=0；T=2R2p，=1。 当 0T2R2p时，1 1,=1,Tresca屈服条件为,Mises屈服条件为,建立以（13）/s为纵轴，为横轴的坐标系, 将试验结果与屈服条件绘于（13）/s 的坐标系中进行比较,Taylor和Quinneyz实验 于1931年在薄壁圆筒受拉力T和扭转M联合作用下进行了实验。,在这种情况下，应力状态是,Tresca屈服条件为,Mises屈服条件为,3. 混凝土材料的屈服条件,混凝土,岩石一类的工程材料的受压强度要比受拉强度高的多,这种材料在通常情况下为脆性材料.,拉伸和压缩的力学性能差别很大,实验表明, 混凝土材料的屈服曲线如图.,考察一任意剪切面，该面上

7、的剪应力为n，正应力为n， 推动剪切滑移的有效剪切力是n 阻止剪切滑动力：内摩擦力(n) tan，粘结力C,Mohr-Coulomb屈服条件,Mohr条件： n = (n) tan C 随静水压力增长，减小，在 应力平面上不是直线，而是曲线，,Coulumb条件： 对于土和受静水压力不太大的岩石，可假定角为常数，为直线,n= (1 +3)+ (1 3)sin n= (1 3)cos,(1 3) + (1 + 3)sin Ccos = 0,屈服条件用主应力(123)表示,其中函数 反映了静水压力对屈服的影响。,在主应力空间的 平面上则表现为一个非正六边形。,或,当123时，Mohr-Coulom

8、b屈服条件可写成,单轴拉伸屈服应力,单轴压缩屈服应力,金属塑性（位错滑移） 屈服只取决于偏应力，而与静水压力无关。 不存在塑性体积变形， 拉伸和压缩的塑性特性几乎一致,岩土材料（岩土材料内部包含大量的微裂纹） 在受拉状态下一般表现为脆性而几乎不产生塑性变形。 只有在受压状态，由于微裂纹的扩展或闭合裂纹表面的相对滑动， 才可能产生类似于金属的塑性变形,4. 岩土屈服条件,拉伸和压缩的力学性能差别很大,产生应变软化现象,产生塑性体积膨胀变形,与静水压力有关,具有弹塑性耦合,岩土材料塑性变形的特性与金属材料不同 Tresca和Mises屈服条件及其相关联的流动法则不再适当; 屈服面和流动法则等概念可

9、以借用，需进行适当的修正,德鲁克和普拉格提出了一种适用于岩土材料的屈服条件. 实际上是对米泽斯条件的一种改进和发展.,其中,当 时该屈服条件就退化为米泽斯条件, 当3=0时,即为二维应力状态时的屈服条件,其中 c 和 分别为材料的粘性系数和内摩擦角.,其图形为一偏离原点的椭圆.,例：有一圆形截面的均匀直杆,处于弯扭符合应力状态,起简单拉伸时的屈服应力为300MPa, 设弯矩为M=10KN.m, 扭矩Mi=30KN.m, 要求安全系数为1.2, 则直径d为多少才不屈服? (书66页),解: 处于弯扭作用下,杆内主应力为,其中,(1) 由最大剪应力条件(特雷斯卡)给出,(2) 由最大畸变能条件(米

10、泽斯)给出,并考虑安全系数,例. 一薄壁圆管，平均半径为R，壁厚为t，受内压p作用，讨论下列三种情况： （1） 管的两端是自由的； （2） 管的两端是封闭的； 分别使用Mises和Tresca屈服条件，讨论p多大时管子开始屈服（规定纯剪时两种屈服条件重合）,解： 将Mises和Tresca中的材料常数k1和k2都使用纯剪时的屈服极限表示， 并使得两种屈服条件重合，则有 Mises屈服条件: J2 = s2 Tresca屈服条件: 13=2s,（1） 管的两端是自由的； 应力状态为，z = 0， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( ) = 2(pR

11、/t)2= (pR/t)2 13 = = pR/t 对于Mises屈服条件: 对于Tresca屈服条件: 13 =k1=2s p = 2st/R,（2）管段的两端是封闭的； 应力状态为，z= pR/2t， = pR/t，r=0，zr=r=z J2 = (zr)2+(r)2+(z)2+6( )= (pR/t)2 13 = = pR/t 对于Mises屈服条件： p = 2st/R 对于Tresca屈服条件： p = 2st/R,4.6 增量理论(流动理论),补充: 正交流动法则,塑性应变增量 必须沿着外法向方向n,假定屈服函数 f 与静水压力无关， 必然是一个偏张量， 因此， 也是偏张量，即塑性

12、体积是不可压缩的。,dp与n两者方向一致，则Drucker公设变为 dn 0 只有当应力增量指向加载面外时才产生塑性变形，即加载准则。,补充: 加载、卸载准则,Drucker稳定性条件：,由于 与外法线n同向，上式改写成：,只有当应力增量指向加载面外部时，材料才能产生塑性变形。,（4-12）,（4-13）,判断能否产生新的塑性变形，需判断：,（1） 是否在 上。,（2） 是否指向 的外部。,加卸载准则,加载：指材料产生新的塑性变形的应力改变。 卸载：指材料产生从塑性状态回到弹性状态的应力改变。,、理想材料的加卸载准则,理想材料的加载面与初始屈服面是一样的。,由于屈服面不能扩大，所以当应力点达到

13、屈服面上， 应力增量 不能指向屈服面外，而只能沿屈服面切线。,对于Tresca屈服面：,加载,卸载,二、强化材料的加载、卸载准则,强化材料的加载面在应力空间不断扩张或移动。,这里，中性变载相当于应力点沿加载面切向变化， 应力维持在塑性状态但加载面并不扩张的情况。,一、概述,塑性本构关系,材料超过弹性范围之后的本构关系。此时，应力与应变之间不存在一一对应的关系，只能建立应力增量与应变增量之间的关系。,这种用增量形式表示的塑性本构关系，称为增量理论或流动理论。,进入塑性阶段后，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。,对于金属材料,由于平均正应力的作用物体所产生的变形只可能是弹性体积改变,而不会产生

14、塑性体积改变.在应力偏量作用下,物体则将产生畸变,不发生体积改变.,物体畸变又包括两部分,即弹性变形和塑性变形. 塑性变形仅由应力偏量所引起.,假设在塑性状态下,材料是不可压缩的,即体积变形等于零.,或,而,应变偏量增量的分量为,且应力偏量的增量为,在弹性阶段,根据广义胡克定律有,则应变偏量增量的弹性部分分量为,有,在弹性阶段，应力偏量增量与应变偏量增量成比例，比例常数为 2G。,同时可以得到增量形式的广义胡克定律,塑性应变增量,假定: 在塑性变形过程中的任一微小时间增量内,塑性应变增量与瞬时应力偏量成比例.,有,或,或,得到 总应变增量与应力偏量之间的关系：,普朗特-雷斯方程,进入塑性阶段后

15、，应变增量可以分解为弹性部分和塑性部分。,由Hooke定律，,由Drucker公设，,（4.6.1）,（4.6.2）,给出了塑性应变增量 与加载函数 之间的关系。,流动法则,（4.6.3）,将（4.6.2）、（4.6.3）代入（4.6.1）得：,增量形式的塑性本构关系：,（4.6.4）,表示，塑性应变增量依赖于该瞬时的应力偏量,而不是达到该状态所需的应力增量.即应力主轴与塑性应变增量主轴相重合.,这里引进了参数 d ,同时也增加了一个屈服条件,因为d 在应力满足屈服条件时才不等于零,因此可以通过屈服条件来求 d .,将第一式减去第二式,两边平方得:,参照书24页(2-35)和37页(3-36)

16、:,定义 有效应力(应力强度) 和 有效塑性应变增量(塑性应变强度增量),塑性本构方程,转化为:,普朗特-雷斯方程的另外一种形式,在上式中,将塑性应变增量换成总应变增量,即忽略弹性应变部分,则得到 莱维-米泽斯方程,反映了塑性变形过程的不可压缩性和塑性变形的非线形,及其对加载路径的依赖性等.,4.7 全量理论 (形变理论),认为应力和应变之间存在着一一对应的关系，因而用应力和应变的全量建立起来的塑性本构方程，又称形变理论。,全量理论,在单调加载的情况下应力和应变之间存在一一对应关系，这时塑性变形相当于非线性弹性问题，可用全量理论求解。,( 理论),基本假定:,1. 物体是各向同性的；,2. 体

17、积改变服从弹性定律:,其中,当加载加载过程中，任一点的各应力分量都按比例增长，即各应力分量与一个共同的参数成比例，在这种情况下，增量理论便可简化为全量理论。称这种加载方式为比例加载。,其中k为单调增长的时间函数,则,现假设 、 和 分别为时刻 的任非零的参考应力状态、应力强度和平均正应力，根据比例加载，则任意瞬时t 的应力状态必为,这样,增量理论中的方程,对上式等号两边积分，得,上述全量理论的本构方程式，称为汉基依留申方程,展开得,在小变形条件下:,实际上是物理非线性弹性理论的本构方程，把它用于弹塑性过程时，必须在全部变形过程中保证物体内各点的应力都处于比例加载过程。,但当卸载时，由于塑性应变

18、保持不变，本构关系发生改变，所以在卸载过程中，应力分量的改变量与应变分量的改变量应服从广义虎克定律。,卸载以后的应力和应变，可用外载荷的改变量作为假想载荷作用到物体上，按弹性理论求出应力和应变，再从卸载前的相应的应力和应变中减去这些因卸载引起的应力与应变的改变量，从而得到卸载后的应力与应变状态。这就是卸载所应遵守的法则。显然，当外载荷全都卸去后，所得到的应变和应力即为残余应变和残余应力。,二、简单加载和单一曲线假定,简单加载：,单元体的应力张量各分量之间的比值保持不变， 按同一参量单调增长。,复杂加载：不满足这一条件的加载情形。,对于Mises条件，不论强化模型如何， 加载路径始终沿半径方向。

19、即 沿 的方向。,而 的方向可由 表示。,则,加入弹性应变增量,此即理想弹塑性材料的Prandtl-Reuss关系,在简单加载条件下，将上式积分，得,在简单加载条件下增量理论同全量理论是等价的。,单一曲线假定:,实验证明，只要是简单加载或偏离简单加载不大，尽管在主应力空间中射线方向不同， 曲线可近似地用单向拉伸曲线表示。,儒可夫()于1955年曾用镍铬钢薄管,对受轴向拉伸及内压作用进行了实验研究。,三、简单加载定理,简单加载定理（1946）：,如果满足下面一组充分条件，物体内部每个单元体都处于简单加载之中。这组条件是：,1.小变形； 2.材料不可压缩，即 ； 3.载荷按比例单调增长； 4.材料

20、的 曲线具有幂函数的形式。,其中，1、3是必要条件，2、4是充分而非必要条件。,4.8 塑性势的概念,塑性位势理论,将塑性应变增量表示为塑性位势函数对应力取微商。,（*）,其中 是塑性位势函数。,两种情况：,1、服从Drucker公设的材料，塑性势函数g就是加载函数， 即 ，此时（4.6.5）式称为与加载条件相关连的流动法则。,由于加载面和塑性应变增量正交，也称为正交流动法则。,2、当加载面和塑性应变增量不正交， 此时（*）式 称为与加载条件非关连的流动法则。主要用于岩土材料。,考虑畸变能屈服函数：,展开得到：,或,有：,由塑性变形过程中材料的不可压缩性,有,塑性势函数与屈服函数f 重合,意味

21、着屈服面上任一点只有唯一的外法线,但是,在采用最大剪应力条件时,在角点和棱边处将出现外法线不唯一的情况.,采用最大剪应力条件,则在AB边上有,在AF边上有,在AB边上有,在AF边上有,相加后,得到A点处的本构关系(流动法则),讨论:,平衡方程为:,几何关系为:,本构方程为:,弹性解: 当P足够小时,三杆均处于弹性状态,应力与应变成比例.,由于,故,杆1最先到达塑性状态,当,于是桁架开始出现塑性变形的载荷为,P1 称为弹性极限载荷,弹塑性解:,由基本方程可得,当,桁架全部进入塑性状态，对应的载荷为,塑性解:,由基本方程可得,在P由零逐渐增加（单调加载）的过程中，桁架变形可以分为三个不同的阶段,在

22、弹塑性阶段，杆虽然进入塑性状态，但由于其余两杆仍处于弹性阶段，杆的塑性变形受到限制，整个桁架的变形仍限制在弹性变形的量级，这个阶段可称为约束的塑性变形阶段在塑性阶段，三杆都进入塑性状态，桁架的变形大于弹性变形量级 一般说来，所有的弹塑性结构在外力的作用下，都会有这样三个变形的阶段,例 一薄壁圆管同时受拉扭和内压作用，有应力分量,泊松比 求：,（）当应力分量之间保持 比例从零开 始加载，问 多大时开始进入屈服？,（）开始屈服后，继续给以应力增量，满足 及 求对应的 及 值,分别对Mises和Tresca两种屈服条件进行分析,Mises：,屈服准则为,代入上式得到,屈服后，增量本构关系为：,Tresca：,因为,所以，屈服准则为：,将其展开后得,将该式微分，得,时达到屈服,作 业(习题),4-3 (1) 4-4,