(第5讲)谓词逻辑.ppt

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1、谓词逻辑,解：假设,(著名的苏格拉底三段论)设自然语言中的三个命题： 所有的人都是要死的； 苏格拉底是人。 所以，苏格拉底是要死的。,P：所有的人都是要死的； Q：苏格拉底是人。 R：苏格拉底是要死的。,则有：PQ R,在命题逻辑中，如果用P、Q、R 表示以上3个命题，则应用 PQR表示上述推理。显然，命题公式(PQ) R不是重言式。 可是凭我们的直觉可知上述论断是正确的，这就是命题逻辑的局限性。 原因是没有将P、Q、R之间的内在联系反映出来。要反映这种内在联系，就要对简单命题作进一步的分析，分析出其中的个体词、谓词、量词等，研究它们的形式结构及逻辑关系，总结出正确的推理形式和规则，这就是谓词

2、逻辑所研究的内容，谓词逻辑也称一阶逻辑。,1.6谓词和量词,例：如有句子： 张红是一个西南科技大学的学生； 王南是一个西南科技大学的学生； 李华是一个西南科技大学的学生。 则在命题中必须要用三个命题P，Q，R来表示。,但是，它们都具有一个共同的特征： “是一个西南科技大学的学生”,描述相同 对象不同,1.6.1 谓词,在句子中，可以独立存在的客体称为个体词，而用以刻划客体的性质或客体之间的关系即是谓词。 表示方法：个体词用a,b,c,.a1,等表示， 谓词用A,B,C, .A1, 等表示。,例： 张红是一个西南科技大学的学生；,由此，我们定义谓词 P:是一个西南科技大学的学生,个体词 a1:张

3、红 a2:王南 a3:李华,P(a1),为方便理解，谓词描述为 A(x),B(x),C(x), .,设有如下命题： P：上海是一个现代化的城市； Q：甲是乙的父亲； R：3介于2和5之间。 T：李兰与高翔是同班同学。,例,解：设有如下谓词： C（x）：x是一个现代化的城市； F（x，y）： x是y的父亲； B（x，y，z）：x介于y和z之间； S（x，y）： x与y是同班。,则上述命题可表示为： P：C（上海） Q：F（甲，乙） R：B（3，2，5） T：S（李兰，高翔）,谓词中个体词的顺序是十分重要的，不能随意变更。 一元谓词用以描述某一个个体的某种特性或性质，而n元谓词则用以描述n个个体之

4、间的关系。0元谓词(不含个体词的)实际上就是一般的命题。 一个n元谓词不是一个命题，但将n元谓词中的个体变元都用个体域中具体的个体取代后，就成为一个命题。而且，个体变元在不同的个体域中取不同的值对是否成为命题及命题的真值有很大的影响。,几个结论,表示具体或特定的个体词称为个体常量，一般个体词常量用带或不带下标的小写英文字母a,b,c,a1,a2,a3.,表示。 表示抽象的或泛指的个体词称为个体变量，一般用带或不带下标的小写英文字母x,y,z,.,x1,x2,x3,表示。 个体词的取值范围称为个体域或论域，常用D表示。而宇宙间的所有个体域聚集在一起所构成的个体域称为全总个体域。 设D为非空的个体

5、域，定义在Dn(表示n个个体都在个体域D上取值)上取值于0,1上的n元函数，称为n元谓词,记为P(x1,x2,xn)。此时，个体变量x1,x2,xn的定义域都为D，P(x1,x2,xn)的值域为0，1。,其他定义,1.6.2 量词,符号化下述命题： 所有的老虎都要吃人； 每一个人都会犯错误； 有一些人是大学生； 有的自然数是素数。,R（x）：x会吃人；R(x) (x老虎) P（x）：x会犯错误；P(x) (x人) Q（x）：x是大学生；Q(x) (x人) S（x）：x是素数。S(x) (x自然数),量词的定义,定义6.3(x)称为全称量词。(x)为存在量词,其中的x称为作用变量。一般将其量词加

6、在其谓词之前，记为(x)F(x),(x)F(x)，此时，F(x)称为全称量词和存在量词的辖域。,引进如下两个符号： (x):所有的x； (x)：有些x； 任意的x； 至少有一个x； 一切的x； 存在x； 每一个x；等等。 等等。,例 (续),(x)R(x) (x老虎) (x)P(x) (x人) (x)Q(x) (x人) (x)S(x) (x自然数),在例中，利用量词则有：,解：设立如下谓词： R（x）：x会吃人； P（x）：x会犯错误； Q（x）：x是大学生； S（x）：x是素数。,例 (续),有时，由于个体域的注明不清楚，造成无法确定其真值。或对于同一个公式，不同的个体域有可能带来不同的真值

7、。,在例中，利用量词会有：,例如： (x)R(x) (x老虎). 若个体域不注明,则该命题无法判断. 若(x人),则该命题为假.,全总个体域,对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴涵的前件加入。 对于存在量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为合取式之合取项加入。,基于上述情况，必须对个体域进行统一，全部使用全总个体域，此时，对每一个句子中个体变量的变化范围用一定之特性谓词刻划之。则这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵循如下原则：,例 (续),解： U(x)：x是老虎； (x)(U(x)R(x) H(x)：x是人； (x)(H(x)P(x) H(x)：x是人； (x)(H(x)Q(x)

8、T(x)：x是自然数； (x)(T(x)S(x),对于前例中的例子运用特性谓词描述。,考虑以下形式的命题在谓词逻辑中的符号化问题。 (1)所有人都是要死的。 (2)有些人不怕死。,因此，引进特性谓词，M(x) ：x是人。 (1)“所有人总是都要死的。”应符号化为: ； (2)“有些人不怕死。”符号化为: 。,各概念间的关系如下图所示：,量词的特点 在使用量词时，应注意以下6个特点： 1.在不同的个体域中，同一命题符号化的形式可能不一样。 2.如果事先没有指明个体域，都应以全总个体域为个体域。 3.在引入特性谓词后，使用全称量词与存在量词符号化的形式是不同的。 4.个体域和谓词的含义确定之后，n

9、元谓词要转化为命题至少需要n个量词。,17,5.当个体域为有限集时，如D=a1,a2,an，由量词的定义可以看出，对于任意的谓词A(x)，都有 (1) (2) 这实际上是将谓词逻辑中的命题公式转化为命题逻辑中的命题公式问题。 6.多个量词同时出现时，不能随意颠倒它们的顺序。颠倒后会改变原命题的含义。,18,在谓词逻辑中将下面命题符号化。 (1)凡有理数均可表示成分数。 (2)有的有理数是整数。 要求：1)个体域为有理数集合。 2)个体域为全总个体域。,解:1)个体域为有理数集合，不用引入特性谓词。 (1)凡有理数均可表示成分数。 符号化为xF(x)，其中，F(x)：x可表示成分数。 (2)有的

10、有理数是整数。 符号化为xG(x)，其中，G(x) ：x是整数。,2) 个体域为全总个体域，引入特性谓词。 R(x)：x是有理数。 (1)符号化为x(R(x)F(x)，其中，F(x)：x可表示成分数。 (2)符号化为x(R(x) G(x) ，其中G(x)同上。,例 在谓词逻辑中将下列命题符号化。 (1)每个自然数都有后继数。 (2)所有人都不一样高。,解 因为题目没指明个体域，因而使用全总个体域。 (1)其中F(x)：x是自然数，H(x,y)：y是x的后继数。 符号化为: x(F(x)y(F(y)H(x,y) (2)其中，M(x)：x是人；H(x,y)：xy(x与y不是同一个人)；L(x,y)

11、：x与y一样高。 符号化为:xy(M(x)M(y)H(x,y)L(x,y),1.6.4原子公式和谓词演算的合式公式,定义6.8满足下列条件的表达式，称为合式公式,简称公式。,定义6.7：设P(x1,x2,x3,.xn)是n元谓词，t1,t2,t3,.tn是项,则P(t1,t2,t3,.tn)是原子谓词公式，简称原子公式。,原子公式是合式公式； 若G，H是合式公式，则(G)、(H)、(GH)、(GH)、(GH)、(GH)也是合适公式；若G是合式公式，x是个体变量，则(x)G、(x)G也是合式公式； 仅仅有1)-2)产生的表达式才是合式公式。,1.6.5 自由变元和约束变元,辖域：紧接于量词之后最

12、小的子公式,定义6.9合式公式中的变元x若出现在以x为作用变元的量词的辖域之内，则称变元x的出现为约束出现，此时的变元x称为约束变元(量)。若x的出现不是约束出现，则称它为自由出现，此时的变元x称为自由变元(量)。,辖域不是原子公式，其两侧壁有括号，否则不应有括号,(y)(P(y,z)Q(x,y)R(y). (x)(P(x)Q(x). (x)(P(x)(y)(R(x,y) (x)(P(x)R(x)(y)Q(x,y),例：分析自由变元和约束变元,例 在一阶逻辑中将下列命题符号化: 没有最大的自然数,分析：该句话可理解为“对所有x，若x是自然数，则存在y，y也是自然数，且yx” 解：N(x)：x是自然数，G(x,y)：xy，符号化为： x(N(x)y(N(y) G(y,x) 也可以理解为“说存在一个x，x是自然数且对一切自然数y，x均大于y是不对的”。 符号化为：x(N(x) y(N(y)G(x,y) 以后可以证明，这两个公式是逻辑等价的。,25,注意：不可以用最大来直接定义谓词。 设B(x):x是最大的，N(x):x是自然数。 以上命题可以表示为：x(N(x) B(x) 这是不对的。“最大”是比较而来，依赖于其它客体，最大最小不能直接作谓词。,