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1、 创新性问题探索 姓名：1.对实数，定义运算“”：设函数。若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围是2. 设是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（），（），且，则称调和分割.已知平面上的点调和分割点，则下列说法正确的是( ) A可能是线段的中点 B可能是线段的中点C可能同时在线段上 D不可能同时在线段的延长线上3. 设平顶向量（ m , 1）, = ( 2 , n )，其中 m，n 1,2,3,4 I）请列出有序数组（ m，n ）的所有可能结果 II）记“使得（-）成立的（ m，n ）”为事件A，求事件A发生的概率。4. 对于具有相同定义域D的函数和,若存在函数为常数),对任给的正数m
2、,存在相应的,使得当且时,总有,则称直线为曲线和的“分渐近线”给出定义域均为D=的四组函数如下:, ， ,;,; ,其中, 曲线和存在“分渐近线”的是A B CD. 对有n(n4)个元素的总体1,2,3,n进行抽样，先将总体分成两个子总体1,2,，m和m+1、m+2,，n(m是给定的正整数，且2mn-2),再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P1m=所有Pij(1ij的和等于 6. 若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB（不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦”.已知当x2时，点P（x,0）存在
3、无穷多条“相关弦”.给定x02.I）证明：点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标相同II)试问：点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由.解（I）设AB为点P（x0,0）的任意一条“相关弦”，且点A、B的坐标分别是（x1,y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1, y22=4x2,两式相减得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）.因为x1x2,所以y1+y20.设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym）,则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0）在直线l上，所以-ym而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2.()由()知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 （）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则 因为03,则2(x0-3) (0, 4x0-8),所以当t=2(x0-3),即=2(x0-3)时,L有最大值2(x0-1).若2x03,则2(x0-1)0,g(t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l23时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中存在最大值，且最大值为2（x0-1）；当2 x03时，点P（x0,0）的“相关弦”的弦长中不存在最大值.