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1、第四章 动态电路的暂态过程暂态与稳态,动态电路的过渡过程,单位冲激函数,电容电压和电感电流的 连续性条件,输入-输出方程和初始条件 的确定,单位阶跃函数,内容提要,动态电路的响应,4-1 动态电路的过渡过程,动态电路,电容和电感元件是动态元件，其电压电流关系（u-i关系）是用导数或积分形式表示的。 含有动态元件的电路是动态电路。,电路的输入、输出方程,如果将电路中的电压源的电压或电流源的电流称为输入，将待求的响应电压或响应电流称为输出，可以建立一种描述该电路的输出变量与输入变量之间的关系的电路方程，通常称其为输入输出方程。 当电路中的电阻元件、电容元件、电感元件都是线性非时变元件时，输入输出方
2、程将是线性常系数微分方程。,线性常系数微分方程的求解,1. 先求对应的齐次方程的通解,特征根,通解,特征方程,2. 求特解,根据原方程等号右边的函数式，设特解为与其相同的形式b，并将特解带回原方程求出特解,3. 通解与特解之和就是方程的解,通解前的系数a是未知量,至此a仍然未知,4. 利用初始条件求出通解中的未知系数a,的完整解为：,换路,本章以后分析的动态电路大多是t0时的电路，电路方程亦是指t0时电路的输入输出方程。如果输入输出方程是n阶微分方程，则电路方程的初始条件是所求变量（电压或电流）及其(n1)阶导数在t0时的值。,换路：指电路工作条件的改变。,包括：电源或电路的接通与断开、开关的
3、接通与断开、电路连接结构或元件参数的改变。,设定,t0 发生换路。,t0 表示换路前的终了瞬间。,t0 表示换路后的初始瞬间。,换路在0-到0+的瞬间内完成,动态电路的渐变过程称为瞬态过程（又称过渡过程），处于瞬态过程中的工作状态称为瞬态。此过程中的电路响应称为瞬态响应。求解瞬态响应的过程称为瞬态分析。,电路出现瞬态过程的原因是，动态元件的储能不能突变。,电路的瞬态过程,解得 u5V,t0,4-2 单位阶跃函数和 单位冲激函数,一、单位阶跃函数,单位阶跃函数的定义：,移位的单位阶跃函数：,幅度为A的阶跃函数：,负单位阶跃函数：,单位阶跃函数对应着物理世界中在某一时刻发生突变的物理量。应用单位阶
4、跃函数可以描述电路中因开关动作导致的某些电压、电流发生的跃变。,t0 S1断开，S2闭合； t=0 S1闭合，S2闭合； t=1 S1闭合，S2断开。,单位阶跃函数还可以用来“起始”任意一个函数f(t),二、单位冲激函数,单位冲激函数的定义：,移位的单位冲激函数：,单位冲激函数的理解：从一个时刻看，其幅度是无穷大，但从一段时间看，它带来的能量变化是有限的。,三、单位阶跃函数与单位冲激函数的关系,这是一个瞬间存在的，幅度无穷大，强度有限的电流,这是一个瞬间存在的，幅度无穷大，强度有限的电压,4-3 电容电压、电感 电流的连续性条件,电容和电感元件的伏安关系表达式,在换路瞬间,若换路瞬间ic (t
5、)和uL(t)为有限值，则因为0-到0+的t无穷小，积分项应为0，于是：,uC (0+) uC (0) q (0+) q (0),【例】 当电容的充电电流或电感的充磁电压有限时， 若 则在换路瞬间此电感和电容各处于什么状态？,解 由电容电压和电感电流的连续性条件可知,说明在换路瞬间（ 0-到0+的t 时间段内），电感电流始终为零，与其两端电压uL 无关，此电感处于开路状态；电容电压始终为零，与其电流iC 无关，此电容处于短路状态。,注意：只有iL、uC不能突变，其他电压、电流均能突变。,【例】当电容的充电电流或电感的充磁电压有限时， 若 则在换路瞬间电感和电容相当于什么元件？,解 由电感电流和
6、电容电压的连续性原理， 说明在换路瞬间电感电流始终为I0，与其两端电压uL 无关，故对 的电感元件，在换路瞬间相当于电流源。,在换路瞬间电容电压始终为U0，与其电流iC 无关，故对于 的电容元件，在换路瞬间相当于电压源。,状态变量：独立的电容电压和独立的电感电流 非状态变量 ：除去独立的电容电压和独立的电感电流以外的其他的电压和电流（包括电容电流、电感电压、电阻电压、电阻电流等）,4-4 输入输出方程的 建立和初始条件的确定,输入-输出方程的建立依据,1. KCL定理 2. KVL定理 3. 元件的u-i关系,1. 确立换路前一瞬时的电容电压 和电感电流 对于换路前已处于稳态的电路，电容电压和
7、电感电流为常量，故电容电流和电感电压为零。此时，可将电容开路，电感短路，得到只含电阻、独立源与受控源的t=0-时刻的等效电路，从而计算 和 2. 确定换路后一瞬间的电容电压 和电感电流 根据电容电流和电感电压为有限值条件下，电容电压和电感电流的连续性，可得,的确定步骤,初始值,t=0+,3. 求解电路中其他变量的初始值。 可在t=0+时刻利用替代定理，用电压等于 的电压源替代电容元件，用电流等于 的电流源替代电感元件，从而得到只含电阻元件、独立源和受控源的t=0+时刻的等效电路，再计算电路其他变量的初始值。 4. 根据t0时的电路方程计算输出变量的（n-1）阶导数的初始值。,例 图示电路，t=
8、0时开关S闭合。已知S闭合前的电路已经处于稳定状态，电容元件是未充电的。1）试以电感电流iL为输出变量建立t0时的电路方程并确定方程的初始条件；2）求电容电流的初始值iC(0+)和电阻电流的初始值iR(0+)。,t0时的电路：,1. 建立t0时的电路方程,对节点A使用KCL：,对网孔1和网孔2使用KVL：,由电容和电感元件的元件约束：,t0,2. 确立初始条件 a. 换路前一瞬时的电容电压和电感电流,电容未充电,电容初始电压为零,电路已到达稳态,此时电感可等效为短路,b. 确定换路后一瞬间的电容电压 和电感电流，即为状态变量的初始值,c. 确定非状态变量的初始值,利用替代定理得到t=0+时的替
9、代电路：,4-5 动态电路的响应 暂态与稳态,一阶电路：用一阶微分方程描述的电路。 只含一个动态元件的电路都是一阶电路，即电路中只有一个电容或电感元件，其余全为线性电阻、独立源和受控源。,一、动态电路的响应,一阶电路输入-输出方程的建立：用动态元件的状态变量作为输出变量，将除动态元件以外的电路利用戴维南或诺顿等效电路替代，得到简化的动态电路，再建立电路方程。,t0后的电路,戴维南等效电路,建立电路方程,确定初始条件,解方程,t0+,t0+,在暂态分量存在的时间内，电路的工作状态称为暂态；暂态分量衰减至零以后，电路的工作状况称为稳态（稳定状态）。,自然响应,受迫响应,自然响应是由电路结构和元件参
10、数决定的响应，t0后呈指数衰减，最终衰减为零，体现动态电路工作的暂态过程； 受迫响应是由电路中的激励决定的响应，其随时间变化的函数关系与激励具有相同形式，当自然响应衰减至0后，受迫响应仍然存在。,4-6 动态电路在正弦 激励下的响应,以电感电流为输出变量的输入-输出方程：,动态电路在换路后会出现过渡过程。 直流激励接入动态电路，换路后，电路进入直流稳态；正弦激励接入动态电路，换路后，电路进入正弦稳态。 正弦稳态响应由正弦激励决定，响应频率与激励频率相同。,作业,题目4-2、4-3、4-6、 4-10 下周三上课时交作业,43,本章小结:,2 动态电路和电阻电路换路时的差异 3 单位阶跃函数、单
11、位冲激函数及其相互关系和变形 4 电容电压和电感电流连续性条件 5 状态变量与非状态变量 6 为分析方便，往往将换路瞬间t=0人为拉长为0-到0+的时间段。 7 在0-时刻的电容电压和电感电流值可利用“电路在换路前处于稳态”求得，“稳态”意味着（当激励为恒压源或恒流源时）此时可用开路取代电容，短路线取代电感，得到不含动态元件的新电路，从而求得电容电压或电感电流；或从题目中直接得到0-时刻的初始值。 8 当电路满足电容电压和电感电流连续性条件时，可利用0-时刻的电容电压和电感电流求得0+时刻的电容电压和电感电流。,1 换路:电路工作条件发生改变,6 在0-到0+时间段内，满足电容电压和电感电流连续性条件的电路，电容可用一个输出电压等于初始电压的恒压源替代，电感可用一个输出电流等于初始电流的恒流源替代。对t0的电路进行替代后，得到一个不含动态元件的新电路，用于求解非状态变量在0+时刻的初始值 7 电路方程的求解过程：a.针对t0的电路列输入-输出方程；b.根据电路换路前状态确定0-时刻电容电压和电感电流初始值；c.根据连续性条件确定0+时刻电容电压和电感电流初始值；d.针对t0的电路用电压源替代电容，用电流源替代电感，得到不含动态元件的电路，求解0+时刻电路中的非状态变量初始值；e.利用0+时刻的初始值，结合线性常系数微分方程的求解方法，求解输入-输出方程。,