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1、第四章,微分法:,积分法:,互逆运算,不定积分,已知 F (x) ,第四章 不定积分,暨南大学珠海学院基础部 苏保河主讲,二、 基本积分表,三、不定积分的性质,一、 原函数与不定积分的概念,第一节,不定积分的概念与性质,第四章 不定积分,暨南大学珠海学院基础部 苏保河主讲,一、 原函数与不定积分的概念,引例: 一个质量为 m 的质点,下沿直线运动 ,因此问题转化为:,已知,求,在变力,试求质点的运动速度,根据牛顿第二定律,加速度,定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x),满足,在区间 I 上的一个,则称 F (x) 为 f (x),如引例中,的一个原函数为,暨南
2、大学珠海学院苏保河主讲,原函数 .,问题:,1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ?,2. 若原函数存在, 它如何表示 ?,定理1.,的原函数存在 .,(下章证明),因为初等函数在定义区间上连续，,所以初等函数在定义区间上有原函数,暨南大学珠海学院苏保河主讲,定理 2,一个原函数都可记为,( C 为任意常数 ) .,证,又知,故,即,即,暨南大学珠海学院苏保河主讲,定义 2,在区间 I 上的原函数全体称为,上的不定积分,其中, 积分号;, 被积函数;, 被积表达式., 积分变量;,若,则,( C 为任意常数 ),C 又称为积分常数 不可丢 !,例如,记作,注,暨南大学珠海学院苏保河主讲,
3、不定积分的几何意义:,的原函数的图形称为,的图形,的所有积分曲线组成,的平行曲线族.,的积分曲线 .,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例1 设曲线通过点(1, 2),且其上任一点处的切线,斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.,解,所求曲线过点(1, 2),故有,因此所求曲线为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,二、 基本积分表,注 从不定积分定义可知:,或,或,( k 为常数),暨南大学珠海学院苏保河主讲,或,或,暨南大学珠海学院苏保河主讲,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例2 求,解 原式 =,例3 求,解 原式=,暨南大学珠海学院苏保河主讲,三、不定积分的性质,推论,暨南大学珠海学院苏保河主讲,
4、例4 求,解 原式 =,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5 求,解 原式 =,例6 求,解 原式 =,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例7 求,解 原式 =,暨南大学珠海学院苏保河主讲,第二节,第一类换元法,第四章 不定积分,暨南大学珠海学院基础部 苏保河主讲,第一类换元法,定理1,则有换元公式,(也称配元法,即, 凑微分法),暨南大学珠海学院苏保河主讲,例1 求,解 令,则,故,原式 =,解法2(直接凑微分):,暨南大学珠海学院苏保河主讲,想到公式,例2 求,解,令,则,想到公式,暨南大学珠海学院苏保河主讲,原式,例2 求,解法2 (直接凑微分):,想到公式,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例3 求,
5、想到,解,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例4 求,解,类似可得,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例5 求,解, 原式 =,暨南大学珠海学院苏保河主讲,常用的几种配元形式:,万能凑幂法,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例6 求,解 原式 =,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例7 求,解 原式 =,例8 求,解 原式 =,暨南大学珠海学院苏保河主讲,例9 求,解法1,解法2,两法结果一样,暨南大学珠海学院苏保河主讲,内容小结,1. 不定积分的概念, 原函数与不定积分的定义, 不定积分的性质, 基本积分表,2. 直接积分法,利用恒等变形,及基本积分公式进行积分,积分性质,3. 第一类换元法(凑微分法),暨南大学珠
6、海学院苏保河主讲,作 业,P204 1 (2, 4, 6, 8, 10, 11, 13, 14); 2 (2, 6, 8, 9, 11, 13, 14, 16, 18).,P190 1 (3, 5, 13, 14, 16, 18, 20, 21, 23, 24, 25, 26); 2; 4*.,暨南大学珠海学院苏保河主讲,下次课内容: 不定积分的第一类换元法 第五章第一节 定积分的概念与性质,1 若,是,的原函数 , 则,提示,已知,课外练习,暨南大学珠海学院苏保河主讲,2 若,的导函数为,则,的一个原函数,是 ( ) .,提示,B,由题意,其原函数为,暨南大学珠海学院苏保河主讲,3 已知,求 A , B .,解 等式两边对 x 求导, 得,暨南大学珠海学院苏保河主讲,