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1、东南大学第二届大学生数学建模竞赛2008年5月29日12时6月3日12时参赛题目 A B（在所选题目上打勾） 参赛队员1参赛队员2参赛队员3姓名皋宇王迪臻于荣学号学院专业年级电话Email东南大学教务处东南大学数学建模竞赛组委会大象种群的管理摘要一家大型自然公园散养了大约11000头大象，为了给大象创造一个健康的生存环境，需要将大象的总数控制在11000头左右。本文通过一系列的研究，算出了大象的存活率，推测了大象的年龄结构，提出了大象的总数的控制方案。 第一问：通过过去两年运走的大象数目，根据随机抽样的规律知，抽样大象的数目反应了大象当前的年龄结构（详见问题一中的年龄结构图表），再用分组求平均
2、值的方法测出大象260岁的存活率为：98.14%，之后的存活率线性递减，到70岁之后存活率为0.第二问：本题中通过leslie模型，对大避孕针后新的有效生育率进行求解，进而得出每年需要避孕的大象头数。而其中又讨论了三种情况：（1）不考虑重复避孕的母象头数，直接对1360岁间的大象避孕，所需避孕的头数为1143。（2）不考虑重复避孕的母象头数，大避孕针可能打到所有的年龄段，此时得出需要避孕的大象增多，为1757头。（3）考虑重复避孕的情况,整个年龄段都可以打避孕药，则每年需要避孕2195头大象。第三问:如果考虑每年可以迁出50300头大象，此处我们有两种理解，建立了两个模型：（1）每年大象的头数
3、稳定增加，增长率为0.0045450.02727，然后在每年的年末移出50300头大象，这样就可以控制大象的头数稳定在11000头，根据leslie模型，这样就可以算出特征值为1.0045451.02727，根据特征值求出此时避孕后的有效生育率为0.06090.1224，若不考虑重复避孕，可得每年需避孕1360岁间的大象2171009头，亦可以避孕所有年龄大象中的4251593头；如果考虑重复避孕，则：可得每年需避孕所有年龄大象中的4431933头。 （2）考虑leslie模型的特征值是一定的，为1，但其存活率因为大象的移走而不断变化，对此分析考虑，所得结果具体见论文中表格。第四问：研究可得，
4、因为避孕使得种群年龄结构老龄化，导致种群的稳定性减弱。假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,总数恢复到期望值也需要很长时间，并且会对大象群的种群结构产生很大影响，对于恢复存在不良影响。最后，对所设立的方案模型通过蒙特卡罗随机模拟法进行计算机模拟，验证以上计算的理论结果，模拟结果表明，结果是合理的。 问题背景：一家大型自然公园散养了大约11000头大象，管理部门希望为大象创造一个健康的生存环境，将大象的总数控制在11000头左右。每年，公园的管理人员都要统计当年大象的总数。过去20年里，公园每年都要移去一些大象，以便保持大象总数维持在11000头左右，通常都是采用捕
5、杀或者迁移的方法来实现的。统计表明，每年约处理600-800头大象。近年来，公众强烈反对捕杀大象行为，而且即使是迁移少量的大象也是不允许的。但是一种新的给大象打避孕针的方法也被研制成功。一只成年母象打了避孕针后，两年内不再怀孕。1 建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构.2估计每年需要避孕多少大象,才能保证大象总数控制在11000头左右,说明数据不确定性对你的结论的影响。3假设每年可以移出50-300头大象,避孕大象数可以减少多少。4有一些反对观点认为,假如出现疾病或者失控的偷猎,使大象总数突然大幅度下降,即使停止避孕,也会对大象群的恢复存在不良影响,研究并回答这
6、个问题.模型假设：1几乎没有大象迁入或迁出；2性别比接近1：1，采取控制后，也维持这个比例；3初生象的性别比也是大约1：1；4母象初次怀孕大约在10-12岁,一直到60岁大约每3.5年怀胎一次,60岁后不再受孕,怀孕期为22个月，可以假设母象均在11岁怀孕，且从13岁开始生出小象。5取按年循坏的方案；6避孕针对母象没有副作用,打了避孕针的母象2年内不再受孕；7假设初生象存活到1岁的比例为75%,此后,直至60岁前,存活率都比较均匀,大约在95%以上, 大象一般只活到70岁，设其在6070之间的存活率线性递减，而70岁往后的死亡率为100%。8公园里不存在捕杀行为,偷猎可以不考虑。符号说明：1、
7、 ：第i年龄组母象个体在1个时段内平均繁殖的数量。2、 ：第i年龄组母象个体在1个时段内的存活率。3、 L : leslie 矩阵。4、 n： 移出大象的头数。5、 r ： 特征值。6、 q1： 母象的总数。7、 为岁数为t的大象在第i年时的个数问题一建立并利用模型推算2-60岁大象可能的存活率,以及目前的大象年龄结构.模型1：过去两年迁出的大象时从随机抽样中来的，所以它的结构可以反应向群总体的年龄结构。将过去两年迁移出的总的大象的数目两个向量表示如下X1=103 77 71 0 2X2=98 74 690 0令x为x1与x2的和（或平均值，效果一样）X=X1+X2则x的结构即可以表示目前的大
8、象年龄结构。将x中各值的范围控制在合理的范围内利于输出观察，令y0=x/norm(x,1);利用matlab显示其年龄结构即为：a=0:70;bar(a,y0,stacked);则年龄结构如图所示：其260岁大象可能的存活率可以根据结构向量的后项与前项比得到，本题中，具体做法是，将260岁年龄的大象分为前项为29岁，1019岁，2029岁，3039岁，4049岁，5060岁，求出大致的存活率，再求出平均值，可以得到：求得ans平均值=(0.9672+0.9851+0.9962+0.9789+0.9749+0.9859)/6=0.9814所以说，260岁的存活率为98.14%，与题目中所给的95
9、%一致。求得ans平均值=(0.9672+0.9851+0.9962+0.9789+0.9749+0.9859)/6=0.9814所以说，260岁的存活率为98.14%，与题目中所给的95%接近。（程序代码见附录）问题2：在问题二中我们分为不考虑重复打针与考虑重复打针两种情况在这一种情况中我们建立了三个模型序号为2，3，模型2讨论了打针时区分有效年龄，模型3讨论了不区分年龄段的情况；第二种情况我们考虑了重复打针的情况模型2：1不考虑两年内被重复注射的雌性数量。（重复的稍复杂，下面再分析）2 假设打避孕针的时候能够区分有效年龄段 13611，1360岁母象生幼年母象率=1/3.5*(1+0.01
10、35)/2=0.1448可得，leslie模型中的leslie矩阵为：=通过matlab求其特征值： l=zeros(71,71); l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.1448;endfor j=3:61l(j,j-1)=0.9814;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.9814-0.9814*(k-61)/10;endeig(l)ans = 0 1.0333 如上，求得特征根为1.0333，大于1，如果不进行避孕注射，该大象种群将无限增长下去，所以要进行避孕注射。2、求避孕繁殖率根据Leslie矩阵的性质知道，要保持种群稳定，必须使得特征根
11、为1，即使得下面式子成立： 而此题中 ， 带入数据：解得：b=0.0523所以打完避孕针的繁殖率为0.05233、验证b的正确性：l=zeros(71,71); l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.0523;endfor j=3:61l(j,j-1)=0.9814;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.9814-0.9814*(k-61)/10;endeig(l)ans = 0 1.0000 0.9501 + 0.1205i 0.9501 - 0.1205i4、求生育母象的比例解得特征向量为： n1=zeros(1,71);n1(1)=1;n1(
12、2)=0.75;for i=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.9814;end;for i=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end; n1 a=norm(n1)a = 3.8515 a=norm(n1,1)a = 29.3663 b=n1(:,14:61) norm(b,1)ans = 19.1174 c=ans/ac =0.6510知：稳定后，可生孕的母象的比例为：65.10 %5、求每年需要避孕的母象数量（不考虑重复打针，在有效年龄打针）由以上知道：打避孕药后leslie矩阵中第一行的所有0.1448应该替换为0.0523，而这样的调整需要对母象大避孕
13、药后实现，设每年被打避孕针的1360岁的母象数为n。一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以实际上每年共有2n头大象处于避孕期方案1： 设此系统中1361岁避孕的母象的比例为k，1361母象总数为5500*65.10%（N），则，因为一次注射可以使得一头成熟的母象在两年内不会受孕，所以实际上每年共有2kN头大象处于避孕期。所以新的出生率应该为：=0.0523即为b可以求得：k=31.941%，每年要避孕的大象总数n为： 65.10%*5500*k=1143头。方案2：具有（b- b0）繁殖率母象所生的幼象的数目应该等于注射避孕药使得母象没有繁殖幼象的数目：解之得=1143头。即每年
14、大约需要给1143头母象大避孕针。分析：用两种不同的方案得到的结果是一致的故该数据是正确的模型3两点假设：1不考虑两年内被重复注射的雌性数量。2抽取打避孕药的大象完全是随机的，可以是任意年龄的大象 如果不区分小象大象老象，直接抽取所有母象中百分比为k的象打避孕药，母象总数q1，则，其他分析均同模型1，只有求出的n值不一样： =0.0523可以解得，k=0.319，所以n=q1*0.319=1755头。2、假设我们在打避孕针时是随机的，即大象的年龄 m1(1)=1; m1(2)=0.75/1.0333; for i=3:61m1(i)=m1(i-1)*0.98/1.0333;end; for i
15、=62:71m1(i)=m1(61)*(1-(i-61)/10);end; a=0:71; plot(a,m1,r-);（2）施行避孕政策后的年龄结构： n1=zeros(1,71);n1(1)=1; n1(2)=0.75; for i=3:61n1(i)=n1(i-1)*0.9814;end;for i=62:71n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);end; plot(a,n1,b-);分析结果可以知道打避孕药后的大象的年龄结构中6070的数目有所增加模型4：考虑发生有雌性个体被重复注射的情况时建立模型：每个被注射的个体被重复注射的几率设为k，根据其随机性可以知道,两次注射
16、比率为k2,则实际情况下每年的避孕比率应该为 2*k-k2 分析过程可有如下饼图清晰显示：如图，假设这两幅饼图表示连续两年被打避孕药的情况，设每年被打避孕药的母象的比例为k，所以如图中右上角两块加起来为k，而红的那部分表示前一年大避孕药后，第二年又被打避孕药了，其比例为，所以黑的部分和紫的部分均占（k-）所以说，事实上每一年处于避孕状态的母象的比例为上一年的黑色部分加上这一年的紫色部分和红色部分，即为：2*（k-）+从而可以得到如下计算式0.1448*(1-2K+K2)*N/N=0.0523得到k=0.399N=11000/2*0.399=2195此时算出来n应该为:2195头。即每年大约需要
17、给2195头母象大避孕针。有些幼象一看就能看出来，可以不给它打避孕药，但是得记数目，打针总计数到2195时即可。数据不确定性对结论的影响：1、避孕针可能引起大象每个月都发情,但不受孕,而公象的数目有限，可以推断，打了避孕针后，其他母象与公象配偶受孕的几率会减小，就是说，b可能还不足0.0523。这样以后，可以假设，b减为0.05则，将0.05带入leslie矩阵后可算得， l=zeros(71,71); l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.05;endfor j=3:61l(j,j-1)=0.9814;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.981
18、4-0.9814*(k-61)/10;endeig(l)ans = 0 0.9987 0.9496 + 0.1204i其特征值为：0.9987 l=zeros(71,71); l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.0609;endfor j=3:61l(j,j-1)=0.9814;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.9814-0.9814*(k-61)/10;endeig(l)ans = 1.0045验证，则有b值计算正确 l=zeros(71,71); l(2,1)=0.75;for i=14:61l(1,i)=0.1224;endfor j=
19、3:61l(j,j-1)=0.9814;end; l;for k=62:71l(k,k-1)=0.9814-0.9814*(k-61)/10;endeig(l)ans = 0 1.0273 知，b值计算正确。4，移出大象后的年龄结构此时r对应的特征向量为：,可以求得，当r=1.004545时，1360岁母象占总象数的63.32%，r=1.02727时，1360岁母象占大象总数的51.02%。方案1:r=1.004545时 =0.0609，k=0.2897所以n=5500*0.6332*0.2897=1009 r=1.02727时=0.1224，k=0.07735n=5500*0.5102*0.
20、07735=217n的范围为2171009方案2：r=1.004545时得：n=1009r=1.02727时得，n=217减少的n值可以为：134926头n的范围为2171009分析：两种方案算得结果完全一样模型6:1 对问题的理解考虑即使移走大象后，leslie模型的特征值是始终仍为1，但其存活率因为大象的移走而不断变化，对此分析考虑。2 理论计算求解避孕大象头数1当移走50头大象时，有a=norm(n1,1)a = 29.3663 b=n1(:,1)b = 1 c=b/ac = 0.0341 则，0岁象的等效存活率降低，变为161岁大象的存活率变为：0.9769与问题2的分析相同，有： 而
21、此题中 ， 带入数据： 解得：b=0.0630从1361岁的母象中大避孕针，有（1360岁母象共N头）解得：k=0.28245，所以n=N*k=5500*0.651*0.28245=1012头 移走50头，有1012头需要避孕2、当移走300头时：同以上的方法，有，0岁大象存活率变为：0.7227，161的存活率变为:0.9541,计算得b=0.127，所以k=0.06146，最终有，n=5500*0.651*0.06146=220移走300头 需要避孕220头所以应该避孕的母象头数为：2201012头。3用蒙特卡罗随机模拟法进行计算机模拟在命令方式下输入如下指令：for i=1:26z(i)
22、=smm(50+(i-1)*10)endt=50:10:300;plot(t,z)得到z =1.0e+003 *Columns 1 through 12 1.0146 0.9920 0.9670 0.9436 0.9170 0.8918 0.8651 0.8372 0.8110 0.7827 0.7533 0.7247Columns 13 through 24 0.6922 0.6607 0.6296 0.5956 0.5613 0.5262 0.4947 0.4553 0.4239 0.3791 0.3439 0.3022Columns 25 through 26 0.2192 分别对应的n
23、为2191014头与理论计算的2201012几乎一致可见两者的数据是非常精确的，模型也是正确的问题三A的总结： 之所以与模型一有较大差别是因为两者建立的基础不同，模型一种的特征值是改变的，出生率是不变的， 模型二中的特征值始终为1 而出生率则是改变的故这两种不同的方案每年需要避孕的头数是不一样的，但结果都是大象的数目不变。问题三B考虑重复打针的情况如下：模型7：考虑重复打针的情况如下：1、搬运走50头大象时，r=1.004545，b=0.0609同问题二，有：0.1448*(1-2K+K2)*N/N=0.0609得到k=0.3515N=11000/2*0.3515=1933避孕大象减少数目s=
24、2195-1933=262此时算出来n应该为:1933头。即每年大约需要给1933头母象大避孕针。有些幼象一看就能看出来，可以不给它打避孕药，但是得记数目，打针总计数到1933时即可。2、搬运走300头时，r=1.02727，b=0.12240.1448*(1-2K+K2)*N/N=0.1224得到k=0.0806N=11000/2*0.0806=443避孕大象减少数目s=2195-443=1752此时算出来n应该为:443头。即每年大约需要给443头母象大避孕针。有些幼象一看就能看出来，可以不给它打避孕药，但是得记数目，打针总计数到443时即可。综上，若每年可以移出50-300头大象,避孕大
25、象数可以减少2621752头问题四:一、求解一下当前种群分布，采取避孕措施至到稳定之间的的种群分布，注意观察种群结构的变化。1、先求经过相当长时间稳定后的种群分布,以便于分析对照n1=1n1(2)=0.75*n1(1);for i=3:61;n1(i)=n1(i-1)*0.98;endfor i=62:71;n1(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1(1)=0;for i=14:61;n1(1)=n1(1)+0.5023*n1(i);end由此得到稳定时结构向量：n=1.0000 0.7500 0.7361 0.7224 0.7089 0.6957 0.6828 0.67
26、01 0.6576 0.6454 0.6334 0.6216 0.6101 0.5987 0.5876 0.5766 0.5659 0.5554 0.5451 0.5349 0.5250 0.5152 0.5056 0.4962 0.4870 0.4779 0.4690 0.4603 0.4518 0.4434 0.4351 0.4270 0.4191 0.4113 0.4036 0.3961 0.3888 0.3815 0.3744 0.3675 0.3606 0.3539 0.3473 0.3409 0.3345 0.3283 0.3222 0.3162 0.3103 0.3046 0.2
27、989 0.2933 0.2879 0.2825 0.2773 0.2721 0.2671 0.2621 0.2572 0.252 0.2477 0.2230 0.1982 0.1734 0.1486 0.1239 0.0991 0.0743 0.0495 0.0248 0s=sum(n1(1:70)for i=1:70;n1(i)=n1(i)/s*11000;endn1得总数维持在11000的象群稳定时各年龄大象的个数为n1=374.5220 280.9359 275.7105 270.5823 265.5495 260.6103 255.7629 251.0057 246.3370 241
28、.7551 237.2585 232.8455 228.5146 224.2642 220.0929 215.9992 211.9816 208.0387 204.1692 200.3716 196.6447 192.9871 189.3976 185.8748 182.4175 179.0246 175.6947 172.4268 169.2196 166.0721 162.9832 159.9517 156.9766 154.0569 151.1914 148.3792 145.6194 142.9109 140.2527 137.6440 135.0838 132.5713 130.10
29、55 127.6855 125.3105 122.9798 120.6923 118.4475 116.2443 114.0822 111.9603 109.8778 107.8341 105.8284 103.8600 101.9282 100.0323 98.1717 96.3457 94.5537 92.7950 83.5155 74.2360 64.9565 55.6770 46.3975 37.1180 27.8385 18.5590 9.2795 02、求解采取避孕措施至到稳定之间的的种群分布方法：将大象按年龄分为四组，幼年，不能生育，能生育，老年，是用来计算各年龄段的大象数目，下
30、面求当前种群结构(全部按所占总数的百分比例表示)至到避孕的第35年1求当前结构x1=103,77,71,70,68,61,58,51,52,51,51,50,51,48,47,49,48,47,43,42,42,37,39,41,42,43,45,48,49,47,46,42,42,44,46,49,47,48,46,41,41,42,43,38,34,34,33,30,35,26,21,18,14,5,9,7,6,0,4,4,4 ,3,2,2,1,3,0,2,1,0,2 ;x2=98,74,69, 61, 60, 54, 57, 59, 58, 57, 60, 63, 64, 60, 63,
31、 59, 52, 55 ,49, 50, 53, 57, 65, 53, 56, 50, 53, 49, 43, 40, 38, 35, 37, 33, 20, 33 ,30 ,29 ,29, 26, 10, 24, 25, 22, 21, 22, 11, 21, 21, 19, 15, 5, 10, 9, 7, 6 ,5 ,4 ,7, 0, 2, 3, 0, 2, 0, 2, 0, 1, 0, 0, 0;x=x1+x2n1=xs=sum(n1(1:70)for i=1:70;n1(i)=n1(i)/s*11000;endn1s=sum(n1(1:70);p(1)=n1(1);p(2)=sum
32、(n1(2:13);p(3)=sum(n1(14:61);p(4)=sum(n1(62:71);p2根据前一年求下一年的种群结构，此时已开始采用避孕措施，生育率s=0.0523n2(1)=0.0523*sum(n1(14:61);n2(2)=n1(1)*0.75;for i=3:61;n2(i)=n1(i-1)*0.9814;endfor i=62:71;n2(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1n1=n2s=sum(n1(1:71)p=zeros(1,4);p(1)=n1(1)/s*100;p(2)=sum(n1(2:13)/s*100;p(3)=sum(n1(14:6
33、1)/s*100;p(4)=sum(n1(62:71)/s*100; 从当前到采取避孕措施的种群结构（表一）幼年不能生育能生育老年年数0岁(%)112岁(%)13-60岁(%)61-70岁(%)0（当前）4.181130.085465.26090.47261（避孕第一年）3.398730.145565.90440.560423.425329.722266.49290.359633.436929.218566.37660.968043.467529.203667.594900.931253.469028.716766.75361.060763.459028.551766.71271.268073
34、.478527.759266.89861.082283.454428.153166.58461.807893.466626.464966.82171.6910103.4527.56 66.422.57113.447727.127366.30093.1241123.442526.731766.03793.7879133.463227.039466.10253.3948143.467227.328266.32202.8827153.441427.286865.69953.5723163.437227.447365.67103.4444173.424927.493265.40463.6773183.
35、408527.497065.01904.0755193.407727.637965.06403.8903203.428827.909765.68882.9782213.393927.664164.77954.1625223.390127.695564.71774.1967233.390127.736864.74804.1252243.384127.700764.60674.3085253.407327.905365.25563.4319263.396927.747764.94433.9110273.396927.726664.93823.9383283.402027.753465.07103.
36、7736293.396027.676164.89634.0316303.394227.662464.84534.0981313.389727.637464.72204.2509323.384727.625064.59214.3982333.384027.654864.59284.3684343.390827.737064.78874.0835353.387227.705164.68634.2214.N（稳定）3.372728.509164.53.6182可以看出由于避孕使得象的年龄结构趋于老龄化（稳定时可看出老象所占比例明显的在不断上升），而新生象比例在减少，尤其是在避孕初期二、出现疾病或失控
37、偷猎使得大象总数突然大幅下降。模型建立：假设：1疾病或者失控的偷猎出现在大象种群结构已稳定时，即表一中的第N年。 2 因疾病死亡或偷猎而减少的大象是随机的，各年龄段减少大象的比例相同 3不影响大象正常生育 4 疾病或偷猎后大象的正常死亡率不变，与前几题相同 5不再采取避孕措施，处于生育期的母象方法：1.以下将减少的大象数目分为1000，3000，5000进行分析。由下面程序计算当年疾病后或偷猎后的各段大象数目和大象总数目，x为因病或偷猎大象减少的数目。for i=1:71;n1(i)=n1(i)/11000*(11000-x);ends=sum(n1(1:71)p=zeros(1,4);p(1)=n1(1);p(2)=sum(n1(2:13);p(3)=sum(n1(14:61);p(4)=sum(n1(62:71);p2.反复利用以下程序得到疾病后每年大象各年龄段的数目，以及大象总数目。因为此时已不再采取避孕措施,生育率s=0.1448n2(1)=0.1448*sum(n1(14:61);n2(2)=n1(1)*0.75;for i=3:61;n2(i)=n1(i-1)*0.9814;endfor i=62:71;n2(i)=n1(61)*(1-(i-61)/10);endn1n1=n2s=sum(n1(