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1、 参考答案以及评分标准一填空题：1 2. 3. 4. 5. 二计算题：1. 解：原方程不是未知函数y的线性方程，但可以将它改写为即 3分于是所求得的通解为 6分2解 由于，所以原方程是全微分方程 2分 取，原方程的通积分为 5分即 . 6分3解 令，则原方程的参数形式为 2分由基本关系式 积分有 4分 得原方程参数形式通解 . 6分 4解：令直接计算可得，于是原方程化为， 2分得到或， 4分积分后得到，即，所以，这就是原方程的通解. 6分5解 方程的特征根为， 齐次方程的通解为 . 4分 因为不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 6分代入原方程，比较系数得 确定出 ， 。 8分原方程的通解为
2、 。 10分6. 解：齐次方程通解为 4分 ，设， 6分 ，设， 8分 故 10分7. 存在区间为 3分 下面求二次近似解： 7分由于 且 故 8解：（二重根）2分 当， 4分 当， 可取 ， 6分 , 8分故通解为 10分或 三证明题：1.证明: 令 : , . , 在上连续, 则 显然在上连续, 4分因为 为上的连续函数,故在上也连续且存在最大植 , 记为 .即 , . 6分, =.因此, 一阶线性方程当 , 在上连续时,其解存在唯一. 10分2 证明：设是非齐次方程的一个解，是齐次方程的n个线性无关解，则是非齐次方程的n+1个解。设,即，如，则 ，与是非齐次方程的一个解，矛盾。故。从而，由是齐次方程的n个线性无关解，知，从而，即是线性无关。 6分其次设 阶线性非齐次方程的n+2个解。则是齐次方程的n+1个解，故必线性相关，于是存在不全为零的，使，从而，这里，不全为零，故线性相关。 10分