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1、应用矩阵变换绘制平面刚架内力图和位移图36四川建筑科学研究SichuanBuildingScience第36卷第3期2010年6月应用矩阵变换绘制平面刚架内力图和位移图丁星(四川大学建筑与环境学院土木系,四川成都610065)摘要:在平面刚架有限元计算的基础上,利用二维图形的矩阵变换原理,将单元内力和位移绘图数据进行伸缩,旋转和平移变换,在Madab中实现了平面刚架内力图和位移图的绘制.本文提出的绘图方法,可用于杆系结构有限元计算结果的图形显示.关键词:内力图;位移图;平面刚架;有限元;Madab中图分类号:TU318.5文献标识码:A文章编号:10081933(2010)0303604Dia
2、gramdrawingofinternalforceanddisplacementofplaneframeusingmatrixtransformationDINGXing(DepartmentofCivilEngineering,SchoolofArchitectureandEnvironment,SichuanUniversity,Chengdu610065,China)Abstract:OnthebasisoftheresultsofFEManalysisandtheprincipleofmatrixansformafionoftwodimensionaldiagrams,scaling
3、,rotationandtranslationarecarriedoutfortheelementdrawingdataaboutinternalforcesanddisplacementsofplaneframe,andthediagramsofthemhavebeendrawnbyMadab.ThemethodsuggestedinthispapervanbeappliedtodisplayofdataresultsfromtheFEManalysisofplaneframeingraphicsmode.Keywords:internalforcediagram;displacementd
4、iagram;planeframe;FEM;Madab0前言结构内力图和位移图绘制是杆系结构分析和设计的重要内容.文献1-7讨论了平面刚架内力图或位移图的绘制.这些文献或者采用结构分析软件和绘图软件进行二次开发,或者利用VB,Visualc编程引,或者采用数学计算软件进行图形绘制.其中,文献4用跳跃函数统一表达单跨静定梁的内力方程,在Matlab中绘制了梁的内力图.该法适用于支座反力已知的单跨梁或杆端内力已知的梁段,但只能在水平基线上绘制梁的内力图,而不能用于平面刚架.文献8介绍了平面刚架内力图的绘制原理和方法,并给出了绘制平面刚架内力图的Basic程序.但单元内力绘图数据的计算没有直接建立在
5、矩阵变换的基础上,因此,计算公式和程序较为繁复,而且也没有考虑杆端刚臂的影响.绘制平面刚架内力图和位移图,就是在平面刚架几何简图上绘出轴力图,剪力图,弯矩图及位移图.在使用有限元法求出单元杆端位移和内力之收稿日期:200811-26作者简介:丁星(1963一),男,四川荣县人,博士,研究方向:结构计算与结构材料.Emall:dingx88sina.COEO后,将单元划分为若干截面并求出单元截面内力和位移.这些截面内力,位移及相应的截面位置(距单元弹性段始端的距离)就构成了单元绘图数据.将这些单元绘图数据通过矩阵变换转换为结构内力和位移绘图数据,再使用Matlab绘图函数plot,就可以进行图形
6、绘制.本文讨论在利用有限元法求出单元杆端内力和位移之后,平面刚架内力图和位移图的绘制方法,并结合算例验证绘图程序.1二维图形的矩阵变换对于平面点P(x.,Y.)可按下式进行伸缩,旋转和平移变换(简称矩阵变换):P=Yo1T(1)其中,当取0oS=f0s0I(2)lo1j实现平面点P的伸缩变换.在伸缩矩阵Is中,s,s分别是坐标.,Yo的缩放系数.变换后P=0SyYo1T其中,前二个元素即为P点变换后的坐标值(下同).如果取2010No.3丁星:应用矩阵变换绘制平面刚架内力图和位移图37r.c0ssin0I=IsinOcosO0l(3)【-001j表示P点绕坐标原点顺时针转动0角.旋转矩阵尺使P
7、点变换为P=x0cosOYosinO0sinO+yocosO1如果取平移变换矩阵-0=l01d,(4)L.o0lj其中,d,dy表示沿,Y轴方向平移的距离,则P点经平移变换后为P=0+dYo+d1.也可以同时施加多种变换矩阵于平面点P.例如,施加如下变换:P=TRSx0Yo1.r(5)表示对平面点P依次进行伸缩变换|s,绕坐标原点的旋转变换JR及平移变换.2内力图和位移图的绘制方法2.1平面刚架坐标系平面刚架单元ACDB如图1所示,其中,AC,DB分别是单元始端刚臂和末端刚臂,CD是单元弹性段.平面刚架使用结构坐标系oxy,单元坐标系和弹性坐标系c进行描述.这3种坐标系的定义及其坐标变换关系参
8、见文献10.图1平面刚架坐标系Fig.1Thecoordinatesystemsofplaneframe2.2内力图绘制基本原理平面刚架内力图绘制原理如图2所示.图中虚线cD,表示进行矩阵变换前的单元位置,CD是变换后的单元位置.不失一般性,以单元CJD中点E.的内力数据点F,为例,说明如何通过矩阵变换得到该数据点在结构内力图中的位置坐标.在图2中,c,D.,E,F1点坐标分别是(0,0),(Z,O),(1/2,0),(1/2,M).这里f是单元弹性段长度,是某一内力分量值.连接原点C与形成矢量cF,则矢量cF与数据点F具有一一对应的关系.只要确定了变换后c,F的位置,就可得到o(c1)ElD
9、L图2内力图绘制原理示意Fig.2Schematicdiagramofinternalforcediagramdrawing的变换数据.首先,对cF实施伸缩变换.令,Y轴方向的伸缩系数分别为1(不伸缩),s,根据伸缩变换矩阵,在伸缩变换后原点c位置不变,点横坐标保持不变,纵坐标压缩为s(图中令s<1),于是,经伸缩变换后的矢量为c,.其次,对矢量c进行旋转变换,并取旋转角=&+(是单元弹性坐标系与结构坐标系的夹角,见图1),矢量c顺时针转动角至c(令>0).最后,以结构坐标系中单元弹性段始端坐标(,Y)为平移量进行平移变换,将矢量c整体平移,就得到矢量.矢量是单元中点内力矢
10、量cF在结构内力图中的实际位置,F点的坐标就是单元中点内力数据点在结构内力图上对应的坐标.以上平面刚架单元内力绘图数据的变换要点是:(1)仅对单元内力数据点的内力分量值进行伸缩变换,即s;(2)旋转变换取从结构坐标系到弹性坐标系的旋转变换矩阵的转置矩阵,旋转角=&+;(3)平移量取单元弹性段始端在结构坐标系中的坐标(,Yc).2.3截面内力符号和内力图基本规定在弹性坐标系中,平面刚架单元截面内力列阵为F=IFFQ(6)式中,分别为截面轴力,剪力和弯矩.它们采用单元对应的悬臂梁进行计算,如图3(a)所示.计算任意截面的内力时,选取截面右侧f.(a)(b)图3悬臂梁内力Fig.3Inter
11、nalforcesofacantileverbeam一一138四川建筑科学研究第36卷段为隔离体(图3(b).截面内力符号和内力图规定为:(1)轴力以受拉为正,轴力图标明正负号;(2)剪力以使隔离体顺时针转动为正,剪力图标明正负号;(3)弯矩以使图3中截面下边(多的正半轴一侧)受拉为正.弯矩图不标注正负号,但绘制在截面受拉一侧.2.4单元内力绘图数据对于无结间荷载作用的单元,按Maflab线性分隔函数计算单元计算截面位置向量,即嬲=linspace(0,f,z/d)(7)式中z为单元弹性段长度;是等分间隔;xx是单元计算截面位置向量.如果单元存在结间荷载作用,可能引起内力图的突变或角点,如集中
12、荷载作用点处剪力产生突变,弯矩为角点等.为了在内力图上真实反映上述情况,需要把结间荷载的作用点加入计算截面位置向量中.否则,只能减小等分间隔,增加计算截面和计算量.不失一般性,假定单元同时作用有分布荷载q,集中力,集中力偶M,作用位置如图4所示.根据荷载作用点和作用范围,可以把单元划分为4段,各分段点组成的向量为MDyD图4多种结间荷载作用下分段划分截面Fig.4SegmentdivisionunderdifferentloadsL=a0ala2a3a4(8)式中a.=0,a=z,分别为单元弹性段始点和终点坐标.对于该向量中的每一区段,再按式(7)划分截面,即xxi=linspace(口il,
13、0i,(ni一口i一1)/)(9)其中,xxi是第i分段的计算截面位置向量.各分段位置向量再按分段顺序构成单元计算截面位置向量:嬲=xxl,xx2,xx3,xx4(10)将各分段位置向量xxi首,末元素在中的下标组成矩阵nn=nnl;nn2;nn3;nn4(11)式中nni是xxi的首,末元素在嬲中的下标.单元内力绘图数据是在弹性坐标系多内给出的,即Y00)=fwf式中由式(10)确定的计算截面位置向量;YY是在嬲上计算得到的截面内力分量组成的向量;,I,是由向量嬲或添加首,末元素0,z(单元弹性段长度)形成的,其目的是在单元上形成闭合的内力图形.2.5单元内力绘图数据的缩放系数由于结构内力与
14、几何坐标两者量纲不同,数量相差悬殊.为了在结构坐标系中绘出与结构几何图形大小协调的内力图,必须选择适当的缩放系数,对单元内力值进行缩放变换.在绘制内力图之前,先绘出结构简图并据此确定图形坐标框的范围,求出坐标框的最大尺寸.使用Matlab内置函数axis提取的坐标框范围为A:Y.Y(13)式中mi,Xmax是坐标框中横坐标的最小,最大值,其余类推.根据式(13),可以求出坐标框的最大长度:=max(A,A)(14)其中,A:一mi,A=y一YIn.为了叙述方便,将单元截面内力列阵式(6)用统一符号表示为F=FF3T(15)并假定在所有单元中,单元截面内力分量绝对值最大的分量为F一(i=1,2,
15、3),则单元计算截面归一化的内力分量为1Fi=-_=一(i=1,2,3)(16)lFiI归一化内力分量取值在一1与1之间.根据式(14),(16),取内力分量的缩放计算公式为AFi=sFi=iFi(i=1,2,3)(17)l,iI式中比例系数si:/IF一I能够保证各内力图的最大尺寸不会超过结构简图对应的坐标框的最大尺寸.s是在Matlab命令窗口输人的比例调整系数,可取0,1之间的值,通过它对内力图大小作即时控制.如果内力图与结构简图比例不协调,则在命令窗口重新输入s并重新绘制内力图.这样,各内力分量的缩放比例为(i=l,2,3),即s=l,S=i(18)式中s,分别为式(12)向量,y的伸
16、缩系数.2.6单元位移绘图数据及变换参数平面刚架单元弹性段位移绘图数据可按下式直接形成:丁星:应用矩阵变换绘制平面刚架内力图和位移图39一-I-SuU,1(19)Y=s伽J式中H,是单元计算截面向量嬲上沿曼,多方向的线位移向量;s是位移缩放系数,可以参照内力分量缩放系数SSi的计算式(17)确定.余下的旋转变换和平移变换与内力数据的变换相同.此外,结构坐标系中任意结点P(.,Yo)在结构变形后的坐标为1=X0-bSuU01(20)Y1=Yo+sJ式中,Y是结点位移后的坐标;uo,vo是结点P沿结构坐标轴,Y方向的线位移.将位移后的结点与单元弹性段杆端连接,就可绘出单元位移后的杆端刚臂.3平面刚
17、架静力分析程序及算例3.1平面刚架静力分析程序本文在Mat_lab上编写了平面刚架有限元静力分析程序PFM2,其构成见图5.PFM2考虑了多种因素的影响,包括各种结间荷载作用,单元杆端刚臂和剪切变形的影响以及斜支座和弹性约束等.基础数据采用数据文件输入,计算结果则在有关函数中写人输出数据文件,而LC循环用于多工况计算.绘图函数PFGraph应用本文介绍的方法编写,它在Matlab图形窗口输出单元及结构内力图和位移图,结构刚度矩阵集成及分解:PFStiff2结点综合荷载列阵计算与集成:PFLoad2解基本方程.求结构点位移列阵:PF_Disp2计算单元杆端位移和内力:PFEndInFDisp2计
18、算单元指定截面内力:PFSoctNQM计算支座反力:PFSuptForee绘制单元及结构内力图和位移图:PFGraph2l堕塞I图5平面刚架静力分析程序PFM2框图Fig.5ProgramdiagramofstaticanalysisprogramF其基本构成是:(1)绘制结构几何简图;(2)计算内力图和位移图绘图缩放系数SSi,s;(3)按单元循环计算结构内力图和位移图绘图数据,并绘制单元及结构内力图和位移图,进行相应的图形设置和标注.3.2算例【例1】图6所示平面刚架,截面为正方形0.6mO.6Ill,各杆弹性模量E=2.610kN/m,剪切模量G=1.310kN/m.结点2,4,7处杆端
19、刚臂长度为0.5m.考虑轴向变形,剪切变形及杆端刚臂的影响,用函数PFM2作结构内力图和位移图.q-4kN/m图6例1平面刚架Fig.6Planeframeforexample1本例选自文献1O,在Madab上运行程序PFM2,结点位移,杆端内力和截面内力计算结果均与文献1O吻合.在Madab图形窗口得到结构内力图和位移图,见图7.图7Fig.7(a)弯矩(b)剪力一l0.4l6(c)轴力(d)位移内力和位移Diagramsofinternalforceanddisplacement(下转第5O页)下t三巫墨一l囊l50四川建筑科学研究第36卷表2统计分析结果比较Table2Compariso
20、nofstatisticalanalysisresults,局压类型中心局压中部边缘局压端,角部局压总体计算方法(4组l2个)(5组15个)(5组l4个)(14组41个)式(1)式(2)0.845(O.092)1.ooo(o.101)0.944(0.133)0.936(0.128)0.879(0.092)1.045(0.109)1.005(0.133)0.983(0.133)从表2中的结果不难看出,本文方法的计算结果优于GB500032001规范方法.进一步考察4种不同位置的局部受压,除中心局部受压时的预测结果偏低外,其余3种情况略偏于安全,说明了本文建议的局部受压强度计算方法和扩散面积确定的
21、合理陛.同样,从表1可看出,本文局部受压强度提高系数存在上限值,如墙中部边缘和端部的局部受压,针对该多孔砖砌体,其限值分别为1.513和1.268,与现行GB50003规范相应的限制值(1.50和1.25)非常接近,从另一个侧面反映了本文分析方法的合理性.鉴于多孔砖砌体中心局部受压强度较其他位置的局部受压强度偏低的原因,限于目前该类试件数量较少,仍有待进一步的深入研究.4结论通过对多孔砖砌体局部均匀受压强度的研究和分析,总结如下:(1)多孔砖砌体局部均匀受压强度提高的原因是力的扩散作用和周围砌体的约束作用,相对实心砖砌体而言,由于砖截面内的孔洞,周围砌体的约束作用和力扩散作用明显减弱.(2)基
22、于力的扩散作用并考虑多孔砖孔洞率影响建立的多孔砖砌体局部受压强度计算方法,可较好地预测墙中部边缘,端部和角部的局部受压承载力.参考文献:1中国建筑科学研究院.JGJ1372001多孔砖砌体结构技术规范(2002年版)s.北京:中国建筑工业出版社,2003.2GB500032001砌体结构设计规范s.北京:中国建筑工业出版社,2002.3杨卫忠.砌体局部均匀受压强度计算J.郑州工业大学,1998,19(1):64-69.4杨卫忠,刘伟.砌体局部受压承载力计算的改进J.四川建筑科学研究,2005,31(4):19-21.5秦士洪,刘小勤,骆万康.烧结页岩多孔砖砌体局部均匀受压试验研究J.建筑结构,
23、2006,36(11):73-76.(上接第39页)4结论(1)算例表明,本文提出的基于二维图形矩阵变换原理的绘图方法及相应的绘图程序是合理可行的.(2)用Madab绘制平面刚架内力图和位移图,可以充分发挥其简洁,高效,可视化功能强的特点,特别适用于杆系结构有限元计算结果的图形显示.参考文献:34567891熊刚,杨立坡.基于ANSYS二次开发的实体单元模型内力图的实现J.交通与计算机,2007,(4):106108.1O2夏健明.用VB在AutoCAD上画平面杆系结构的弯矩图J.力学与实践,2004,(2):68-70.王家林.平面杆系结构有限元分析CAI系统J.重庆交通学院,2000,(4
24、):118128.唐前辉,张友利.基于MATLAB的静定梁内力图的绘制J.重庆电力高等专科学校,2005,(I):39-42.赵明波.MAPLE在连续梁内力图仿真中的应用J.山西建筑,2007,(3):98-99.杨林.数学软件Mathematica在绘制内力图中的应用J.甘肃科技,2006,(8):88-90.刘华良,魏志平,丁德馨,等.Mathcad在三铰拱内力计算中的应用J.南华大学(自然科学版),20o6;(1):18-22.梁琨.结构分析的荷载效应组合及图形绘制的计算机方法M.重庆:重庆大学出版社,1990.王莉,李宗保,吴志明.计算机图形学及其在工程中的应用M.北京:人民交通出版社,1992.钟万勰,丁殿明,程耿东.计算结构力学杆件结构M.北京:高等教育出版社,1990.