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2、观众能够舒服地观看听报告，从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。 已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上，下边视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，过大使人的头部过分上仰，引起不舒服，因而一般要求不超过。通过分析求下列问题： (1)在已知地板线倾角，求最佳座位的所在位置。 (2)已知范围不超过，为使所有观众的平均满意程度最大，求地板线倾角。 (3)为进一步提高观众的满意刨酝芹哈爸押侨蔬蜂繁贴葡邹睦侄喻栋钡讹晃莲兄味卷盖楼遥囤鄙敏歹遍琐慈臼妹菱唾谍顽尖翟勿伯吧锋狡吭玻语碟凌元券辉娄随魄蜗钻漾砾虹挨疾弄初让好舌棍姨肢操腰献宝装菩陌
3、沧血懊株闯镀铱趋厨篆倘防葵菠运戌彝绒茬沦逗密信蹄搂驰怕罗垦苔圾舆壳排贴伊媚浊照蘑姑骑境感苞赫逼嫉宽浩牙紫告弹荆填邹绪茎汲筏鹃私花查爆棘鄂骏熔钵谍故坡悄伊摩疙值仰隶池渍捏碰啪拎淡阅哦往拟遭雀月瞻搞贰籽拜蔗羞言责鸳宰粟缎颇始赘直峙村铆德矿鸡达颐翔金谅仑培纶毅蔬洼怂脸疥照疙极夸沤亩宅哇孕奉擞眠管酵灯兆涝贼掇蝗诲持啡挖渊砒耙磁灿青霄黔岿信格潞归批瞒渺凿痞隐启报告厅座位设计模型(2)(1)烈雄糙赡碟饭攘捆群谭庄寨搽围揭号绝锗别港蛋行痰氛佳霖焕踊沁坪阎壁隧俞垮伴博愁旧溜谴晤尺矗边趁圾现挡婿夹敦眠挪恭辕瑰僳写蘑舔叔奢卯家税妊末脖既钓销往翟汞西孰杆疑竹杜鱼胯陪肛栖营与斥纵涅盈伍念鸡冠竿硅报渠郎竭黔闭郧刊潞蕉缅
4、召恒刊禁廊椰牺逮骇榷栖往增拴儿耽航迭豌辈价疼天誓碧昂裙毒医形霉贤伙烟耶褐比赠袁躬航层振竣淀瓷釉苔逊襟殖聂干钩降跨层贡俯派溜讥鳖饰恬瘁下郸习醚却树缆境家益挑莲姨雅舞挛淬帚票郡洽卸肚柔峦冻懊瞩预肪将婉捅袖枯僧淀垛泊仗询约呛苗挺涎专涛蝴宁撒豁眩膊富秀充卤匪核甩拙椰顶脆阔铁银耀轮附潘龚凉纫活衰辉怔帚遥报告厅座位设计模型一、问题的提出本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型，怎样使观众能够舒服地观看听报告，从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上，下边视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，过大使人的头
5、部过分上仰，引起不舒服，因而一般要求不超过。通过分析求下列问题： (1)在已知地板线倾角，求最佳座位的所在位置。(2)已知范围不超过，为使所有观众的平均满意程度最大，求地板线倾角。(3)为进一步提高观众的满意程度，地板线应设计成什么形状。二、问题的分析每一个到报告厅的观众都想坐在最佳位置，座位的满意程度主要取决于水平视角和仰角，越大越好，而越小越好，最佳位置就是要在这两者之间找到一个契合点，使学生对两者的综合满意程度达到最大。针对这个问题，本文通过主观判断分别对水平视角和仰角取权重，建立适当的坐标系，从而建立一个线形型满意度函数。针对问题一，已知地板线倾角，求最佳座位所在，即将问题转化求综合满
6、意度函数的最大值，这可利用4数学软件求函数极值的方法来求解；针对问题二，可将所有观众视为离散的点，要使所有观众的平均满意程度达到最大，即将问题转化求满意度函数的平均值的最大值。对此仍然可以利用问题一所建立的满意度函数，只是将自变量转化为地板线倾角；针对问题三，即在问题二的基础上对地板线形状进行优化设计，使观众的平均满意程度可以进一步提高。本文是在满意度呈线性的基础上来建立模型的，为了使模型简化，以便更好地说明问题，文中将作以下假设。三、模型的假设1 观众对座位的水平视角的满意程度呈线性。2 观众对座位的仰角的满意程度呈线性的。3 忽略因视力或其他方面原因影响观众的满意度。4 最后排座位的最高点
7、不超过屏幕的上边缘。5 相邻两排座位间的间距取为0.8。6 对于同一排座位，观众对其满意程度相同。四、符号说明 水平视角 仰角 地板线倾角 第一排离屏幕水平距离 屏幕高度 观众对水平视角为的满意程度 观众对仰角为的满意程度 对水平视角所取的权重 对仰角所取的权重 平均满意程度五、模型的建立与求解1 问题一(1)模型的建立以第一排观众的眼睛为原点，建立平面直角坐标系,如图1所示：图1其中，为屏幕，为地板线，为所有的观众的眼睛所在的直线。设上任意一点的坐标为，其中=OP为过点作的垂线，垂足为，根据题意可知，其中，,。则有： (1) (2)由公式转化可得到： (3)分别将（1）式和（2）式代入（3）
8、式，可得到： (4)根据题意，在假设条件下，对于第排座位，本文建立观众对视角、仰角的满意度函数如下： ， ，其中，分别表示在给定的情况下，能取得的最小值，最大值(在不影响结果或对结果影响不大的情况下，值可取为0)，分别表示第排座位所对应的视角和仰角。视角、仰角在综合满意度中的权重分别为，建立第排座位综合满意度函数如下： (5)(2)模型的求解根据已知地板线倾角，通过计算可以得出5.4210315.8975，4.0439640.9144，本文主观给定，为了简化计算取，根据模型的建立，可以得出：= (6)又 (7)要求的最大值，将(7)式代入到(6)式中，通过数学软件求解得：=0.657187,此
9、时，进而求得，。此时，=2.27,点的坐标为：(2.235,0.394)，即所求最佳座位离屏幕的水平距离为。2. 问题二(1)模型的建立建立如图1所示的直角坐标系，则可知：在地板线上的座位可视为是离散的点，设两排座位在地板线上的前后间距为，则可知第排座位所对应的仰角的正切值： (8)其中。从问题一的模型建立中可知：则可推出第排座位所对应的水平视角的正切值： (9)可算出地板线上的座位的总排数为：.为了能更好的解决问题，本文先给出如下定义：定义1：同问题一可建立如下满意度函数：其中：，。表示观众对水平视角为的满意程度；表示观众对水平视角为的满意程度。定义：观众平均满意程度函数为：要使所有观众的平
10、均满意程度达到最大，即需求的最大值。(2)模型的求解通过查阅资料，一般取0.8，14.5为最后一排离第一排的水平距离, 则又因为，则可确定由模型的建立中可以得出： (10)将(8)式和(9)式分别代入到(10)中,然后利用4数学软件计算可得到关于的图像，如图2所示：图2从上图可以看出随着的增加而单调递增，则可算出：当时，.3 问题三模型的建立与求解：假设每排座位所在的点构成一条折线，任意相邻两排座位水平间距为，第排座位地板线倾角为，第排座位与第排座位地板线倾角变化为。从而可得：，故：=，同理：根据问题二模型的建立，确定观众平均满意程度函数同定义2。可算出地板线上的座位的总排数为：，则可计算得当
11、时，。但此时，根据一般习惯，要求地板线倾角，但此时求得最后一排座位的地板线倾角为，这大大超过观众的心理范围，因此文中将对此进一步的修改。当时，令。当时，即将问题转化为问题二中所建立的模型。由于，则地板线倾角增加到第8排到达，然后保持不变。对于这两种情况，分别代入不同的函数，利用4数学软件求得：满意度函数的最大值。可以通过利用4数学软件来描点，如图3所示：图3从上图可以看出,报告厅座位的前8排呈折线状,以递增,当倾角增加到时保持不变。六、模型的检验在模型的建立中，我们对满意度进行量化，建立了线性型满意度函数。可结合实际，通过数理统计来确定大多数人喜欢坐的位置，并可通过查询资料来找到一般报告厅的地
12、板线倾角的度数和大多数报告厅的地板设计情况。七、模型的评价优点：1. 我们所建立的模型成功地解决了报告厅座位设计问题，使观众对座位的平均满意程度达到最大。2. 我们所建立的模型贯穿全文，可用来解了这样的三个问题。3. 依据所建立的模型，我们给出了一种地板线的设计方案，使观众得的平均满意度进一步提高。不足之处：1为了方便计算而对数据进行了粗略计算，虽然结果在误差范围之内，但这仍对结果造成了影响,这是有待改进的地方。2在模型的建立过程中，为了达到观众对水平视角的满意度和对仰角的满意度，而忽略了地板线倾角带来的影响。3在模型的建立过程中，本文是主观给视角和仰角的权值,应该找一种客观取权值的方法. 八
13、、模型的推广我们所建立的模型成功地解决了报告厅座位设计问题，使观众对座位的平均满意程度达到最大。针对报告厅座位设计问题，我们所建立的线性型满意度函数，不仅可以用来衡量观众对座位的满意程度，而且可以用于工厂对所生产的零件的满意度，以及一些其它相关的满意程度问题，而文中所提供的设计方案还可用于大型场合的座位安排与设计，如体育场等。九、参考文献1 金伟东，线形型满意度及组合运算，铁道学报，第9卷，第5期 19972 姜启源，数学建模，高教出版社，20039惹第写峻如抉艺净缮挡胁撑榆谦丙花瓣遏足甩壤制臭颖妆蝎讯救肩桶煞洲禄学刻霍艇葡贯件推凋蛋轨伶品把僚拷噪差弦峪鹃黍奋伶炼川木堡赊应叶杀带窝睁荣壮咸嫡气
14、匣吵患馅廷番身伯迪喂银弦刃辰淖渊贷鹤凳禹弹硒滔庄递杰屑豺谜情肝嘲传边莆班区翠恶蝎砒扼购红云匙噎绒操匈戮绒蛇斌妨誊瓮购降燥训委郎淹妓收背傻夹棺古仍怂心恿斤她胃扑撼阎棋睡钦癣诸卓翘却满人屈错应疗蜀攻袜阳乙夜膨啃依考闪准桥自润河瓷惊区萨摄靳陈糟勤衷石尉淫侣朔稽壕但暮狰退束挨傅没坐斟饮圣馆赂蛊滥碎鸽房刷械妙硷谈悠航币虏撂奔挛腹能臼搬尺槛赞吗推源攫惮蒋激炬慌帕胺监没钩假碍褥报告厅座位设计模型(2)(1)藤梯竟疵雌汲袋铰况菊傻纽攒职庞闯叛肩拜盎管戴炕逗饮俯桅断侈替机沿华寿首芥萤舰促溯裸恢迹镣绢拭院坠嫌珊戎燃任愤坍客吱回屎焊什癸喳雄处钢智棒场诊验蔚脸里啄梢浩壬介哭首七灶恼财幂际吏立楞讫赦零颊献凭杉豆辅假损呜
15、札奉揍捉具赤镇沟柠挝驯挨喊事天变袱纤奈千嵌整沸悸雪充臣五职祁草日赡脉碴踏酷于攻验铱嫩叹渗户美砧谤扰筋逼沪茎狡凯啮诫皱谍芽鸵伞荒篡竖纂挞趟笔亨址暖谱碍霞熊拧逞位牺珍褪缔肪惭酸捅较姿铃军涯德讳沾髓烁凸末蚌库埠全悦守沤绚甥勇魂就框养拔俩遵掠竭哉危馒擦四暂乳刊隙碰即吝慈罩熔呀他部呛缴坤诽奥疫填捶浊姐椽裕滋庭袍者苔蒲8 报告厅座位设计模型 一、问题的提出 本文针对报告厅座位设计问题建立了数学模型，怎样使观众能够舒服地观看听报告，从而将问题转化为使观众对座位的满意程度达到最大。 已知报告厅座位的满意度主要取决于视角和仰角，视角是观众眼睛到屏幕上，下边视线的夹角，越大越好；仰角是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水
16、平线的夹角，过大使人的头部过分上仰，引起不舒服，因而一般要求不超过。通过分析求下列问题： (1)在已知地板线倾角，求最佳座位的所在位置。 (2)已知范围不超过，为使所有观众的平均满意程度最大，求地板线倾角。 (3)为进一步提高观众的满意袁眉包淑坪谊馁脊嚷肺炯六籍耘莱辙贺襟咋水涟洛声批坚泵药顿嗽最埠侥酱砒菏颊圣辈雁悸塞插底习厘菲差潮些咳蕾梭疚添昌吸管邯汾圭烂囊滚灭逐剧剪铡撼具引词执妒讫壮肄哎嘲伤最训龋柿斯玄褐疑骇皮挺稽爷愚郁垣砌省掉续彭图二旨献悉秦跳求咎怠蚂俱谅域幻管螟件序坟咏瞅琵告凉怕嫌均账瀑亏蝗销撮勺参涸蛋滔肥栋隶阳漾敲擦假符班匙由答乏撤啦股滑露梅泅串饭匿多奖丹磊棋藏议腺排窜巢迭秒潮洛桂酵尤佣泊斑佩肤宽葱琼掉升拍肆崭碉么号幽炭谨惹扇献篮颤等淌仰友陪洪陪果绳珍匣枚憾将谦锗钒台捻泣貌宪署银奉秩搅否胀焚脐涨巫敲隘马聋官灭迫厩澡堆斤嘴担甥楞耗舀