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1、2010年度本科生毕业论文（设计）用EXP-函数法求（2+1）维CD方程的精确解院 系: 数学学院 专 业: 数学与应用数学 年 级: 2006级 学生姓名: 蒋卫良 学 号: 200605050248 导师及职称: 丁玉敏（教授） 2010年6月2010 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate EXP-function Method for Solving Exact Solution of CD EquationDepartment: College of MathematicsMajor: Mathe
2、matics and Applied MathematicsGrade: 2006Students Name: Jiang wei liangStudent No.:200605050248Tutor: Ding yu min（Professor）June, 2010毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果.据我所知,除文中已经注明引用的内容外,本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果.对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体,均已在文中作了明确说明并表示谢意. 作者签名: 日期: 毕业论文（设计）授权使用说明本
3、论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定,学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版.有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅.学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容.保密的论文（设计）在解密后适用本规定. 作者签名: 指导教师签名: 日期: 日期: 蒋卫良 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注龙瑶教授数学学院主席（组长）丁玉敏教授数学学院谌孙康讲师数学学院何应辉讲师数学学院 红河学院本科毕业论文（设计） 摘要 利用指数函数展开法并借助Maple软件，简捷地获得了(2+1)
4、维CD方程的许多的新的行波解，包括各种类型的孤立波解和三角函数周期解,并用Maple画出几种典型的波形图.关键词: (2+1)维CD方程；指数函数法；行波解；孤立波解；三角函数周期解.ABSTRACTIn this paper, with the aids of the mathematic software-Maple ,we briefly obtained many new travalling wave solutions of the (2+1)dimentional CD equation by utilizing exp-function expansion method. Al
5、l of these solutions include all kinds of soliton-travelling solutions and Periodic Solutions of trigonometric functions. As a result,we acquied many typical waveform pictures with the software-Maple.Keywords: (2+1)dimentional CD equation; exp-function expansion method; travalling wave solutions; so
6、liton-travelling solutions; Periodic Solutions of trigonometric functions目录 第一章 引言4第二章（2+1）维CD方程的精确解22.1指数函数法的基本思想32.2 （2+1）维CD方程的求解及对解的变换分析32.2.1（2+1）维CD方程的一般解32.2.2（2+1）维CD方程的精确解4第三章 结论26参考文献27致谢28红河学院本科毕业论文（设计） 红河学院本科毕业论文（设计）第一章 引言 以物理及其他学科为背景的微分方程的研究是当代数学的一个重要组成部分.目前，微分方程研究的主体是非线性偏微分方程，很多自然科学和工程
7、技术问题，最终都归结为非线性偏微分方程的研究.近几十年来，对某些非线性偏微分方程的精确求解获得了许多有效的方法，如齐次平衡法1、双曲正切函数展开法2、试探函数法3、非线性变换法4、 sine-Cosine法5、 Jacobi椭圆函数展开法6、混合指数法7等.然而非线性方程(尤其是非线性偏微分方程)的求解非常困难,而且求解非线性方程没有也不可能有统一而普遍适用的方法,以上一些方法也只能具体应用于某些非线性方程的求解, 因此继续寻找一些有效可行的方法仍是一项十分重要的工作. 方程介绍:由Calogero和Degasperis首先提出的CD方程（破裂孤立子方程） （1-1）是一个重要的非线性偏微分方
8、程，它描述了（2+1）维非线性波方程的长波沿着x轴传播，黎曼波沿y轴传播的相互作用.在文献8中张解放等用齐次平衡法和推广的Hirota双曲线方法获得了破裂孤立子方程一些孤子解，在文献9中郑斌用直接约化法得到了方程(1-1)的Backlund变换公式，从而获得了该方程一些孤子解，在文献10中高正晖用行波变换和截断展开法，获得了方程(1-1)的许多的新行波解。本文利将用指数函数方法11-14求(2+1)维CD方程新的精确解. 29第二章（2+1）维CD方程的精确解2.1指数函数法的基本思想对于给定的一个非线性偏微分方程(PDE) （2-1）为求方程的精确解,作变换 （2-2）其中为待定常数.将代入
9、方程,可将式行波约化为的常微分方程(ODE) （2-3）设可表示为的有限幂级数,即 （2-4）其中是待定正整数,是待定常数.和的关系的确定,可以通过平衡方程的非线性项和最高阶偏导数项的最高次数来进行.同理,平衡方程的非线性项和最高阶偏导数项的最低次数,可以得到和的关系.再把和及和取一些特定的值,可将方程的左边化为的多项式.令的系数为零,得到相应的代数方程组,求解这些代数方程,并将这些结果代入式便得到方程用表示的行波解的一般形式.2.2 （2+1）维CD方程的求解及对解的变换分析2.2.1（2+1）维CD方程的一般解为了求出（1-1）的行波解，作变换,， （2-5）其中为待定常数.将（2-5）代
10、入（1-1）得： （2-6）在方程（2-6）两边对进行积分并化简得： （2-7)设（2-7）的解可表示为的有限幂级数，即 ， （2-8）其中是待定正整数，是待定常数.为了确定和的关系,平衡方程（2-7）中的非线性项和最高阶偏导数项的最高次数：= （2-9） （2-10）其中是系数.由（2-9）和（2-10）得,即.同样,为了得到和的关系,平衡方程（2-7）中的非线性项和最高阶偏导数项的最低次数：= (2-11) (2-12)其中是系数.由（2-11）和（2-12）式，得,得：. 于是，得到（2+1）维CD方程的一般解为： (2-13)2.2.2（2+1）维CD方程的精确解情形I 当和时，由（2
11、-13）式得： = （2-14） 将（2-14）式代入方程（2-7），并借助Maple计算得到： （2-15）其中 ； ；.令的系数为零，从而得到关于的代数方程组： 借助Maple, 解上述代数方程得下列4组参数值： （2-16） （2-17） （2-18） （2-19）(1) 将（2-16）代入（2-14）得到方程的一组行波解：，其中:.当时，则变为一个孤立波解：，其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(2) 将（2-17）代入（2-14）得到方程的一组行波解：，其中:.当时，可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(3) 将（2-18）代入（
12、2-14）得到方程的一组行波解：,其中:.令，则可变为一个孤立波解：,其中:.又令为任意实数，则可化为：.(4) 将（2-19）代入（2-14）得到方程的一组行波解：,其中:.令，则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.为了使解更形象直观，能看出解的性态，利用数学软件Maple将几个典型的波形图绘制如下： 图是行波：图是孤立波：，图是三角函数周期解：,.情形 当和时，由（2-13）式得： （2-20）借助Maple,由同样的方法得到14组参数值：； （2-21） （2-22） （2-23）； （2-24） (2-25） （2-26） （2-27） （2-28
13、） （2-29） （2-30） （2-31）（2-32） （2-33） （2-34）(5) 将（2-21）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.令，则变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(6) 将（2-22）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.令,则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(7) 将（2-23）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.令则可变为一个孤立波解：，其中:.又令为实数，则可变为一个三角函数周期解：.(8) 将（2-24）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.令
14、则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(9) 将（2-25）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.(10) 将（2-26）代入（2-20）得到方程的一组行波解： .其中:.(11) 将（2-27）代入（2-20）得到方程的一组行波解：，其中:.令，则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(12) 将（2-28）代入（2-20）得到方程的一组行波解：， 其中:.令，则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数,则可变为一个三角函数周期解：.(13) 将（2-29）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.(
15、14) 将（2-30）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.令,则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(15) 将（2-31）代入（2-20）得到方程的一组行波解：, 其中:.令，则可变为一个孤立波解：, 其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(16) 将（2-32）代入（2-20）得到方程的一组行波解：其中:.令则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意函数，则可变为一个三角函数周期解：(17) 将（2-33）代入（2-20）得到方程的一组行波解：,其中:.令，则可变为一个孤立波解：,.令为任意函数，则可变为一个三角函数周期解：.(
16、18) 将（2-34）代入（2-20）得到方程的一组行波解： , 其中:.同理，用Maple将几个典型波形图绘制如下： 图是行波：，;图是孤立波：;图是三角函数周期波：.情形 令时，由（2-13）式得： （2-35）为了计算简单，令，借助Maple,由同样的方法得到21组参数值： （2-36） （2-37） （2-38） （2-39） （2-40） （2-41） （2-42）（2-43） （2-44） （2-45） （2-46） （2-47） （2-48） （2-49） （2-50） （2-51） (2-52) (2-53） （2-54） (2-55) （2-56）(19) 将（2-36）代入
17、（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.(20) 将（2-37）代入（2-35）得到方程的一组行波解： ，其中:.令则可变为孤立波解：，其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(21) 将（2-38）代入（2-35）得到方程的一组行波解：，其中:.令则可变为孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：(22) 将（2-39）代入（2-35）得到方程的一组行波解： ， 其中:.令则可变为孤立波解：，其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(23) 将（2-40）代入（2-35）得到方程的一组行波解：其中:.(24) 将（2-41）代入（2-35）得到
18、方程的一组行波解：，其中:.令，则可变为一个孤立波解：, 其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(25) 将（2-42）代入（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.令，则可变为一个孤立波解：, 其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(26) 将（2-43）代入（2-35）得到方程的一组行波解： 其中:.(27) 将（2-44）代入（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.(28) 将（2-45）代入（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.(29) 将（2-46）代入（2-35）得到方程的一组行波解： ,其中:.(30) 将（2-47）代入（2-35）得到方
19、程的一组行波解：,其中:.(31) 将（2-48）代入（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.(32) 将（2-49）代入（2-35）得到方程的一组行波解： 其中:.(33) 将（2-50）代入（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.令则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(34) 将（2-51）代入（2-35）得到方程的一组行波解： , 其中:.令，则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(35) 将（2-52）代入（2-35）得到方程的一组行波解：/ 其中:.令则可变为一个孤立波解： , 其中:.令为任意实数
20、，则可变为一个三角函数周期解：(36) 将（2-53）代入（2-35）得到方程的一组行波解：,其中:.令则可变为一个孤立波解： ,其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(37) 将（2-54）代入（2-35）得到方程的一组行波解：其中:.令，则可变为一个孤立波解：,其中:令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解： (38) 将（2-55）代入（2-35）得到方程的一组行波解： 其中:.令则可变为一个孤立波解：其中:.令为任意实数，则可变为一个三角函数周期解：.(39) 将（2-56）代入（2-35）得到方程的一组行波解： ,其中:.令则可变为一个孤立波解：,其中:.令为任意实数，
21、则可变为一个三角函数周期解：同理，用Maple将几个典型波形图绘制如下： 图行波：图孤立波：图周期波：.第三章 结论本文利用函数法,简捷、方便的得到了方程的行波解，用该方法求出的行波解具有一般性,包括各种孤波解和三角函数周期解.本文主要结果如下:1.利用-函数法得到了(2+1)维CD方程的一般解;2.将所得到的一般解利用三角变换化简、分析、讨论,从而得到了方程的各种精确解;3. 利用软件画出了几种典型的波形图,这样更形象直观地看出本文所得解的性态.本文对非线性(2+1)维CD方程的解只就文中所列三种情形进行了研究.对CD方程的求解研究还有许多的工作要做，作者拟在今后对此问题进行更深的研究,以期
22、得到非线性(2+1)维CD方程的更丰富、更完美的解. 红河学院本科毕业论文（设计）参考文献1 丁双双，孙维君.累次齐次平衡法及其应用J.数学的实践与认识,2008,38(12):127-135.2 王家玉.一类非线性发展方程的精确解J.潍坊学院学报,2008,8(6):8890.3 刘法贵,魏凯.广义KDV-MKDV方程的精确解J.华北水利水电学院学报,2009,30(5):9899.4 杨琼芬.非线性方程Klein-Gordon新的行波解J.绵阳师范学院学报,2009,28(5):1519.5 熊莉,张健.广义(3+1)维立方Schrodinger方程新的精确解J.四川师范大学学报（自然科学
23、报），2009,32（1）:3638.6 高娃,长龙.广义随机KP方程的椭圆周期解J.数学的实践与认识,2008,38(24):219224.7 张善卿.简化的混合指数方法及其应用J.杭州电子科技大学报,2007,27(2):4548.8 张解放，郭冠平.（2+1）维破裂孤子方程的新多孤子解J.物理报,2003,52(10):2359-2362.9 郑斌.破裂孤子方程的新孤子解J.量子电子学报,2006,23(4):451-455.10 高正晖.(2+1)维CD方程的精确行波解J.科学技术与工程学报，2009,9（8）：21222133.11 丁玉敏,冀小明.利用函数展开法求 波方程的精确解J
24、.西南民族大学学报(自然科学版),2007,34(1):2026. 12 赵云梅，芮伟国.用EXP-函数法求Equal Width波方程的精确解J.河南科技大学学报，自然科学版，2008，29（2）：1672-6871.13 蒋永清,吴玉红.利用指数函数法求解变系数KdV方程J.绍兴文理学院学报,2007,27(10):4953.14 郑珊.广义PC方程的孤立波解J.内江师范学院学报.2008,23(8):1921.致谢 在本文的完成过程中，我的导师丁玉敏老师一直在耐心的教导我，帮助我.他严肃的科学态度,严谨的治学精神,精益求精的工作作风,深深地感染和激励着我.从课题的选择到论文的最终完成,丁老师都始终给予我细心的指导和不懈的支持.在这过程中,不仅使我接受了新的思想观念,树立了明确的目标,领会了基本的思考方式,而且还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理.正是由于他在百忙之中多次审阅和指导,对一些细节进行修改,并为本文的撰写提供了许多宝贵的意见,本文才得以成型. 在此特向丁老师致以衷心的谢意！向他无可挑剔的敬业精神、严谨认真的治学态度、深厚的专业修养和平易近人的待人方式表示深深的敬意！同时,四年来,我的领导、师长及同学给予我许多关心和帮助,使我终生受益,我也真心地感谢他们.