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,定理,一、换元公式,证,应用换元公式时应注意:,（1）,（2）,例1,定积分的换元法,换元必须换限,不换元则不变限,凑微分,另解 原式,解 原式,例1,定积分的换元法,换元必须换限,解,令,原式,例1,定积分的换元法,换元必须换限,解,原式,例1,定积分的换元法,换元必须换限,解 原式,另解 原式,不换元则不变限,例2 (1) 计算,解,令,(2),解,或,提示：,提示：,换元一定要换积分限 不换元积分限不变,解,(3),提示：,例3 计算,解,例4 计算,解,原式,例5 计算,解,令,原式,例6 证明,分析： （1）积分区间一样；（2）被积函数不同。 解决：采用适当的换元，使 a+b-x 化为 x .,证明,令,则,所以,所以，原命题成立。,换元,换限,证,奇函数,例6 计算,解,原式,偶函数,单位圆的面积,定积分的换元法,例1,换元必须换限,解 原式,证,（1）设,（2）设,几个特殊积分、定积分的几个等式,定积分的换元法,二、小结,1、基本换元规律，与不定积分相同； 2、定积分的换元法，得到新元的原函数后，无须回代， 但必须做到换元同时换限。,思考题,解,令,思考题解答,计算中第二步是错误的.,正确解法是,练 习 题,练习题答案,