弹性力学-02平面问题的基本理论 (2).ppt

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1、第二章 平面问题的基本理论,要点, 建立平面问题的基本方程,包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等,主 要 内 容,2-1 平面应力问题与平面应变问题,2-2 平衡微分方程,2-3 平面问题中一点的应力状态,2-4 几何方程 刚体位移,2-5 物理方程,2-6 边界条件,2-7 圣维南原理及其应用,2-8 按位移求解平面问题,2-9 按应力求解平面问题 相容方程,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,2-1 平面应力问题与平面应变问题,1. 平面应力问题,(1) 几何特征,等厚度薄板： 一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。,如：板式吊钩，旋

2、转圆盘，工字形梁的腹板等,(2) 受力特征,外力（体力、面力）方向平行于板面，大小沿板厚方向不变化，且面力只作用于板的周边。,(3) 应力特征,如图选取坐标系，以板的中面为xy 平面，垂直于中面的任一直线为 z 轴。,由于板面上不受力，有,因板很薄，且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有：,由剪应力互等定理，有,结论：,平面应力问题只有三个应力分量：,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数，与 z 无关。,2. 平面应变问题,(1) 几何特征,水坝,滚柱,厚壁圆筒,无限长等直柱形体：一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿纵向几何形状和尺寸不变化。,(2) 外力特征,外力（

3、体力、面力）方向平行于横截面，大小沿纵向长度不变化，且面力只作用于柱体的侧面。,(3) 变形特征,如图建立坐标系：以任一横截面为 xy 面，任一纵线为 z 轴。,设 z方向为无限长，则任一横截面均为对称面，,沿 z方向都不变化，仅为 x，y 的函数。,水坝,因为任一横截面均为对称面，则有,所有各点的位移矢量都平行于 x y 平面。, 平面位移问题, 平面应变问题,注：,(1)平面应变问题中,但是，,(2)平面应变问题中应力分量：, 仅为 x y 的函数。,可近似为平面应变问题的例子：,煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。,如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问

4、题？,平面应力问题,平面应变问题,非平面问题,两类平面问题：,水坝,滚柱,（2）位移边界条件,3. 平面问题的求解,问题：,已知：外力（体力、面力），边界条件，材料特性,求：, 仅为 x y 的函数,需建立三个方面的关系：,（1）静力学关系：,（2）几何学关系：,（3）物理学关系：,形变与应力间的关系。,应力与体力、面力间的关系；,形变与位移间的关系；,建立边界条件：, 平衡微分方程, 几何方程, 物理方程,（1）应力边界条件,2-2 平衡微分方程,取微元体PABC（P点附近），,Z 方向取单位长度。,设P点应力已知：,体力：fx ，fy,AC面：,BC面：,注： 这里用了小变形假定，以变形前

5、的尺寸代替变形后尺寸。,由微元体PABC平衡，得,整理得：, 剪应力互等定理,两边同除以dx dy，并整理得：,两边同除以dx dy，并整理得：,平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,说明：,（1）两个平衡微分方程，三个未知量：, 超静定问题，需找补充方程才能求解。,（2）对于平面应变问题，z方向自成平衡， x、y方向的平衡方程相同，故上述方程两类平面问题均适用；,（3）平衡方程中不含E、，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；,（4）整个弹性体（包括内部、边界）平衡条件都须满足。,2-3 平面问题中一点的应力状态,1. 斜面上的应力,（1）斜面上应力在坐标方向的分量px，py,设P点的应

6、力分量已知：,斜面AB上的应力矢量: p,斜面外法线 N 的关于坐标轴的方向余弦：,由微元体平衡：,整理得：,（2-3）,得：,（2-4）,外法线,同样，由,（2）斜面上的正应力与剪应力,（2-3）,（2-4）,将式（2-3）（2-4）代入，并整理得：,（2-5）,（2-6）,说明：,（1）运用了剪应力互等定理：,（2） 的正负号规定：,将 N 转动90而到达 的方向是顺时针的，则该 为正；反之为负。, 任意斜截面上应力计算公式,（3）若AB面为物体的边界S，则,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,2. 一点的主应力与应力主向,（1）主应力,若某一斜面上 ，则该斜面上的正应力 称为该点一个

7、主应力 ；,当 时，有,求解得：,（2-7）, 平面应力状态主应力的计算公式,主应力 所在的平面 称为主平面；,主应力 所在平面的法线方向 称为应力主向；,由式（2-7）易得：, 平面应力状态应力第一不变量,（2）应力主向,设1 与 x 轴的夹角为1， 1与坐标轴正向的方向余弦为 l1、m1，则,设2 与 x 轴的夹角为2， 2与坐标轴正向的方向余弦为 l2、m2，则,应力主向的计算公式：,（2-8）,由,得,显然有,表明：,1 与 2 互相垂直。,结论,任一点P，一定存在两 互相垂直的主应力1 、 2 。,（3）N 的主应力表示,由,1 与 2 分别为最大和最小应力。,（4）一点的最大应力与

8、最小应力：,最大、最小正应力：,由：,表明：,主应力 中，一定包含最大、最小正应力。,最大、最小剪应力：,由,显然，当,时，N为最大、最小值：,由,得，,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,前面内容回顾与小结：,基本假定：,（掌握这些假定的含义及作用）,（1）两类平面问题：,水坝,滚柱,（2）平面问题的平衡微分方程：,（2-2）,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,（3）斜面上的应力,（2-8）,表明：1 与 2 互相垂直。,（4）一点的主应力、应力主向、最大最小应力,（2-7）,max、 min 的方向与1 （ 2 ）成45。,2-4 几何方程 刚体位移,建立平面问题中应变

9、与位移的关系, 几何方程,1. 几何方程,一点的变形,长度的改变；,角度的改变；,考察P点邻域内的变形：,变形前,变形后,P,A,B,u,v,注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。,PA的正应变：,PB的正应变：,P点的剪应变：,P点两直角线段夹角的变化,整理得：,几何方程,（2-9）,说明：,（1）,反映任一点的位移与该点应变间的关系，是弹性力学的基本方程之一。,（2）,当 u、v 已知，则 可完全确定；,（积分会出现积分常数，要由边界条件确定。）,（3）, 以两线段夹角减小为正，增大为负。,反之，已知 ，不能完全确定 u、v。,2. 刚体位移,物体无变形，只有刚体位移。 即：,(a),(b)

10、,(c),由(a)、(b)可求得：,(d),将(d)代入(c)，得：,或写成：,上式中，左边仅为 y 的函数，右边仅 x 的函数，两边只能等于同一常数，即,(e),积分(e) ，得：,(f),其中，u0、v0为积分常数。 （x、y方向的刚体位移），代入（d）得:,(2-10), 刚体位移表达式,讨论：,（1）,仅有x方向平移。,（2）,仅有y方向平移。,（3）,r,说明：, P点沿切向绕O点转动, 绕O点转过的微小角度（刚性转动）,（2-9）,几何方程：,(2-10),刚体位移表达式：,小 结：,2-5 物理方程,建立：平面问题中应力与应变的关系,物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。,

11、1. 各向同性弹性体的物理方程,在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。,（2-13）,其中：E 为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；为横向变形系数，又称泊松比。,（1）平面应力问题的物理方程,由于平面应力问题中,（2-15）, 平面应力问题的物理方程,注：,(1),(2), 物理方程的另一形式,（2）平面应变问题的物理方程,由于平面应变问题中,（2-16）, 平面应变问题的物理方程,注：,(2),平面应变问题 物理方程的另一形式：,由式（2-13）第三式，得,？,（3）两类平面问题物理方程的转换：,(1),平面应力问题,平面应变问题,材料常数的转换为：

12、,(2),平面应变问题,平面应力问题,材料常数的转换为：,本章前面主要内容回顾：, 平面应力状态应力第一不变量,2-6 边界条件,1. 弹性力学平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程：,（2-2）,（2）几何方程：,（2-9）,（3）物理方程：（平面应力）,未知量数：,8个,方程数：,8个,结论：,在适当的边界条件下，上述8个方程可解。,2. 边界条件及其分类,边界条件：,建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。,是力学计算模型建立的重要环节。,边界分类,（1）位移边界,（2）应力边界,（3）混合边界, 三类边界,（1）位移边界条件,位移分量已知的边界 位移边界,用us 、 vs表示边界上的位

13、移分量， 表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表示为：,（2-17）, 平面问题的位移边界条件,说明：,称为固定位移边界。,（2）应力边界条件,给定面力分量 边界 应力边界,由前面斜面的应力分析，得,式中取：,得到：,（2-18）,式中：,l、m 为边界外法线关于 x、y 轴的方向余弦。如：, 平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,例1,如图所示梁，试写出其边界条件。,q,(1),(2),(3),(4),例2,如图所示三角形悬臂梁，试写出其边界条件。,(1),AB段（y = 0）：,代入边界条件公式，有,(2),BC段（x = l）：,(3),AC段（y

14、 =x tan）:,例3,图示水坝，试写出其边界条件。,左侧面：,由应力边界条件公式，有,右侧面：,例4,图示竖柱，试写出其边界条件。,左侧面：,上侧面：,右侧面：,例5,图示竖柱，试写出其边界条件。,左侧面：,右侧面：,上侧面：,例6,图示薄板，在y方向受均匀拉力作用，试证明在板中间突出部分的尖点A处无应力存在。,解：, 平面应力问题,AB 边界：,由应力边界条件公式，有,（1）,AC 边界：,代入应力边界条件公式，有,（2）,A 点同处于 AB 和 AC 的边界， 满足式（1）和（2），解得, A 点处无应力作用,在 AC、AB 边界上无面力作用，即,例7,图示楔形体，试写出其边界条件。,

15、上侧：,下侧：,图示构件，试写出其应力边界条件。,例8,上侧：,下侧：,（3）混合边界条件,(1),物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。,(2),物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：,图(a)：连杆支承边, 位移边界条件, 应力边界条件,图(b)：齿槽边, 位移边界条件, 应力边界条件,2-7 圣维南原理及其应用,问题的提出：,解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足八个基本方程相对容易，但要使边界条件亦完全满足，往往很困难。,关于边界条件的两种困难情形：,1、边界条件虽已知，但寻求完全满足边界条件的解很困难。,2、只知道物体一小部

16、分边界上所受面力的合力和合力偶，而该面力的具体分布方式却不明确，从而精确的应力边界条件无法引入。,对于以上两种情况，根据下述的“圣维南原理”，我们仍可得到问题的有用解答。,1.圣维南原理,(Saint-Venant Principle),原理：,若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。,要点：, 小部分边界（次要边界）；, 静力等效；, 影响范围限于近处，远处不受影响；,推广: 如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系, 那么, 这个面力只会使近处产生显著的应力,而远处的应力可不计。,2.圣维南原理的应用,(1

17、),对有些受力边界，若受力复杂或仅知所受面力的合力和合力偶时。,(2),对有些位移边界，若位移边界条件不易满足时。,注意事项：,(1),必须满足静力等效条件；,(2),只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。,如：,凡根据圣维南原理，通过将原问题小部分边界上的面力进行静力等效变换而求得的解答，称原问题“圣维南意义下的精确解”（有用解）。,3.小边界上的静力等效边界条件,有用解在小边界上满足的是“静力等效边界条件”，即：小边界上的有用应力解与边界上的实际面力使整个小边界微片保持平衡（但在小边界上一般不能保证逐点平衡）。,下面以与x轴垂直的直线小边界为例，导出静力等效边界条件：,根据圣

18、维南原理求解，就是将对边界条件的要求适当放宽，从而使问题的求解成为可能。,例9,图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力P作用。试写出水坝的应力边界条件。,左侧面：,代入应力边界条件公式,右侧面：,代入应力边界条件公式，有,上端面：,为次要边界，可应用圣维南原理。,法向合力：,对O点的合力矩：,切向合力：,边界条件,（2-17）, 平面问题的位移边界条件,（1）位移边界条件,（2）应力边界条件,（2-18）, 平面问题的应力边界条件,垂直 x 轴的边界：,垂直 y 轴的边界：,特殊情形：,上一节内容回顾：,2-8 按位移求解平面问题,1.弹性力学平面问题的基本方程,2.弹性力学问题的求

19、解方法,（1）按位移求解（位移法）,以u、v 为基本未知函数，导出只含u、v 的微分方程和边界条件，并求出u、v ，再由几何方程求出形变、由物理方程求出应力分量。,（2）按应力求解（应力法）,以应力分量 为基本未知函数，导出只含应力分量 的微分方程和边界条件，并求出应力分量 ；再由物理方程求出形变分量、由几何方程求出位移分量。,（3）混合求解,以部分位移分量 和部分应力分量 为基本未知函数，并求出这些未知量，再求出其余未知量。,3. 按位移求解平面问题的基本方程,（1）位移分量应满足的微分方程,由形变表示应力的物理方程,将几何方程代入，有,（2-19）,（a）,将弹性方程式(a)代入平衡微分方

20、程，化简有,（2-20）, 用位移表示的平衡微分方程, 弹性方程,（2）将边界条件用位移表示,位移边界条件：,应力边界条件：,（a）,将弹性方程式（a）代入，得,（2-21）,（2-17）, 用位移表示的应力边界条件,（3）按位移求解平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程：,（2-20）,（2）边界条件：,位移边界条件：,（2-17）,应力边界条件：,（2-21）,说明：,（1）对平面应变问题，只需将式中的E、作相应替换即可。,（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。,2-9 按应力求解平面问题 相容方程,1.变形协调方程（相容方程）,按应力求解平面问题的未知函数：,（2-2）,平衡

21、微分方程：,2个方程，3个未知量，为超静定问题，,需寻求补充方程。,从几何、物理,方程着手建立补充方程。,将几何方程：,（2-9）,作如下运算：,显然有：,（2-22）, 形变协调方程（或相容方程）,即： 必须满足上式才能保证位移分量 u、v 的存在与协调，才能求得这些位移分量。,例：考虑不满足相容方程的形变分量,其中：C 为常数。,由几何方程得：,积分得：,由几何方程的第三式得：,显然，此方程是不可能的，因而不可能存在相应的位移分量。,2. 变形协调方程的应力表示,（1）平面应力情形,将物理方程代入相容方程，得：,（2-22）,利用平衡微分方程将上式化简：,（a）,将上述两边相加：,（b）,

22、将 (b) 代入 (a) ，得：,将 上式整理得：,（2-23）,应力表示的相容方程,（2）平面应变情形,将 上式中的泊松比换为 ， 得,（2-24）,（平面应力情形）,应力表示的相容方程,（平面应变情形）,注意：,当体力 fx、fy 为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,（2-25）,3.按应力求解平面问题的基本方程,（1）平衡微分方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（2-23）,（3）边界条件：,（平面应力情形）,说明：,（1）按应力求解一般只限于求解应力边界问题。,（2）对单连体，由上述方程就可完全确定应力分量。,（3）但对多连体，有时还需利用位移单值条件，才能完全确定应力分量。,

23、例11,下面给出平面应力问题（单连体）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,（1）,（2）,解,（a）,（b）,（1）,将式（a）代入平衡微分方程：, 满足,（2）将式（a）代入相容方程：, 式（a）不是一组可能的应力场。,（2）,解,将式（b）代入应变表示的相容方程：,式（b）满足相容方程，（b）为可能的应变分量。,例12,图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力 和剪应力 的表达式，并取挤压应力 =0，然后说明这些表达式是否代表正确解。,解,材料力学解答：,式（a）满足平衡方程和相容方程？,（a）,式（a）是

24、否满足边界条件？,代入平衡微分方程：,显然，平衡微分方程满足。,式（a）满足相容方程。,再验证，式（a）是否满足边界条件？, 满足,满足,满足,代入相容方程：,上、下侧边界：,左侧边界：,满足,结论：式（a）为正确解,右侧边界：,约束反力：,静力等效边界条件为 ：,2-10 常体力情况下的简化 应力函数,1.常体力下平面问题的相容方程,令：, 拉普拉斯（Laplace）算子,则相容方程可表示为：, 平面应力情形, 平面应变情形,当体力 fx、fy为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即,或,（2-25）,常体力下，对于单连体，且为应力边界问题时，所有方程及边界条件无弹性常数E、，则这时应力解

25、必与材料的弹性常数无关。,2.常体力下按应力求解的方程,（1）平衡微分方程,（2）相容方程（形变协调方程）,（3）应力边界条件,（4）位移单值条件, 对多连体，有时须考虑。,讨论：,（1）, 光弹性实验原理。,（2）,全解 = 齐次方程通解,3.常体力下平衡微分方程解的形式,(1) 特解,常体力下特解形式：,+非齐次方程的特解。,(1),(2),(3),(a),平衡微分方程：,将式(b)第一式改写为,由微分方程理论，必存在一函数 A(x,y)，使得,(c),(d),同理，将式(b)第二式改写为,(e),(f),比较式( d)与(f)，有,也必存在一函数 B(x,y)，使得,(2) 齐次通解,式

26、(2-2) 的齐次方程：,(b),由微分方程理论，必存在一函数(x,y) ，使得,(g),(h),将式 (g)、(h) 代入 (c)、(d)、(e)、(f)，得通解,(i),(3) 平衡微分方程(2-2)的全解, 对应于平衡微分方程的齐次通解。, 常体力下平衡微分方程的全解。,由式（2-26）看：不管(x,y)是什么函数，都能满足平衡微分方程。,(x,y) 平面问题的应力函数, Airy 应力函数,4.常体力下相容方程的应力函数表示,将式（2-26）代入常体力下的相容方程：,(2-25),有：,注意到体力 fx、 fy 为常量，有,将上式展开，有,(2-27), 应力函数表示的相容方程,给出了

27、应力函数满足的条件。,式（2-27）可简记为：,或：,式中：,满足方程(2-27)的函数(x,y) 称为重调和函数（或双调和函数）,结论：,应力函数应为一重调和函数,（a）,(2-27),（b）,然后由 求出应力分量 ：,(2-26),（c）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,5.常体力下按应力函数求解平面问题的步骤：,先由相容方程（2-27）求出应力函数 ：,本章主要内容回顾,弹性力学平面问题的基本方程,按位移求解平面问题的基本方程,变形协调方程或相容方程,（2-22）, 形变协调方程（或相容方程）,（1）, 应力表示的相容方程,（2）,按应力求解平面问题的基本方程,（4

28、）位移单值条件, 对多连体，有时须考虑。,（1）,(2-27),（2）,然后将 代入式（2-26）求出应力分量 ：,先由相容方程（2-27）求出应力函数 ：,(2-26),（3）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,(2-28),（无体力情形）,（常体力情形）,常体力下（f x =常量、 f y =常量）按应力函数求解平面问题,位移边界条件、用位移表示的应力边界条件；,本 章 小 结,1.,两类平面问题：,平面应力问题；平面应变问题。,（两类平面问题中基本方程的异同）,2.,平面问题的基本方程：,平衡微分方程、几何方程、物理方程、边界条件（位移、应力）。,（几何特点、受力特点

29、、应力、应变、位移特点）,3.,平面问题的求解,（1）,按位移求解平面问题,基本方程：,用位移表示的平衡微分方程；,边界条件：,（a）,(2-27),（b）,(2-26),（c）,再让 满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。,常体力下按应力函数求解平面问题,4.,位移、应力边界条件的列写及圣维南原理的应用（小边界上的静力等效边界条件）.,5.,任意斜面上应力、主应力、主方向；任意方向正应变的计算。,（2）,先由相容方程（2-27）求出应力函数 ：,然后由 求出应力分量 ：,题2,将平面应变问题的物理方程（2-16），变换为用应变表示应力的形式。,作业：,题1,试写出图示三角形悬臂梁的边界条件。,题3,图示楔形体，试写出其边界条件。,（题2图）,（题3图）,试写出图示问题的边界条件。(应用圣维南原理),题4,(a),(b),(c),(d),（1）,（2）,下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。,补充题,1.,作 业,2.,试用圣维南原理写出梁固定端的应力边界条件。,3.,图示楔形体，试写出其边界条件。,（题3图）,（题2图）,图示悬臂梁，受三角形分布载荷作用，若梁的正应力由材料力学公式给出 ，试由平衡微分方程求出 ，并检验该应力分量能否满足应力表示的相容方程。,4.,