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1、,第四章 弯曲内力,材料力学,41 弯曲的概念和实例 42 受弯杆件的简化 43 剪力和弯矩 44 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图 45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系 46 平面曲杆的内力图,第四章 弯曲内力,一、弯曲的概念,受力特点：杆件受垂直于轴线的外力（包括外力偶）的作用。,梁：以弯曲变形为主要变形的构件通常称为梁。,41 弯曲的概念和实例,变形特点：轴线变成了曲线。,工程实例,工程实例,二、平面弯曲的概念,梁的横截面有一对称轴，外载荷作用在纵向对称面内，杆发生弯曲变形后，轴线仍然在纵向对称面内，是一条平面曲线。,非对称弯曲,若梁不具有纵向对称面，或者，梁虽具有纵向对称面但外力并不作
2、用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲。,下面几章中，将以对称弯曲为主，讨论梁的应力和变形计算。,梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。,1. 构件本身的简化,42 受弯杆件的简化,取梁的轴线来代替梁,(1)固定铰支座 2个约束，1个自由度。,(2)可动铰支座 1个约束，2个自由度。,2. 支座简化,(3)固定端,3个约束，0个自由度。,固定铰,可动铰,固定铰,可动铰,固定端,3. 梁的三种基本形式,(1)简支梁,(2)外伸梁,(3)悬臂梁,4. 载荷的简化,作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型：,集中力、集中力偶和分布载荷。,
3、5. 静定梁与超静定梁,静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。,超静定梁：由静力学方程不能求出支反力或不能求出全 部支反力。,已知：F，a，l。,解：(1)求支座反力,43 剪力和弯矩,求：距A 端x处截面上内力。,C,（2）求内力截面法,剪力FS,弯矩M,FS,M,M,FS,取左段：,A,B,F,FB,FAy,剪力和弯距的正负号规定,剪力,弯距,顺时针 为正,下凸 为正,内力的正负规定(以截面左右来定）,（1）剪力FS: 左上右下为正;反之为负。,左上右下为正,（2）弯矩M：使梁变成上凹下凸的为正弯矩；反之为负弯矩。,左顺右逆为正,可以装水为正,切面法,切取代,平（静
4、力平衡方程),Y=0 Fs+ Y方向的外力=0 Fs=Y方向的外力代数和,简易法求剪力Fs,外力对切面产生顺时针转动取正所有外力在剪力方向投影的代数和即为此处剪力,顺,Fs=9-4=5kN,Fs=10+4-9=5kN,切面法,切取代,平（静力平衡方程),M=0 M+ 外力矩=0 M=外力矩代数和,简易法求弯矩M,向上的外力产生正弯矩,向下的外力产生负弯矩,上,左:M=92-41=14kN.m,右:M=94-43-101=14kN.m,切面法求离左边4m处的内力,左: MO=0 M=-14+6=2kN.m 外力偶左顺为正,简易法求弯矩M（碰到集中外力偶）,左顺右逆,左:M=-12=-2kN.m,
5、右:M=14-6=-2kN.m,简易法求得4m处的Fs=1kN,右: M=12=2kN.m,求离左边2m处的内力? ? ?,简易法写内力方程,受力分析,-YA9+2066=0, MC=0,YA=80kN, Y=0,RC=40kN, X=0,XA=0kN,Fs(x) =80-20x,M(x) = 80x-10x2,简易法写内力方程,若取右侧为对象,Fs(x) = -40+20(6-x)=80-20x,M(x) = 40(9-x)-10(6-x)2= 80x-10x2,简易法写内力方程,简易法写内力方程,如在BC段,取左:Fs(x) =80-206=-40,取左:M(x) = 80x-206 (x
6、-3),取右:Fs(x) =-40,取右:M(x) =40(9-x),求梁的指定截面内力,注,练习(写出下图的Fs、M方程）,练习,练习,4-4 梁的内力图,Fs=4kN,M=4xkN.m,Fs=0kN,Fs=-4kN,M=4(6-x)kN.m,M=8kN.m,0-2m,4-6m,2-4m,Fs(kN),M(kN.m),8,4,4,M图下侧画正M,M图在受拉区,4-4 梁的内力图,Fs=12-4x kN,M=12x-2x2 kN.m,Fs(kN),M(kN.m),18,12,12,M图下侧画正M,M图在受拉区,4-4 梁的内力图,Fs=20-10x kN,M=-5(2-x)2 kN.m,Fs(
7、kN),M(kN.m),20,20,M图下侧画正M,M图在受拉区,一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系,取一微段dx， 进行平衡分析。,q(x),q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+dFS (x),FS(x),M(x),dx,A,剪力的导数等于该点处荷载集度的大小。,45 载荷集度、剪力和弯矩间的关系,弯矩图的导数等于该点处剪力的大小。,弯矩与荷载集度的关系。,q(x),M(x)+d M(x),FS(x)+dFS (x),FS(x),M(x),dx,A,1、若q=0，则FS=常数，M是斜直线；,2、若q=常数，则FS是斜直线，M为二次抛物线；,3、M的极值发生在FS=0的截面上。,二、
8、剪力、弯矩与外力间的关系,外力,无外力段,均布载荷段,集中力,集中力偶,q=0,FS图特征,M图特征,水平直线,斜直线,向下突变,无变化,斜直线,曲线,有折角,向下突变,4、将微分关系转为积分关系,Fs、M图简易画法,1、q=0 区,Fs图,M图,V+,V-,2、q=c 区,Fs图,q,q,M图,q,q,3、Fs=0,M图抛物线顶点或是水平线,Fs、M图简易画法,4、集中力处,Fs图跳变P,M图不跳变,5、利用q、v图的面积求特定点的F、M,集中力偶处m,Fs图不变,M图跳变m,F2=F1+Sq Sq q向下为负,M2=M1+SFs SFs 同Fs正负号,简易作图法: 利用内力和外力的关系及特
9、殊点的内力值来作 图的方法。,例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。,解:,特殊点:端点、分区点（外力变化点）和驻点等。,qa2,qa,根据,及FS图和M图的特征作图。,简易法画Fs、M图,ql/2,ql/2,Fs(kN),M(kN.m),ql2/8,简易法画Fs、M图,Pba/l,M,Pb/l,Fs,FCA=Pb/l,FCB=Pa/l,Pa/l,Pb/l,Pa/l,简易法画Fs、M图,m,m/l,Fs,M,m,m,m,m/l,简易法画Fs、M图,ma/l,M,m/l,Fs,mb/l,ma/l,mb/l,MCA=ma/l,MCB=mb/l,简易法画Fs、M图举例,求出RB=20 kN,RD=
10、8 kN,FA=0 kN,FBA=-8 kN,8,MA=0 KN.m,MB=SFs=-8 KN.m,MD=0 KN.m,M(KN.m),8,16,简易法画Fs、M图举例,求出RA=6 kN,RC=18 kN,18,MA=MC=0,MBA=SFs=12 kN.m,MBC=24 kN.m,M(KN.m),6,12,B点 ; Fs=0处？,24,MO=24+SV=27,27,叠加法简介,+,叠加法简介,+,ql2/8,区段叠加法,6,4,624/6=8,322/8=1.5,一、平面刚架,1. 平面刚架,46 平面刚架和曲杆的内力图,特点：刚架各杆的内力有： FN 、FS、M。,同一平面内，不同取向的
11、杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。,2. 内力图规定,剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正值画在刚架的外侧），但须注明正、负号。,弯矩图：画在受拉侧，不注明正、负号。,试作图示刚架的内力图。,F1,F2,a,l,A,B,C,例,FN 图,FS 图,F1a,F1a+ F2 l,M 图,二、曲杆,已知：如图所示，F及R 。试绘制FS、M、 FN 图。,F,A,B,例16,轴线为曲线的杆件。,内力情况及绘制方法与平面刚架相同。,解：建立极坐标，q表示截面mm的位置。,F,A,B,M,FN,FS,F,A,B,A,B,M图,FS图,FN图,2FR,F,F,应用计算机分析软件绘内力图,3m,3m,2m,40kN,A,D,50kN/m,C,B,50kN/m,3m,4m,2m,1kN,A,D,1kN/m,C,B,8kN,1m,公路桥梁结构设计系统（GQJS）,第四章结束,