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1、上课,手机 关了吗？,教材：概率论与数理统计宗序平等编机械工业出版社,参考书：1.概率论与数理统计学习指导 2.概率论与数理统计练习卷,概率论与数理统计统计,序 言,?,概率统计是研究什么的？,概率论与数理统计研究随机现象统计规律性的一门数学学科,试验1:盒中十个完全相同白球，搅匀后摸取一个;,试验2:盒中十个大小、形状相同的球，但5白5黑，搅匀后摸取一个.,必取到白球,事前可以预料的，即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象，称为必然现象或确定性现象；,不能确定结果是白球还是黑球，,事前不可预料的，即在相同条件下重复进行观察或试验时，有时出现有时不出现的现象，称之为偶然现象或随机现象。,但当
2、重复试验的次数相当大时，出现白球与黑球的次数接近，其与试验总次数之比逐渐稳定于二分之一.,确定性现象非常广泛,例:太阳必然从东方升起;,随机现象也很普遍,例:抛硬币观察哪一面朝上;,抓住苹果,松手后必然落地;矩形长a宽b,面积,必为ab; 作直线运动的质点距离为S(t),则质点移 动的速度必定是v(t)=, 过去我们所学的 各门数学课程基本上都是用来研究和处理这类确定性现象的,通常被称作经典数学.,随机现象在大量重复试验或观察中呈现出固有规律性，称为随机现象的统计规律性。,某地区的年降雨量;,电话交换站单位时间收到用户呼唤次数;,打靶弹着点到靶心的距离,概率论与数理统计研究随机现象统计规律性的
3、一门数学学科.,由于其研究对象的特殊性,课程的许多用语及思考问题的方法与经典数学有很大差别,这也是学习该课程的困难所在.,学习时注意学科特点,循序渐进,特别要重视结合实例分析理解(解题步骤均需理解透).,切记:学习本课程,既不能急于求成,也无法靠考前突击.请做好预习、复习工作.,作业:作业纸对折、抄题、过程、题间空行、上交时间. 辅导答疑时间: 联系电话:7877254,第1章 随机事件与概率,随机事件 事件的概率 概率的一般定义与性质 条件概率与事件的独立性 全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式,一、几个概念,1.1 随机事件,1.随机现象:,个体上表现为不确定性,而大量观察中呈现出统计规律
4、性的现象.,2.(随机)试验:,对随机现象进行的观察或试验.表:T,满足:重复性明确性(所有结果)随机性(不可预言),3.(随机)事件:,随机试验的结果.用A、B、C表示,4.样本点与样本空间:,随机试验的每一个可能的基本结果称为这个试验的样本点,记作;,全体样本点的集合称为样本空间,记作,T1: 将一枚硬币连抛三次,考虑正反面出现的情况；,T2:将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数;,T3:掷一颗骰子,考虑可能出现的点数；,T4: 记录某网站一分钟内受到的点击次数；,T5:在一批灯泡中任取一只，测其寿命.,随机实验的例,5.随机事件,基本事件 复合事件,注:将随机事件用集合A、B 即样本空
5、间的子集表示;,由一个样本点组成 由多个样本点组成,基本事件即由一个样本点组成的集合.,必然事件: 不可能事件:,由全体样本点组成的集合,仍记,不包含任何样本点的集合,记空集,B=掷出奇数点是复合事件,对试验T3 ,Ai =掷出i点(i=1,2,3,4,5,6)都是基本事件.,注:基本事件(从而样本空间)由试验目的而确定.,现在让我们重温那个从死亡线上生还的故事:,本来，这位犯臣抽到“生”还是“死”是一个随机事件，且抽到“生”和“死”的可能性各占一半，也就是各有1/2概率. 但由于国王一伙“机关算尽”，通过偷换试验条件，想把这种概率只有1/2 的“抽到死签”的随机事件，变为概率为1的必然事件，
6、终于搬起石头砸了自己的脚，反使犯臣得以死里逃生。,对试验T1 ,HTT,THT,TTH, HHT, HTH,THH, HHH;,C=“恰好出现一次正面”,=HTT,THT,TTH.,试验T5中,C“灯泡寿命超过1000小时”,x: x1000(小时)。,A“至少出一个正面”,B=“三次出现同一面”,=HHH,TTT;,用样本空间的子集表示事件能反映事件的实质,且比用文字表示简单,还便于今后计算概率,当试验T1的结果是HHH时,可以说事件A和B同时发生了;但事件B和C不可能同时发生.,易见,事件间的关系是由他们所包含的样本点决定的,这种关系可以用集合间的关系来描述。,二、事件之间的关系和运算,A
7、B ,AB且BA.,1.包含关系:,A发生必导致B发生, 记AB,2.相等关系:,(1) A,(2)若AB, BC,则AC,事件A发生或B发生,n个事件A1, A2, , An至少有一个发生:,3.事件的和:,即A、B至少有一个发生, 这样的事件称为事件A与B的和, 记作AB (或A+B),n个事件A1, A2, An同时发生:,4.事件的积:,事件A、B同时发生, 这样的事件称为事件A与B的积, 记作AB(或AB),5.互不相容(互斥)关系:,事件A、B不可能同时发生, 即AB=,n个事件A1, A2, An或可列个事件A1, A2,An,互不相容:,AiAj=( ij ),基本事件是互不相
8、容的.,6.对立(互逆)关系:,事件A、B只有一个发生且必有一个发生, 即:,AB=且AB=.,称A与B为对立事件, B是A的对立事件或逆事件,记作,A,思考：何时A-B= ? 何时A-B=A？,7.事件的差:,事件A发生而B不发生, 这样的事件称为事件A与B的差, 记作A-B,(1) A-B =,-A,(2),8.完备事件组A1, A2, , An :,(1)AiAj=(ij, i, j=1,2,n);,A1,A2,A3,An,注:(1)一试验的基本事件构成完备事件组.,(2)A与 构成完备事件组.,(3)概念推广:可列个事件A1, A2,An ,构成完备事件组.,1.交换律：,三、事件的运
9、算法则(运算律),ABBA，ABBA,2.结合律：,(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC),3.分配律：,(AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC),4.摩根律：,5.重叠律：,AA ， AA,A A,对立律:, ,吸收律:,A= , A= , A= , A=, A A ,蕴含律:,AB A,AB B,AB A,AB B.,例：甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,A3:“至少有一人命中目标”,A4 :“恰有一人命中目标”,A6 :“恰有两人命中目标”,A7:“至多有一人命中目标”,A1:“三人均
10、命中目标”,A8:“三人均未命中目标”,A2:“只有第一人命中目标”,A5 :“至少有两人命中目标”,( ),作业：P6,2； 3.,?,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？,1.2 事件的概率,随机事件A发生的可能性大小的度量(数值)称为事件A发生的概率，记作P(A),对于一个随机事件来说,它发生的可能性大小,应该是事件本身所具有的属性,不能带有主观性.就好比一根木棒的长度,一块土地的面积一样.,如何测量概率?,引言试验2:盒中若干个大小、形状相同的白、黑球, 搅匀后摸取一个, 摸到白球的概率是多少?,一、概率的统计定义,1.频率
11、定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次,则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记 fn(A)=nA/n.,2.频率性质: (1) 0 fn(A)1； (2) fn()=1； fn( )=0 (3) 可加性：若AB ，则 fn(AB)= fn(A)fn(B).,频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小.尽管每进行一连串(n次)试验,所得频率可能各不相同,但只要n相当大,频率与概率会非常接近.,历史上多人做过抛掷质地均匀硬币的试验:,实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069 K. Pears
12、on 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,概率可通过频率来“测量”,频率是概率的一个近似.,在相同条件下进行S 轮试验,稳定在概率p附近,频率的稳定性是随机现象统计规律性的典型表现,它为用统计方法求概率值开拓了道路.,3.概率定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次, 频率fn(A)= nA/n随着n的增大总在某一固定的数值p附近摆动, 称p为事件A发生的概率, 记为P(A)p.,引言试验2:当不知盒中多少个白、黑球时,可以进行大量重复试验,如果事件A=“取到白球”的频率逐渐稳定到1/2附近,可以得到P(A)=1/2,并且可以断定盒中
13、白球数与黑球数相等.,注:P(A)fn(A), 正如木棒长度客观存在,但无论测量仪器多么精确,将测量值当作真值总是一种近似.,由概率的统计定义与频率的性质，易见概率具有以下性质:,(1) 0 P(A) 1;,(2) P() =1;P( ) =0;,(3)若A1, A2, Ak为两两互不相容事件即AiAj=(ij),则,1.定义: 若某实验T满足,二、古典概型,概率论发展初期的主要研究对象,简单、直观、易理解；在实际问题中应用广泛.,1.有限性:样本空间=1,2 ,n; 2.等可能性:(公认)P(1)=P(2)=P(n).,P(1)+P(2) +P(n)=1,P(i)=1/n (i =1,2,n
14、),则称T为古典概型也叫等可能概型。,若事件A中含m个样本点,则,P(A)=,例:有三个子女的家庭,设每个孩子是男是女的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,= HHH, HHT, HTH, THH, HTT, TTH, THT, TTT ,解:设A=“至少有一个男孩”, 以H表示某个孩子是男孩. 则,乘法原理:设完成某事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法,则完成这件事共有n1n2种方法,2.排列、组合复习,加法原理：设完成某事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。,有重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k 次,每
15、次取一个,记录其结果后放回,将记录结果排成一列，,n,n,n,n,共有nk种排列方式.,无重复排列:从含有n个元素的集合中随机抽取k 次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式.,n,n-1,n-2,n-k+1,组合：从含有n个元素的集合中随机抽取k 个， 共有,种取法.,Pnk=n(n-1)(n-k+1),理解:,特例全排列(n=k):,Pnk=Cnk k!,(Pnn=)Pn=n!,当k较接近n时利用公式: Cnk=Cnn-k进行计算,规定: 0!=1; Cn0=1=Cnn,(由乘法原理),(1)抽球问题,答:取到一红一白的概率为3/5,
16、3.古典概型的几类基本问题,解:设A=“取到一红一白”, 则,例1: 设盒中有3个白球,2个红球,现从中任抽2个球,求取到一红一白的概率.,一般地,盒中有N个球,其中M个白,任抽n个,恰有k个白球的概率是,注:产品检验、疾病抽查、作物选种等多问题可化为该模型,(2)分球入盒问题,解:设A=“每盒恰有一球”, B=“空一盒”,则,例2：将3个球随机的放入3个盒子中去，求： 每盒恰有一球的概率及空一盒的概率.,P(B)=,1-P空两盒-P全有球,注：把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm),则每盒至多有一球的概率是：,某班级有n 个人(n365), 问至少有两个人 的生日在同一天的概率有多大？,?
17、,解:设A=“n 个人中至少两个人生日在同一天”,当班级人数达到23且班级数目很多时,一般会有一半的班级至少两个人生日在同一天.,(3)分组问题,例3：30名学生中有3名运动员,将30名学生平均分到3组,求:(1)每组有一名运动员的概率； (2)3名运动员集中在一个组的概率.,解: 设A=“每组有一名运动员”; B=“3名运动员在同一组”,(4) 随机取数问题,例4: 从1到200这200个自然数中任取一个, (1)求取到的数能被6整除的概率; (2)求取到的数能被8整除的概率; (3)求取到的数既能被6整除也能被8整除的概率.,解: 设,4.几何概率,早在概率论发展初期，人们就认识到， 只考
18、虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。,在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形 成了确定概率的另一方法几何方法。,几何方法的要点是：,(1)设样本空间是平面上某区域,其面积();,(2)向区域上随机投掷一点该点落入内任何部分区域内的可能性只与该区域的面积成比例,而与这部分区域的位置和形状无关.,(3)设事件A是的某个区域,其面积为(A),则向区域上随机投掷一点,该点落在 A内的概率为,(*),(4)若样本空间用一线段,或空间某个区域表示,向上随机投掷一点的含义如前述,则事件A的概率仍可用(*)式确定,()理解为长度或体积.,A,例1 甲、乙相约在0到T这段时间内在预定地点会面,先到的人等候另一人t时间离去.设每人在0到T这段时间内各时刻到达该地是等可能的,且两人到达的时刻互不相连.求甲、乙两人能会面的概率.,解,0xT , 0yT,以x、y 表示平面上点的坐标,所有可能到达时刻组成的点可用,设A=“甲、乙能会面”, 以x、y表示甲、乙两人到达的时刻，则,所求概率:,平面上正方形0xT , 0yT内所有的点表示出来,两人能会面的充分必要条件是:,例:相约7至8点等候20分钟,P(A)=5/9,作业：10,5，7，8.,下课,