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1、近 世 代 数 (Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第8讲,第5节 变换群,河北师范大学,研究一种代数体系就是要解决这种代数体系 的下面三个问题： 存在问题 数量问题 结构问题 关于数量问题，指的是彼此不同构的代数体 系的数量，因为同构的代数体系抽象地看可 以认为是相同的代数体系。,对于任意给定的一个群，如果能够找到一个具体的，并且和它同构的群，那么这个群的结构问题就很清楚了。,本讲的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变 换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研 究清楚了，无论是否如此简单，但至少从理 论上知道凯莱定理的重要性。,变换群
2、是一种有重要意义的群。一方面可以说它是一种具体的群，它的元有明确的具体意义，运算也有具体意义；另一方面，它又代表了一切可能的群，研究所有的群，只要研究清楚全部的变换群即可，但这样做有一定难度。,从历史上来讲，研究群首先是研究对称群，其概 念是抽象代数创始人E.Galois在证明4次以上一元 代数方程不能用根号求解时引进的，而群的真正 抽象化是自弗罗宾纽斯（1849-1917）开始的。,集合的变换,变换：设,是一个非空集合，若,是,就称,是,的一个变换.,到,上的映射,变换集合：由,的全体变换做成的集合记为,，由,的全体一一变换做成的集合记为,例1 设,的全部变换如下,变换乘法：,2.规定代数运
3、算变换乘法,考虑：1.集合,任取T(A)中元,也是A上的一个变换，即属于T(A)。,称为同的乘积,从而得到T(A)上一个代数运算。,作变换群,3. A上恒等变换是T(A)上单位元：,2. 变换乘法适合结合律：,？考察T(A)对于变换乘法是否构成群？,1. T(A)对变换的乘法是封闭的；,4.T(A)中每个元是否有逆元？,例1：设A=1,2。则T(A)包含A的4个变换：,？考察S对于变换乘法是否构成群？,非空；封闭；结合律成立；单位元是,因为对于任意,？考察S对于变换乘法是否构成群？,答案是否定的，原因何在？ 如何解决？ 但一些变换构成的子集可构成群。 下面讨论一些变换构成群的条件。,定理1：假
4、定G是集合A的若干变换所构成的集合，并且G包含恒等变换。若对于变换乘法来说，G构成群，那么G只包含A上的一一变换。,证明：设G是群，恒等变换是其中元素，则一定是其单位元。,令 是G的任意元，由G是群，则它有逆元,下证 是A上的一一变换。,满射 设a是A中任意一个元素，,单射 设a, b是A中元素，若,则,定义1：一个集合A的若干一一变换对于变换乘法作成的一个群叫做A的一个变换群。,证明：封闭性：两个一一变换的乘积是一一变换； 结合律成立； 恒等变换是一一变换，是单位元。 一一变换的逆变换是一一变换，是其逆元。,定理2：一个集合A上的所有一一变换作成一个变换群。称为集合A上的对称群。,例2: 设
5、Z是整数集。令,则G是Z的一个变换群，并且和整数加群同构。,证明 封闭性,单位元,逆元,结合律当然成立,例3: 平面上绕一点旋转的旋转群,证明 封闭性,单位元,逆元,例4: 平面上的平移群,证明 封闭性,单位元,逆元,注：（1）一个集合的变换群一般不是唯一的；,（2）变换群一般不是交换群。,（3）以下的凯莱定理将告诉我们，如果将所有变 换群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了。,定理3(凯莱定理),任何群都能同一个变换群同构.,证：设,是任意一个群,，规定,，且易证它是一个一一变换。,（2）令,，则,所以,则它是G的一个变换,构造与G相关的变换群,（1）,所以,（3）证明群G与变换群 同构。,规定映射：,#由构作方式可知显然是满射。,#单射,若,则由消去律可知,设,即对任意,#同态,时，其上的对称群即全体置换作成的,群称为n 次对称群，记作,当,定义：,定义：有限集合的一个一一变换称为一个置换.,一个有限集合的若干个置换作成的变换群称为 一个置换群.,定义：,特别的,定理4：n次对称群,的阶为,定理5：任何有限群都与一个置换群同构.,