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1、第10章 电路中的谐振,10. 1 串联电路的谐振,10. 2 并联电路的谐振,10. 3 串并联电路的谐振,谐振(resonance)是正弦电路在特定条件下所产生的一种特殊物理现象，作为电路计算没有新内容，主要分析谐振电路的特点。,10. 1 串联电路的谐振,含有L、C的电路，当电路中端口电压、 电流同相时，称电路发生了谐振。,一、 谐振的定义,二、RLC串联电路的谐振,1、谐振条件：（谐振角频率）,谐振角频率 (resonant angular frequency),谐振频率 (resonant frequency),谐振周期 (resonant period),2、使RLC串联电路发生谐
2、振的条件,（1）. L C 不变，改变 w 。,（2）. 电源频率不变，改变 L 或 C ( 常改变C )。,w0由电路本身的参数决定，一个 R L C 串联电路只能有一 个对应的w0 , 当外加频率等于谐振频率时，电路发生谐振。,通常收音机选台，即选择不同频率的信号，就采用改变C使电路达到谐振。,3、RLC串联电路谐振时的特点,根据这个特征来判断电路是否发生了串联谐振。,(2). 入端阻抗Z为纯电阻，即Z=R。电路中阻抗值|Z|最小。,(3). 电流I达到最大值I0=U/R (U一定)。,(4). LC上串联总电压为零，即,串联谐振时，电感上的电压和电容上的电压大小相等，方向相反，相互抵消，
3、因此串联谐振又称电压谐振。,谐振时的相量图,当w0L=1/(w0C )R时， UL= UC U 。,(5). 功率,P=RI02=U2/R，电阻功率达到最大。,即L与C交换能量，与电源间无能量交换。,三、特性阻抗和品质因数,1. 特性阻抗 (characteristic impedance) ,单位：,与谐振频率无关，仅由电路参数决定。,2. 品质因数(quality factor)Q,它是说明谐振电路性能的一个指标，同样仅由电路的参数决定。,无量纲,谐振时的感抗或容抗,(a) 电压关系：,品质因数的意义：,即 UL0 = UC0=QU,谐振时电感电压UL0(或电容电压UC0)与电源电压之比。
4、 表明谐振时的电压放大倍数。,UL0和UC0是外施电压Q倍，如 w0L=1/(w0C )R ，则 Q 很高，L 和 C 上出现高电压 ,这一方面可以利用，另一方面要加以避免。,例：,某收音机 C=150pF，L=250mH，R=20,但是在电力系统中，由于电源电压本身比较高，一旦发生谐振，会因过电压而击穿绝缘损坏设备。应尽量避免。,如信号电压10mV , 电感上电压650mV 这是所要的。,(b) 功率关系：,电源发出功率：无功,电源不向电路输送无功。电感中的无功与电容中的无功大小相等，互相补偿，彼此进行能量交换。,有功,(c) 能量关系：,设,则,电场能量,磁场能量,电感和电容能量按正弦规律
5、变化，最大值相等 WLm=WCm。,总能量是常量，不随时间变化，正好等于最大值。,电场能量和磁场能量不断相互转换，有一部分能量在电场和磁场之间作周期振荡，不管振荡过程剧烈程度如何，它都无能量传给电源，也不从电源吸收能量。,电感、电容储能的总值与品质因数的关系：,UC0=QU，则 UCm0=QUm,品质因数越大，总的能量就越大，振荡程度就越剧烈。,Q是反映谐振回路中电磁振荡程度的量，一般讲在要求发生谐振的回路中总希望尽可能提高Q值。,与 Q2 成正比,由Q 的定义：,从这个定义，可以对品质因数的本质有更进一步的了解：,维持一定量的振荡所消耗的能量愈小，则振荡电路的“品质”愈好。,四、RLC串联谐
6、振电路的谐振曲线和选择性,1. 阻抗的频率特性,幅频 特性,相频 特性,2. 电流谐振曲线,谐振曲线：表明电压、电流大小与频率的关系。,幅值关系：,可见I(w )与 |Y(w )|相似。,X( ),|Z( )|,XL( ),XC( ),R,阻抗幅频特性,阻抗相频特性,电流谐振曲线,从电流谐振曲线看到，谐振时电流达到最大，当w 偏离w0时，电流从最大值U/R降下来。换句话说，串联谐振电路对不同频率的信号有不同的响应，对谐振信号最突出(表现为电流最大)，而对远离谐振频率的信号加以抑制(电流小)。这种对不同输入信号的选择能力称为“选择性”。,3. 选择性与通用谐振曲线,(a)选择性 (selecti
7、vity),例.,一接收器的电路参数为：,L=250mH, R=20W, C=150pF(调好), U1=U2= U3 =10mV, w 0=5.5106 rad/s, f0=820 kHz.,从多频率的信号中取出w 0 的那个信号，即选择性。,选择性的好坏与谐振曲线的形状有关，愈尖选择性愈好。,若LC不变，R大，曲线平坦，选择性差。,小得多,收到北京台820kHz的节目。,Q 对选择性的影响：R 变化对选择性的影响就是Q对选择性的 影响。,为了方便与不同谐振回路之间进行比较，把电流谐振曲线的横、纵坐标分别除以w0和I(w0)，即,(b) 通用谐振曲线,Q越大，谐振曲线越尖。当稍微偏离谐振点时
8、，曲线就急剧下降，电路对非谐振频率下的电流具有较强的抑制能力，所以选择性好。,通用谐振曲线：,因此， Q是反映谐振电路性质的一个重要指标。,称为通频带BW (Band Width),可以证明：,I/I0=0.707以分贝(dB)表示：,20log10I/I0=20lg0.707= 3 dB.,所以，1， 2称为3分贝频率。,4. UL(w )与UC(w )的频率特性,UL(w )：,当w =0， UL(w )=0； 0w 0，电流开始减小，但速度不快， XL继续增大，UL 仍有增大的趋势，但在某个w下UL(w )达到最大值，然后减小。 w ，XL， UL()=U。,类似可讨论UC(w )。,根
9、据数学分析，当 = Cm时，UC()获最大值；当 = Lm时，UL()获最大值。且UC( Cm)=UL( Lm)。,Q越高，wLm和wCm 越靠近w0。,w Lmw Cm =w 0。,上面得到的都是由改变频率而获得的，如改变电路参数，则变化规律就不完全与上相似。,上述分析原则一般来讲可以推广到其它形式的谐振电路中去，但不同形式的谐振电路有其不同的特征，要进行具体分析，不能简单搬用。,由于电压最大值出现在谐振频率附近很小的范围内，因此同样可以用串联谐振电路来选择谐振频率及其附近的电压，即对电压也具有选择性。,一、简单 G、C、L 并联电路,对偶：,R L C 串联,G C L 并联,10. 2
10、并联电路的谐振,R L C 串联,G C L 并联,R L C 串联,G C L 并联,电压谐振,电流谐振,UL(w 0)=UC (w 0)=QU,IL(w 0) =IC(w 0) =QIS,推导过程如下：由定义得,二 、电感线圈与电容并联,上面讨论的电流谐振现象实际上是不可能得到的，因为 电感线圈总是存在电阻的，于是电路就变成了混联，谐振现 象也就较为复杂。,谐振时 B=0，即,由电路参数决定。,求得,此电路参数发生谐振是有条件的，参数不合适可能不会发生谐振。,在电路参数一定时，改变电源频率是否能达到谐振，要由下列条件决定：,当电路发生谐振时，电路相当于一个电阻：,等效电路：,其中：C不变。
11、,谐振时：,近似等效电路：,近似等效电路：,其中，L、C不变，,讨论由纯电感和纯电容所构成的串并联电路：,(a),(b),10. 3 串并联电路的谐振,上述电路既可以发生串联谐振(Z=0)，又可以发生并联谐振(Z=)。可通过求入端阻抗来确定串、并联谐振频率。,对(a)电路，L1、C2并联，在低频时呈感性。随着频率增加，在某一角频率w1下发生并联谐振。w w1时，并联部分呈容性，在某一角频率w2下可与L3发生串联谐振。,对(b)电路可作类似定性分析。L1、C2并联，在低频时呈感性。在某一角频率w1下可与C3发生串联谐振。w w1时，随着频率增加，并联部分可由感性变为容性，在某一角频率w2下发生并
12、联谐振。,定量分析：,(a),当Z(w )=0，即分子为零，有：,可解得：,当Y(w )=0，即分母为零，有：,可见， w 1w 2。,(b),分别令分子、分母为零，可得：,串联谐振,并联谐振,阻抗的频率特性：,Z ( )=jX( ),(a),(b),例：,激励 u1(t)，包含两个频率w1、w2分量 (w1w2)：,要求响应u2(t)只含有w1频率电压。,u1(t) =u11(w1)+u12(w2),如何实现？,LC串并联电路的应用：,可构成各种无源滤波电路 (passive filter)。,可由下列滤波电路实现：,并联谐振，开路,串联谐振，短路,w1 信号短路直接加到负载上。,该电路 w2 w1 ，滤去高频，得到低频。,其它形式的滤波电路：,带通滤波器 (band-pass filter),带阻滤波器 (band elimination filter),U2,IS,US,us,is,