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1、第一章 微积分 1.5 不定积分,主要教学内容： 原函数与不定积分的概念 基本积分公式表 不定积分的线性运算 换元法 分部积分法 积分表的使用,2.5 不定积分,2.5.1 原函数与不定积分 1. 基本概念 2. 不定积分的几何意义 3. 积分与微分的关系,2.5 不定积分,1.基本概念 在小学和中学我们学过逆运算， 例如：加法的逆运算是减法; 乘法的逆运算是除法; 指数的逆运算是对数等。,2.5 不定积分,微分是否有逆运算？若有, 是什么？,微分法： 互逆运算 积分法:,2.5 不定积分,微分有逆运算，不定积分是微分的逆运算！,定义1 设 在区间 内有定义,若存在函数 使得 则称 为 在 内
2、的一个原函数。（原函数是整体性质） （导函数也是整体性质；导数？） 1.什么条件下函数 存在原函数？ 2.若 有原函数，共有多少？ 3. 的任意两个原函数之间有何关系？,2.5 不定积分,说明：1. 原函数存在定理：连续函数一定有原函数。 2. 若 ，则对任意常数 ， 都是 的原函数。 例如： 表明 是 的一个原函 数, 而对任意常数 都有 ，因此 的原函数不惟一，有无穷多个。 3. 设 都为 的原函数，则 。,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,14,（2）关于“不定积分”与“原函数”的联系和区别 的原函数，是 求导以前
3、“原来的函数”；而 的不定积分，是 的“全部原函数”，它可以表示为“ 的一个原函数加任意常数C”的形式。,15,为了让文科学生形象地理解“ 的原函数”的概念，我们用“填空”的方式来说明“原来的函数”的含义： 的括号中需要填的，就是 的原函数 。,16,的不定积分，是一个集合，是 的“全部原函数”的集合，它的表现形式是“ +C, C 是任意常数”，其中 是 的任意一个原函数。既然 是 的“任意”一个原函数，所以解答的表现“形式”，某人可能与别人不一样，但也许都是正确的；因为虽然其中的“一个原函数”两人选得不同，可是加上任意常数C以后，表达的“ 的全部原函数”的集合就完全一样了；并且，两人选得不同
4、的“一个原函数”，其间也仅仅相差某一个常数。,17,这里体现了“形式与本质”的矛盾统一，并且通过“加常数C”的途径发生转化。 有些文科学生对此理解有困难，我们就用具体的例子来说明上面一般的道理，还配以多媒体演示，效果较好。,18,例： 这是因为 。,19,但 ， 因而我们又有 。,20,此例表明，不定积分的答案“形式”往往不止一个；现在由于 与 都是 的原函数，所以两个答案都是正确的。又由于 ，于是 ，两人选择的不同原函数之间仅仅相差一个常数 。,21,再请看这两个原函数 与 的图象，就更加清楚了。,22,这两个原函数的图像可以通过“上下平移 ”互变,表明这两个函数在任一点的函数值都只相差一个
5、常数 。,23,然后启发学生想象：“ 的全部原函数 ” 的图像应该是什么样子的？并请学生举手表述，把思 维转化为语言。,24,这样讲授，可以让学生的形象思维与逻辑思维相辅相成，产生很好的教学效果。许多学生这时会积极地动脑动手，课堂气氛相当活跃。教师因势利导，逐步展示出下面的图形。,25,26,27,学生由此恍然大悟：不定积分 的答案，原来是“一簇”函数，是包含无穷多函数的一个集合。 这样，学生不但对“全部原函数”的概念具体化了，而且对该概念中“形式与本质”的矛盾统一，以及对于它们如何通过“加常数C”的途径发生转化，理解得更加深刻了，全面了。,2.5 不定积分,设 为 的一个原函数，,2.5 不
6、定积分,2.5 不定积分,2.5.2 基本积分公式表 由于微分与积分是互逆运算，因而利用导数公式 即可求出基本初等函数的不定积分公式。,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,注：本题化为五个积分，应出现五个任意常数，但由其任意性，可写成一个任意常数。,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,2.5 不定积分,有些书上还有更多的积分表 ， 可以使用。,2.5 不定积分,但是，有些不定积分是“积不出来”的。 这与“求导”不一样。,2.5 不定积分,本节结束 谢谢！,