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1、2.4.3 曲线的凹凸性与拐点,第四节 导数的应用,观察下列两图的特点：,一、曲线的凹凸性与拐点,.曲线凹凸性的定义,定义2.6 若在某区间(a,b)内曲线段总位于其上任意一点处切线的上方，则称该曲线段在(a,b)内是凹的, (a,b) 为曲线的凹区间；若曲线段总位于其上任一点处切线的下方，则称该曲线段在(a,b)内是凸的,(a,b)为曲线的凸区间.,在我们不知道曲线形状的时候,用曲线凹凸性的定义判断曲线的凹凸性显然是不可能的,如何方便地判断曲线的凹凸性呢?,2.曲线凹凸性的判定,上图可见：,切线斜率k,凹曲线,上图可见：,凸曲线,切线斜率k,定理2.12 设函数y = f (x)在区间 (a
2、,b)内的二阶导数 存在,(1)若在(a,b)内 f (x) 0 ,则曲线 y = f (x) 在区间(a,b) 内是凹的；,(2)若在(a,b)内 f (x) 0 ,则曲线 y = f (x)在区间(a,b) 内是凸的。,例1,解,注意到：,注意：拐点一定在曲线上。,怎样判断曲线的拐点呢？,定义2.7 连续曲线y = f (x)上凹弧与凸弧的分界点 称为曲线的拐点.,函数凹凸性,凹凸区间,凹凸区间分界点（拐点）,拐点,凹凸性分界点,切线斜率k,凸曲线,切线斜率k,凹曲线,前已述及:,所以:,但反向不 一定成立,据以上分析总结出曲线凹凸区间与拐点的判定步骤:,(1)求函数y=f(x)的定义域;,(2)求出f“(x)，找出定义域内使f”(x)=0的点和f“ (x)不存在 的点；,(3)用上述各点按照从小到大的顺序依次将定义域分成若干 个小区间，考察每个小区间上f“ (x)的符号；从而判断曲 线在各个子区间上的凹凸性,最后确定拐点.,例2 求曲线,的凹凸区间及拐点,(2),(3) 列表考察函数的凹凸区间及拐点:,解 (1) 函数的定义域为,凹,拐点 （2，17）,凸,拐点 (，),凹,f (x),0,0,f“(x),(2, +),2,(0,2),0,(-,0),x,例3,解,因为拐点一定在曲线上，所以,从而有,即,(1)式和(2)式联立解得:,3、小结,