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1、第二篇 动 态 电 路,第五章 动态电路的时域分析,第六章 动态电路的复频域分析,第七章 动态电路的状态变量分析,第五章 动态电路的时域分析,5.1 动态元件 5.2 动态电路方程 5.3 动态电路的初始状态和变量初始值 5.4 一阶动态电路的零输入响应 5.5 一阶动态电路的零状态响应 5.6 一阶动态电路的全响应 5.7 二阶动态电路的响应,上一篇讨论的内容主要局限于电阻电路。实际上，大量实际电路并不能只用电阻和受控源来构建它们的模型，还必须包含有电容元件和电感元件等。电容和电感元件都能够储存能量，称为储能元件(energy storage element)，其端口电压电流关系要用微分方程
2、来描述，所以又称为动态元件(dynamic element)。,含有动态元件（即储能元件）的电路称为动态电路(dynamic circuit)。动态电路是用微分方程来描述的，所以对这种电路的分析要涉及对微分方程的求解,在动态电路分析中，激励和响应都表示为时间t的函数，采用微分方程求解电路和分析电路的方法，称时域分析方法。,5.1 动 态 元 件,5.1.1电容元件,定义:一个二端元件，如果在任一时刻t，它所储存的电荷q和它的端电压u之间的关系是由qu平面（或uq平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电容元件(capacitor)。这条曲线称库伏特性曲线。,一、线性非时变电容元件,C是与电荷
3、和电压无关的电路参数。,电路符号及其特性曲线,2.伏安关系,电流i和电容电压u取一致参考方向,动态特性：,上式表明，t时刻的电容电流i取决于该时刻电容电压u随时间t的变化率，称为动态元件。,线性非时变电容元件中的u和i之间的关系也可用积分形式表示,记忆特性：,上式表明，线性非时变电容元件在t时刻的电压值取决于从 到t时刻的电流值。即电容电压u与电容元件的电流i历史有关;电容元件具有“记忆”电流的性质，是一种记忆元件(memory element)。,电容电压的连续性：,当t0=0时，在t时刻有,在t+t时刻有,如果在时间区间t，t+t内，电流i均为有限值，即,（M为有限常数）,那么当t0时，就
4、有u0。表明只要电容电流是有界函数，电容电压就是连续函数，不会跳变。,若干个没有初始储能的电容并联,若干个没有初始储能的电容串联,或,二、电容元件的能量,1.瞬时功率(instantaneous power),若电容电流和电压取一致参考方向，当pC 0时，电容吸收功率；当pC 0时，电容发出功率。,在时间间隔t0，t内，电容元件吸收的能量为,若q(t0)=0,则,电容元件中储存的能量如图中阴影部分的面积。,如果电容元件的库伏特性曲线通过原点位于第一或第三象限，它所储存的能量总是正的，这种电容元件称为无源电容元件。,若为线性非时变电容元件，则有,上式表明，当电压一定时，电场能与电容C成正比，电容
5、C的大小反映电容储存电场能的能力。电场能的大小只取决于电容端电压的瞬时值。与电压的建立过程无关；也与电容中的电流无关。,例5.1.1 如图 (a)所示电路中电容与电压源连接，已知电压源电压波形如图 (b)所示，试求电容电流及电容的储能。,(a) (b),解 由图(b)所示波形曲线，可求得电压源电压的表达式为,则电容电流为：,电容电流随时间变化的波形曲线,则电容的储能为：,电容储能随时间变化的波形曲线,5.1.2电感元件,定义：一个二端元件，如果在任一时刻t，它的磁通(flux) 与流过它的电流i之间的关系是由-i平面（或i-平面）上的一条曲线所确定，则此二端元件称为电感元件(inductor)
6、。这条曲线称韦安特性曲线。,一、线性非时变电感元件,L是与磁通和电流无关的电路参数。,2.伏安关系,电流i和电压u取一致参考方向,线性非时变电感元件中的u和i之间的关系也可用积分形式表示,记忆特性：,电感元件具有“记忆”电压的性质，是一种记忆元件。,如果在时间区间t，t+t内，u均为有限值，即,那么当t0时，就有i0。即只要电感电压是有界函数，电感电流就是连续函数，不会跳变。,非零初始电流电感元件的等效电路,具有初始电流的电感可以等效成无初始电流的电感与电流源的并联。,若干个没有初始储能的电感串联,若干个没有初始储能的电感并联,或,二、电感元件的能量,1.瞬时功率,电流和电压取一致参考方向,当
7、pL0时，电感吸收功率；当pL0时，电感发出功率。,在t0，t内，电感元件吸收的能量为,若 (t0)=0，则,如果电感元件的韦安特性曲线通过原点位于第一或第三象限，这种电感元件称为无源电感元件。,线性非时变电感元件,上式表明，当电流一定时，电感元件中储存的磁场能与电感L成正比，电感L的大小反映了电感储能的能力；电感储能的大小只取决于电感电流的瞬时值，与电流的建立过程无关，也与电感中的电压无关。,例5.1.3 在图所示电路中，回转器的输出端口接有一个电容元件C，试求回转器输入端口的电压-电流关系。,解：由输出回路可得：,代入回转器的输入输出关系式,可看出：从回转器输入端口的电压电流关系看相当于一
8、个电感为L=r2C的电感元件。,5.1.3 耦合电感元件,如果两个线圈或两个以上线圈中每个线圈所产生的磁通都与另一个线圈相交链，则称这些线圈有磁耦合(magnetic coupling)或者说具有互感(mutual induction),电感元件1的磁通1及电感元件2的磁通2分别由两个电感元件中的电流i1和i2共同产生。,它们之间的关系可表示为,一、线性耦合电感元件,式中，L1和L2分别为线圈1和线圈2的自感(self inductance)；M12、M21为线圈1和线圈2之间的互感(mutual inductance)。,M12=M21,以后将不加区别地用M表示耦合电感元件的互感,用矩阵形式
9、表示为,自感L1和L2恒为正值，但是互感M既可为正又可为负。,（1）如果互感为正，自感磁通和互感磁通相互加强；,（2）如果互感为负，互感磁通是对自感磁通的减弱。,由于互感M的正负，不仅和电感元件中的电流流向有关，而且和相耦合线圈的相对绕向、相对位置有关。在实际情况下，线圈的绕向通常是很难观察出来的，并且用来表示耦合电感元件的电路符号，也无法表示线圈的绕向。为了解决这个问题，在耦合电感每个线圈的端钮上用同名端加以标记。,同名端(corresponding terminals):当两个线圈的电流i1和i2同时流进或流出这两个端钮时，它们产生的磁通是互相增助。同名端一般用符号“”或“*”作为标记。,
10、M0,M0,全耦合(perfectly coupled):当两个相耦合电感元件的磁通全部相互交链。,此时有,三个线圈组成的线性耦合电感元件,磁通与电流的关系：,矩阵形式表示为,或用符号表示为, 称为磁通向量，i称为电流向量，L为一方阵，称为电感矩阵。位于矩阵主对角线上的元素Ljj为各个电感元件的自感， Lij其他元素则为元件之间的互感。,1. 线性耦合电感元件端口电压电流关系,也可表示为,式中，u=u1，u2T称为电压向量，i=i1，i2T称为电流向量,受控电压源表示去耦的等效电路模型：,2. 线性耦合电感元件的串联和并联,（1）线性耦合电感元件的串联,串联等效电感为：,3. 线性耦合电感元件
11、的T形去耦等效和形去耦等效,（1）线性耦合电感元件的T形去耦等效电路,上图端口电压电流关系为,注意：图中互感M的正负取决于两耦合元件的连接，与流经它们的电流方向无关。当图(a)中的公共端钮为同名端连接时，图(b)中的M 0；图(a)中的公共端钮为异名端连接时，图(b)中的M 0,上图端口电压电流关系为,（2）线性耦合电感元件的并联,设：i1(0)=i2(0)=0,用等效电感表示耦合电感元件的并联,由：,(a) (b) (c),5.2 动态电路方程,不论是电阻电路，还是含有动态元件（L、C）的电路，其电流和电压仍然受到KCL和KVL及元件本身VCR的约束。,基本概念,一阶电路：在电阻电路中，描述
12、电路的方程为代数方程。当电路中含有电容和电感动态元件时，描述电路的方程为微分方程。如果描述电路的微分方程为一阶微分方程，就称为一阶电路，若为二阶的微分方程称为二阶电路。我们在这里首先讨论的是指线性的、时不变的一阶电路。,例如:,5.3 动态电路的初始状态和变量初始值,换路：当电路元件的参数、电路的连接关系、激励信号发生突变时，称电路发生“换路”。,动态电路的暂态过程：动态电路的一个重要特征是当电路结构或元件的参数发生变化时,电路的工作状态有可能发生改变,变到一种新的工作状态,这种转变需要一个过程。这一章研究暂态过程中电路变量的变化规律。,经典法：在集中参数的电路中，电路的变量均为时间t的函数，
13、在时间域内分析动态电路称为时域分析。时域分析的方法就是选择合适的电路变量，建立微分方程，并求解电路的响应。,换路定律：根据电容和电感的特性可知，在换路瞬间,对C：只要|iC|M(有限量)，uC不会跳变；,对L：只要|uL|M(有限量)， iL不会跳变。,设网络在t0时换路，换路前的终了时刻用t0-表示，换路后的初始时刻用t0+表示。,例5.3.1：图(a)所示电路在开关S闭合前已稳定，已知US=12V，R1=4k，R2=2k，试求开关闭合后的电容电压初始值uC(0+)，及支路电流初始值iC(0+)、i1(0+)、i2(0+),(a),初始值的确定:(1)动态电路中电容电压和电感电流的初始值,根
14、据换路定律确定,(2)电路中其他变量的初始值,可根据KCL、KVL、支路方程，再借助置换定理确定。,解：换路前电路已处在稳定状态，直流电压源输入时电容等效为开路，可得,t=0-时,t=0+时,（1）,用uC(0+)=12V电压源置换电容元件，得到t=0+的线性电阻电路，可得,例5.3.2：图(b)所示电路在开关断开前已稳定，已知R1=1，R2=2，L=1H，C=0.2F，US=6V，试求开关断开后电容电压初始值uC(0+)，电感电流初始值iL(0+)，以及它们一阶导数的初始值。,(b),解：换路前电路已处在直流稳定状态，直流电压源输入时，电容等效为开路，电感等效为短路。,t=0-时的电路,根据
15、换路定律,用电压为uC(0+)的电压源置换电容元件，用电流为iL(0+)的电流源置换电感元件，得到t=0+时的电路,t=0+时的电路,可得：,根据KVL有,解得,5.4 一阶动态电路的零输入响应,电路中除电阻以外，只含有一个独立储能元件的电路，就是一阶电路。,(a) t 0- 时的电路 (b) t 0+时的电路,动态电路在没有外加激励时，仅由电路中动态元件的初始储能引起的响应,称为电路的零输入响应(zero-input response)。,5.4.1 一阶RC电路的零输入响应,（1）根据换路后的电路，建立电路方程,根据KVL有,一阶常系数线性齐次微分方程,方程的通解为,特征方程为,特征根为,
16、S称为固有频率,体现了电路本身固有的性质,由初始条件确定积分常数,将t=0+，初始值uC(0+)=U0代入通解,零输入响应电容电压为,零输入响应回路电流为,或,回路电流i在电容开始放电瞬间有一个正向跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R。回路电流按同样的指数规律下降，直至放电结束。,从上面分析可看出：RC电路的零输入响应都是随时间衰减的指数函数。在电路放电过程中，电容电压uC从初始值U0开始，随时间按指数规律下降而趋于零。,时间常数(time constant),具有时间量纲（欧法=欧库/伏=欧安秒/伏=秒）,在初始值U0已确定的情况下，电容C越大，电容中储存的电荷越多，放电所需要的
17、时间也越长；电阻R越大，放电电流越小，放电所需要的时间也越长。,反映衰减过程的快慢,表明时间常数是电容电压uC衰减到初始值36.8所需的时间。,由表可以看出，RC放电电路,从t=0时开始，经过 45时间后，uC已衰减到初始值的1.83%0.674%，工程技术上认为放电过程已基本结束。,如果在任意时刻t=t1，uC(t1)位于电容电压波形的p点,则电容电压uC在该点的变化率为,时间常数的几何意义：,上式表明，时间常数等于电容电压uC波形上任一点的次切距。,因此在已知响应波形的情况下，可以用图解方法来求取电路的时间常数。也即可通过实验来测定。,例 5.4.1 ：高压设备检修时，一个40F的电容器从
18、高压电网上切除，切除瞬间电容两端的电压为4.5kV。切除后，电容经本身的漏电电阻RS放电。现测得RS175M，试求电容电压下降到1kV所需要的时间。,解：设在t0时电容器从高压电网上切除，电容经RS放电的等效电路如图所示，可得：,当uC下降到1000V，则有,5.4.2 一阶RL电路的零输入响应,(a)t 0-时 (b)t 0+时,换路后电路中的响应就是一阶RL电路的零输入响应。,根据KVL和电感、电阻元件的电压电流关系有电路的微分方程,特征方程为,特征根为,微分方程的通解为,根据初始条件iL (0+) = I0,若令L/R，则,L/R具有时间的量，纲增大（即增大L、或减小R），电流iL衰减减
19、慢；反之，衰减加快。,例 5.4.2：设图所示电路中，开关S在t=0时打开，开关打开前电路在直流电压源US作用下已稳定。若已知US=220V，L=0.1H，R1=50k，R2=5，试求开关打开瞬间其两端的电压uK(0+)以及R1上的电压uR1。,解：,由换路后的电路可得微分方程：,电阻R1上的电压,开关S两端的电压,t=0+时，开关两端的电压为,可看出，开关S在打开的瞬间，其两端电压会高出电源电压约R1/R2倍，开关会承受一个很高的冲击电压，会引起强烈的电弧。,小结：,1.零输入响应的一般形式,对任一零输入响应y,设其初始值为y(0+),时间常数为，,2.零输入响应与初始状态之间的关系,在线性
20、电路中，零输入响应是初始状态的线性函数。,5.5 一阶动态电路的零状态响应,动态电路中在初始储能为零的情况下，仅由独立电源作为输入激励引起的响应，称零状态响应(zero-state response)。,(a)t 0-时 (b)t 0+时,一阶RC电路在直流电压源激励下的零状态响应,5.5.1 一阶电路在直流电源激励下的零状态响应,根据换路后的电路可得：,一阶常系数线性非齐次微分方程,微分方程的通解为,齐次微分方程的通解与零输入相同,非齐次微分方程的特解uCp应满足电路方程，即,通常特解的形式与输入激励的形式有关。,通解为：,根据初始值，确定积分常数,零状态响应电容电压为,或：,暂态分量的初始
21、值及其以后的任何瞬时值，是和输入电源有关的。但在随时间变化的规律上讲，齐次解只取决于时间常数，而时间常数仅由电路结构和元件参数决定，与输入电源无关，因此也称其为自由分量。,特解是电路趋于稳定状态后的响应，称为稳态分量(steady state component)；或认为是输入电源强迫其电压达到规定值，所以也称为强制分量(forced component)。,从能量的角度看，电容电压其储能为,在充电过程中电阻消耗的总能量为,在充电过程中电阻消耗的总能量与电容最后所存储的能量是相等的。,电压源在充电过程中提供的总能量为,例 5.5.1 ：在图示的电路中，开关S一直闭合在位置a上。一旦电路达到稳态
22、，开关立即闭合到位置b，假设开关闭合到位置b的时间发生在t=0，试求零状态响应i和uL。,解:图示电路为具有直流电压输入的RL电路，所求为零状态响应。,根据换路定律可得初始值i(0+)= i(0-)=0,根据基尔霍夫定律，得电路方程,特征方程,特征根,方程的通解,稳态分量（方程特解）,暂态分量（方程齐次解）为,根据初始值i(0+)= i(0-)=0可得,5.5.2 一阶电路在正弦电源激励下的零状态响应,设正弦电流源为,换路后以电容电压uC为响应的电路方程为,方程的通解,在正弦信号作用下的的稳态分量uCp是一个与输入具有相同频率的正弦量。,其一般表达式为,式中Um和 都是待定常数,将上式代入电路
23、方程得,暂态分量uCh,根据uC(0+)= uC(0-)=0可得,正弦响应电容电压为,（1）如果换路时90，则电源接入瞬间，电容电压稳态分量的值为零，暂态分量的值也为零。这时电容电压响应中没有暂态分量，也就没有过渡过程。,（2）如果换路时180，则,如果电路的=RC远大于输入信号的周期，则从换路起，经过半个周期左右的时间电容电压为,=180时,即：当电容电压的稳态分量经过极大值时换路，而电路的时间常数又大，则换路后电容电压的最大瞬时绝对值接近于稳态电压振幅的2倍。,小结：,1.零状态响应的一般形式,对任一零状态响应y,设其时间常数为,K由初始条件确定：,若激励为直流，则,2.零状态响应与输入之
24、间的关系,在线性电路中，零状态响应是输入的线性函数。因此其响应和输入之间的关系符合齐次性和可加性。,5.5.3 一阶电路的阶跃响应,电路在单位阶跃电源激励下的零状态响应称为单位阶跃响应(step response)。单位阶跃响应常用符号s(t)表示,根据图示电路可得电路方程为,根据uC(0+)= uC(0-)=0,单位阶跃响应uC为,(a)单位阶跃波形 (b)电容电压波形 (c)电容、电阻电流波形,如果iS (tt0)，在线性非时变电路中，激励延迟t0，,响应也延迟t0。此时对延迟单位阶跃(tt0)的电容电压响应为,电容电流、电阻电流分别为,电路的这种性质称为线性非时变电路的非时变特性，也称为
25、延迟特性。,例5.5.2 ：在图(a)所示RL电路中，电压源输出为如图(b)所示的脉冲电压，开关S在t=0时由位置a闭合到位置b，试求零状态响应i。,解：图(b)所示脉冲电压可表示为,(a),(b),单位阶跃响应回路电流为,延迟单位阶跃(tt0)响应回路电流为,根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，可得,5.5.4 一阶电路的冲激响应,电路在单位冲激电源激励下的零状态响应称为单位冲激响应(impulse response)。单位冲激响应常用符号h(t)表示。,一、RC并联电路的冲激响应,可用两种方法求电路的冲激响应,1. 将冲激响应转化为零输入响应求解,由于冲激函数仅在 时作用，其余
26、时刻均为零，因此在t0后是一零输入响应。,在冲激电源的作用下，电路中的储能元件的初始状态将产生突变，即冲激电源的作用在于给电路建立初始状态。,对电路方程的两边从t= 0-到t=0+进行积分,求uC(0+):,方程的解为,或也可由储能元件伏安特性式直接计算,在线性定常电路中，阶跃响应与冲激响应之间存在着一个重要关系。即如果以s(t)表示某一线性定常电路的阶跃响应，而以h(t)表示同一电路的冲激响应，则有,或者:,2.按 求,二、RL串联电路的冲激响应,单位冲激响应iL的电路方程为,求iL(0+),例 5.5.4 在图(a)电路中，uC(0-)=0，C=2F，R=1，电流源波形如图(b)所示，试求
27、uC。,(a),(b),根据线性非时变电路的齐次性、可加性和非时变特性，响应uC为,代入已知参数，并分段表示为,5.5.5 对任意输入的零状态响应（卷积积分）,当输入为任意波形时，要采用解微分方程的方法来求响应是很困难的。,但我们知道电路的冲激响应和该电路的零输入相同，而电路的零输入响应的形式只与电路本身的性质有关，与激励的形式无关。,卷积积分的思路是：将任意输入波形分解为一系列冲激强度不同，时间上依次延迟t的冲激函数的叠加，对于线性时不变电路，则电路的响应等于一系列冲激响应的叠加。,5.5.5 对任意输入的零状态响应（卷积积分）,卷积积分可简写成,卷积积分满足交换律,例 5.5.5 ：在图(
28、a)电路中，R=5，L=1H，电流源iS波形如图(b)所示，试用卷积求零状态响应iL。,(a),(b),解：先求出单位冲激响应电感电流h(t),单位阶跃响应电感电流s(t)为,（1）0 t 1时，iS=I0t，,（2）当t 1时，iS=0，,零状态响应iL的波形如图所示,例 5.5.6：某线性非时变电路在t=0时刻接入的输入波形iS如图(a)所示，电路的冲激响应h(t)如图(b)所示，试求零状态响应y(t)。,5.6 一阶动态电路的全响应,动态电路在非零原始状态的情况下，由输入激励和原始状态共同引起的响应，称为全响应(complete response)。,5.6.1 一阶电路在阶跃电源激励下
29、的全响应,假定电路原始状态uC(0-)=U0,RC并联电路的方程为,以下将重点讨论全响应与零输入响应和零状态响应的关系,（1）当iS=0时，仅由电路原始状态uC(0-)=U0引起的响应是零输入响应uCzi，其对应的电路方程为,（2）当uC(0-)=0，仅由阶跃电流源iS引起的响应是零状态响应uCzs，其对应的电路方程为,相加，则有,根据微分方程解的唯一性充分条件，比较下面两方程,可得：,全响应 = 零输入响应 + 零状态响应,上述结论对所有线性动态电路都是成立的。,零输入响应为：,零状态响应为：,所以，全响应uC为：,全响应与输入激励和初始值之间的关系都不满足齐次性和可加性。因此，一阶线性电路
30、的全响应既不是输入的线性函数，也不是初始值的线性函数。,全响应也可分解为：,即一阶常系数线性非齐次微分方程的通解uC，也可以表示为齐次解uCh和特解uCp的合成。,全响应 = 自由响应 + 强制响应,全响应 = 暂态响应 + 稳态响应,全响应波形的合成,5.6.2 一阶电路的经典方法,动态电路响应的求取，可以通过列写电路微分方程并计算齐次解（暂态响应）和特解（稳态响应）的方法得到，这种方法称经典方法(classical method),例 5.6.1：在图示电路中，uS1=40V，uS2=180V，R1=10，R2=30，R3=400k，R4=400k，C=0.5F，t=0时开关S换路，换路前
31、电路已稳定。试求uC和iC。,解：根据换路前电路,有uC(0-) 30V,uC(0+)uC(0-)30 V,换路后电路，根据KVL有,根据KCL有,由特征方程0.2s+20，求得特征根 s 10,uC的暂态分量为,uC的稳态分量为,例 5.6.2 如图(a)所示电路，称为积分电路。已知输入电压ui的波形如图(b)所示，且uC(0-)=0V，试求输出电压uo的波形。,(a),解：对图(a)电路，根据运放的“虚短”和“虚断”的概念，有,又由电容的电压电流关系,已知：uC(0+)=uC(0-)=0V,即输出电压为输入电压的积分，故称为积分电路,(b),（1）当0+tT时,（2）当T t2T时,依此类
32、推，可得出输出电压uo的波形如图(c)所示,(c),例 5.6.3 ：如图(a)所示电路，称为微分电路。已知输入电压ui的波形如图(b)所示，为正弦波形，试求输出电压uo的波形。,(a),解：对图(a)电路，根据运放的“虚短”和“虚断”的概念，有,又由电容的电压电流关系,即输出电压为输入电压的微分，故称为微分电路,5.6.3 一阶电路的三要素法,三要素法是跳过建立电路微分方程，直接由给定的一阶电路求三个要素，并列写出响应的数学表达式。,经典方法表明，任意一个一阶电路的全响应y总可表示成暂态响应yt与稳态响应ys之和，即,暂态响应的形式总是,根据初始条件可得,稳态响应ys 与激励具有相同的形式,
33、由,三要素中 是电路的时间常数，为=RC或者=L/R，其中R为从电容或电感元件两端看进去的等效电阻,当为直流或阶跃电源输入时，响应的稳态解是常量,有,例 5.6.4 ： 在图(a)所示电路中，电压源US=100V，R1=R2=30，R3=20，L=1H。开关S在t=0时闭合，闭合前电路处于稳定状态。试用三要素法求电路中的电流i1、i2和i3。,解：由图(b)，求得,由图(C)，得,(a) (b)t=0- (c)t=0+,(d) t= (e)等效电阻电路,由图(d)， 可求得,根据分流关系，有,由图(e)，求时间常数。,根据三要素法可得电流i1、i3和i2分别为,例 5.6.5 在图所示运算放大
34、器电路中，阶跃电压源uS=3(t)V，R1=10k，R2=20k，R3=20k，R4=50k，C=1F。试求阶跃响应uC和uo。,解：阶跃响应为零状态响应，有uC(0-)=0,uC(0+)=uC(0-)=0,根据“虚断”，流经理想运算放大器的电流为零。,运放反馈电路元件构成一个R4C电路，其时间常数,由于输入回路没有动态元件，有,根据“虚短”，由KVL可得,由于uC(0+)=0，u1(0+)=2V uo(0+)=2V。,电路稳定后，电容等效为开路，运放电路为同相放大电路,根据三要素法公式,例 5.6.6：在图示电路中，uS1=40V，uS2=Umcos(t+)=180cos(10t+75)V，
35、R1=10，R2=30，R3=400k，R4=400k，C=0.5F，t=0时开关S换路，换路前电路已稳定。试用三要素法求uC和iC,解：由换路前电路，可得,uC(0-)= 30V,时间常数,稳态响应uCs 是与输入uS2同频率正弦量，设为,稳态响应uCs 必须满足电路方程，即,例5.6.7 图(a)所示电路，开关S在t=0时闭合，S闭合前电路处于稳定状态。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，R1=(1/2)，R2=(1/3)，试求t 0 时的uC 和iC1，iC2。,解：由换路前电路，可得,uC1(0-)=5V，uC2 (0-)=0 V,所以 uC1(0-)uC2(0-),(a
36、),根据KCL：换路后,电荷守恒:,t0+时的等效电路(c) ，可求得,(c),uC()=2V，=RC=0.1S。,根据三要素法有,例：在图示电路中，us1=40V， us2=10V， R1=5， R2=20 ， R3=20 ， L=0.1H， C=2F，试求S闭合后流过开关的电流i(t)的变化规律,S闭合后,电路可分为两个独立的一阶电路,例：在图示电路中，us1=18V， us2=9V， R1=6， R2=3 ， R3=2 ， C=0.5F，电路原已达到稳态，试求S打开电流i(t)的变化规律。,戴维宁等效,戴维宁等效,例：在图示电路中，电感无初始储能，t1s 时，开关接在“a”，t=1s时开
37、关打向“b”，R1=2， R2=1 ， R3=2 ， L=1H， 试求t0时电路的响应iL(t),解：第一次换路由 引起,第二次换路,例：在图示电路中，电感无初始储能，t1s 时，开关接在“a”，t=1s时开关打向“b”，R1=2， R2=1 ， R3=2 ， L=1H， 试求t0时电路的响应iL(t),例：在图示电路中，us(t)=12V，R1=6， R2=3 ， R3=3 ， L1=0.5H， L2=1.5H ，试求t0时电路的响应iL1(t)和iL2(t),解：,根据磁链守恒,解：,例：在图示电路中，N0为线性无源电阻网络C=2F，开关S闭合前， uC(0-)=10V，t=0时将开关闭合
38、，22的电流为,试求t0时(b)图电路的响应uC(t),若22端接电压源us=10V ，且11端的uC(0-)=10V不变。,(a),(b),由互易定理可得(b)图零状态下，电容电流的初始值,方法一：,(b),(a),(b),(a),方法二：,根据题意可得,(b),(a),方法二：,(b),(a),练习1：在图示电路中，N为线性无源电阻网络,L=10mH,试求t0时图电路的响应uL(t),练习2：在图示电路中，N为线性时不变无源网络,储能元件具有初始能量，,若输入为图示波形时试求u(t),当输入is(t)=2(t)A时，输出,当输入is(t)=(t)A时，输出,练习3：在图示电路中，N0为线性
39、无源，网络含C，开关S闭合前， is(t)的波形和电压零状态的响应 u(t)如图所示，已知该网络可用一阶微分方程描述，且=0.8s，试给出该网络的结构，并确定元件参数。,答案:R=2,C=0.4F,5.7 二阶动态电路的响应,用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。二阶电路一般含有两个独立储能元件。RLC串联电路和RLC并联电路是最简单的二阶电路。本节主要讨论RLC电路的响应。,5.7.1 二阶RLC电路的零输入响应,(a) t 0- (b) t 0+,(b) t 0+,由换路后电路，可得方程为,为二阶常系数线性齐次微分方程,特征方程,令,根据 和0的相对大小，s1和s2可以是两个不相等的负实根
40、、两个相等的负实根、一对共轭复根和一对共轭虚根等四种情况。与此相对应，RLC并联电路的零输入响应有过阻尼(overdamped)，临界阻尼(critically damped)，欠阻尼(underdamped)和无阻尼(non-damped)等四种情况。下面分别讨论这四种情况。,特征根s1和s2是两个不相等的负实根,方程的通解为,其中K1和K2为待定常数，由初始条件来确定。,初始条件为iL(0+)=0，,过阻尼情况下的零输入响应电感电流为,其它电路变量的零输入响应,其它电路变量的零输入响应,下面分析零输入响应电容电压uC和电感电流iL波形的变化规律。,（2）设在t=tm时，uC为零值，iL达最
41、大值。,（1）在t=0+时，uC(0+)=U0和iL(0+)=0，即为电路的初始状态。,所以t=2tm也正是电感电流iL波形的拐点位置,（4）当t时，电容电压和电感电流都趋于零。,过阻尼情况下，RLC并联电路的放电过程有三个阶段,(1) 0+ t tm 阶段，电容向外发出功率，提供能量，电感和电阻吸收功率，吸收能量。,(2) tm t 2tm 阶段电感向外发出功率，提供能量，电容和电阻吸收功率，吸收能量。,(3) t 2tm 阶段电容和电感都向外发出功率，提供能量，只有电阻吸收功率，吸收能量。,在整个放电过程中，电感和电容都只有一次充电过程，并没有出现反复的充电。如图所示，响应波形最多只有一次
42、改变方向，穿过横轴。所以这种情况称为非振荡情况或过阻尼情况。,2.临界阻尼情况 =0，即电路参数满足,特征根s1和s2是两个相等的负实根，s1=s2= ，,方程的通解为,由于 =0时正好处于振荡与非振荡两种情况之间，所以称为临界情况，或临界阻尼情况。这种情况下电容电压uC和电感电流iL波形与图(a)所示波形相似，也是非振荡的。,3.欠阻尼情况 0，即电路参数满足,特征根s1和s2为一对共轭复根，为,方程的通解为,利用欧拉公式，上式可变换成,欠阻尼情况下的零输入响应电容电压和电感电流都是振幅按指数规律衰减的正弦函数或余弦函数，即放电过程是一种周期性（振荡性）的放电，或欠阻尼放电。,4.无阻尼情况
43、 =0，即电路参数满足R=,特征根s1和s2为一对共轭虚根，s1j0，s2 j0,方程的解为,由初始条件可得,电容电压和电感电流均为不衰减的正弦量。,从上面的分析可看出,四种不同情况与电路方程特征根s1和s2的取值有关。因为s1和s2取决于电路的结构和元件的参数，可以是负数、复数或纯虚数，所以它们在复数平面（亦称为s平面）上的位置是不同的,其相应的零输入响应也不同。,可以明确地作出以下的结论：,（1）当电路方程的特征根位于s平面的负实轴上，电路的零输入响应必是衰减非周期性（非振荡性）类型的，或者说是过阻尼型的（其中包括临界阻尼型）。,（2）当电路方程的特征根位于开左半s平面内，但不包括位于负实轴上，电路的零输入响应必是衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是欠阻尼型的。,（3）当电路方程的特征根位于s平面的虚轴上，电路的零输入响应必是无衰减周期性（振荡性）类型的，或者说是无阻尼型的。,（4）当电路方程的特征根位于开右半s平面内，电路方程的解是不收敛的，响应波形是发散的。,5.7.2 二阶RLC电路的零状态响应,齐次方程为,齐次解为,特征方程为:,方程的解为,单位阶跃激励下的稳态分量uCp=1,根据初始条件,有,电容电压为,过阻尼,欠阻尼,无阻尼,