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1、ACM程序设计,杭州电子科技大学 刘春英 ,2019/2/21,2,今天，,你 了吗？,AC,2019/2/21,3,每周一星（2）：,07052311周天涯,2019/2/21,4,第三讲,递推求解,2019/2/21,5,递推与递归的区别,不同的概念 递推是数学上的概念，主要是指递推式或者说递推数列，递推函数，也就是说一个数列的下面一项有它的前面几项的值的一种运算（或者函数）构成， 比如an=an-1+an-2; 递归是计算机中的概念，主要是指递归函数（计算机中函数同数学上函数意义也不相同，是指一段代码），就是指会调用自己的函数。显然，数学中的递推函数在计算机实现中可以通过递归来实现，但
2、不一定要通过递归来实现。 比如上面的数列，可以通过递归来实现为： int Fib(int n) if(n=2)return 1; return Fib(n-1)+Fib(n-2); ,2019/2/21,6,递推与递归的区别,但是，也可以不通过递归（函数不调用自己）来实现，比如 int Fib(int n) int f1=1,f2=1; int i; if(n=2)return 1; for(i=3;i=n;i+) int f=f1+f2; f1=f2;f2=f; return f; ,2019/2/21,7,先来看一个超级简单的例题:,有5人坐在一起，当问第5个人多少岁,他说比第4个人大2岁
3、，问第4个人多少岁,他说比第3个人大2岁，依此下去，问第一个人多少岁，他说他10岁，最后求第5个人多少岁？,如果所坐的不是5人而是n人，写出第n个人的年龄表达式。,2019/2/21,8,显然可以得到如下公式:,化简后的公式: F(n)=10+(n-1)*2,2019/2/21,9,再来一个简单题:,2019/2/21,10,递推公式?,F(n)=(F(n-1)+1)*2,2019/2/21,11,Fibnacci 数列：,即：1、2、3、5、8、13、21、34,2019/2/21,12,思考:,递推公式的伟大意义？,有了公式，人工计算的方法？,常见的编程实现方法？（优缺点？）,2019/2
4、/21,13,简单思考题:,在一个平面上有一个圆和n条直线，这些直线中每一条在圆内同其他直线相交，假设没有3条直线相交于一点，试问这些直线将圆分成多少区域。,2019/2/21,14,是不是这个,F(1)=2; F(n) = F(n-1)+n;,化简后： F(n) = n(n+1)/2 +1;,2019/2/21,15,太简单了?,来个稍微麻烦一些的,2019/2/21,16,例:（2050）折线分割平面,问题描述： 平面上有n条折线，问这些折线最多能将平面分割成多少块? 样例输入 1 2 样例输出 2 7,2019/2/21,17,思考2分钟:如何解决?,2019/2/21,18,结论:,Z
5、n = 2n ( 2n + 1 ) / 2 + 1 - 2n = 2 n2 n + 1,为什么?,2019/2/21,19,趁热打铁，,来个差不多的,2019/2/21,20,“佐罗”的烦恼 说起佐罗，大家首先想到的除了他脸上的面具，恐怕还有他每次刻下的“Z”字。我们知道，一个“Z”可以把平面分为2部分，两个“Z”可以把平面分为12部分，那么，现在的问题是：如果平面上有n个“Z”,平面最多可以分割为几部分呢？ 说明1：“Z”的两端应看成射线 说明2：“Z”的两条射线规定为平行的,附加思考题（还没加到OJ）：,2019/2/21,21,总结：递推求解的基本方法：,首先，确认：能否容易的得到简单情
6、况的解？,然后，假设：规模为N-1的情况已经得到解决。,最后，重点分析：当规模扩大到N时，如何枚举出所有的情况，并且要确保对于每一种子情况都能用已经得到的数据解决。,强调： 1、编程中的空间换时间的思想 2、并不一定只是从N-1到N的分析,2019/2/21,22,问题的提出： 设有n条封闭曲线画在平面上，而任何两条封闭曲线恰好相交于两点，且任何三条封闭曲线不相交于同一点，问这些封闭曲线把平面分割成的区域个数。,思考题：平面分割方法,2019/2/21,23,F(1)=2 F(n)=F(n-1)+2(n-1),简单分析,2019/2/21,24,某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信
7、封。求所有的信都装错信封,共有多少种不同情况。,1465 不容易系列之一,2019/2/21,25,分析思路：,1、当N=1和2时，易得解，假设F(N-1)和F(N-2)已经得到，重点分析下面的情况：,4、后者简单，只能是没装错的那封和第N封交换信封，没装错的那封可以是前面N-1封中的任意一个，故= F(N-2) * (N-1),3、前者，对于每种错装，可从N-1封信中任意取一封和第N封错装，故=F(N-1)*(N-1),2、当有N封信的时候，前面N-1封信可以有N-1或者 N-2封错装,2019/2/21,26,得到如下递推公式：,基本形式：d1=0; d2=1 递归式：dn= (n-1)*
8、( dn-1 + dn-2),这就是著名的错排公式,2019/2/21,27,在2n的长方形方格中,用n个12的骨牌铺满方格, 例如n=3时,为23方格，骨牌的铺放方案有三种(如图), 输入n ,输出铺放方案的总数,思考题（2046）：,2019/2/21,28,有1n的一个长方形，用11、12、13的骨牌铺满方格。例如当n=3时为13的方格（如图），此时用11，12，13的骨牌铺满方格，共有四种铺法。,输入： n（0=n=30）; 输出： 铺法总数,再思考题：,2019/2/21,29,仔细分析最后一个格的铺法,发 现无非是用11,12,13三种铺法,很容易就可以得出： f(n)=f(n-1
9、)+f(n-2)+f(n-3); 其中f(1)=1,f(2)=2,f(3)=4,典型例题,分析过程：,2019/2/21,30,最后一个思考题（有点难度）,2019/2/21,31,分析过程（1）,设：F(n)表示n个人的合法队列，则： 按照最后一个人的性别分析，他要么是男，要么是女，所以可以分两大类讨论： 1、如果n个人的合法队列的最后一个人是男，则对前面n-1个人的队列没有任何限制，他只要站在最后即可，所以，这种情况一共有F(n-1);,2019/2/21,32,2、如果n个人的合法队列的最后一个人是女，则要求队列的第n-1个人务必也是女生，这就是说，限定了最后两个人必须都是女生，这又可以
10、分两种情况：,分析过程（2）,2019/2/21,33,2.1、如果队列的前n-2个人是合法的队列，则显然后面再加两个女生，也一定是合法的，这种情况有F(n-2);,分析过程（3）,2019/2/21,34,2.2、但是，难点在于，即使前面n-2个人不是合法的队列，加上两个女生也有可能是合法的，当然，这种长度为n-2的不合法队列，不合法的地方必须是尾巴，就是说，这里说的长度是n-2的不合法串的形式必须是“F(n-4)+男+女”，这种情况一共有F(n-4).,分析过程（4）,2019/2/21,35,结论：,所以，通过以上的分析，可以得到递推的通项公式： F(n)=F(n-1)+F(n-2)+F
11、(n-4) (n3) 然后就是对n=3 的一些特殊情况的处理了，显然： F(0)=1 (没有人也是合法的，这个可以特殊处理，就像0的阶乘定义为1一样) F(1)=1 F(2)=2 F(3)=4,2019/2/21,36,不容易系列之(3) LELE的RPG难题 有排成一行的个方格，用红(Red)、粉(Pink)、绿(Green)三色涂每个格子，每格涂一色，要求任何相邻的方格不能同色，且首尾两格也不同色求全部的满足要求的涂法.,附加思考题（1）：,2019/2/21,37,1480_钥匙计数之二 一把钥匙有N个槽，2N26槽深为1，2，3，4,5,6。每钥匙至少有3个不同的深度且相连的槽其深度之
12、差不得为5。求这样的钥匙的总数。 本题无输入 对2N26，输出满足要求的钥匙的总数。,附加思考题（2）：,2019/2/21,38,详见解题报告：,http:/ 仔细阅读，耐心品味，关键掌握从n-1到n的推导过程。,Any question?,2019/2/21,40,课后任务：,一、DIY在线作业(3): 2008ACM ProgrammingExercise（3）_递推求解 二、常规练习（包含以上作业） 1290 献给杭电五十周年校庆的礼物 1297 Childrens Queue 1438 钥匙计数之一 1480 钥匙计数之二 2013 蟠桃记 2018 母牛的故事 1465，1466，2041，2042 20442050 (2006/10/05专题练习),2019/2/21,41,下一讲：,动态规划（1）,2019/2/21,42,Welcome to HDOJ,Thank You ,