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1、Newton迭代法的基本思想,设 是f(x)=0的一个近似根，把f(x)在 处作泰勒展开 若取前两项来近似代替f(x)(称为f(x)的线性化)，则得近似的线性方程 设 ,令其解为 ,得 （1) 这称为f(x)=0的牛顿迭代格式。,下一页,它对应的迭代方程为 显然是f(x)=0的同解方程， 故其迭代函数为 在 f(x)=0的根 的某个邻域 内, 在 的邻域R 内，对任意初值 ，应用由公式（1）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一.,返回,下一页,上一页,牛顿法的几何意义,由（1）式知 是点 处 的切线 与X轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值 是用代替
2、曲线y=f(x)的切线与x 轴相交得到的。继续取点 ,再做切线与x轴相交，又可得 。由图可见，只要初值取的充分靠近 ,这个序列就会很快收敛于 。 Newton迭代法又称切线法,下一页,上一页,返回,返回,下一页,上一页,牛顿迭代法的步骤,步一、准备。选定初始近似值 ，计算 步二、迭代。按公式 迭代一次，得到新的近似值 ，计算 步三、控制。如果 满足 。 则终止迭代，以 作为所求的根；否则转步四。此处 是允许误差,返回,下一页,上一页,而 。其中c是取绝对值或相对误差 的控制常数，一般可取c=1。 步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数N，或者 则方法失败；否则以 代替 转步二继续迭代。,返
3、回,下一页,上一页,例题,例1:用牛顿法求下面方程的根 解 因 ,所以迭代公式为 选取 ,计算结果列于下表 从计算结果可以看出,牛顿法的收敛速度是很快的,进行了四次迭代就得到了较满意的结果.,返回,下一页,上一页,例2 计算 的近似值。 =10-6 x0=0.88 解： 令x= 问题转化为求(x)= x2-0.78265=0的正根 由牛顿迭代公式 xk+1= xk-(xk)/(xk)= xk/2+0.78265/2xk 迭代结果 k 0 1 2 3 xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675 满足了精度要求 =0.884675,返回,下一页,上一页,返回,下一
4、页,上一页,2)修正Newton法求m重根迭代公式 注：若 是方程 的m重根，而 在 的 某一邻域内连续，则修正 Newton法是局部收敛的，并具有至少二阶的收敛速度。 因为：,上一页,下一页,返回,考察函数,用定义求导,Tailor展开,所以,由定理2知,至少是二阶收敛,上一页,下一页,返回,牛顿迭代法的优缺点,1、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。 2、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。,返回,下一页,上一页,设(x )在有根区间 (a,b)上存在二阶导数，且满足 （1）(a)(b)0。 则牛顿迭代序列xi收敛于 (x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。,判别Newton 法收敛的充分条件,返回,上一页,