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1、第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的应用,通量的定义 通量的能谱和角分布 计算体通量的模拟方法 计算面通量的模拟方法 计算点通量的模拟方法 与通量有关的物理量的计算 作 业,第六章 蒙特卡罗方法在通量计算中的应用,通量计算在粒子输运问题中占有非常重要的地位。很多问题，如碰撞率、反应率以及系统逃脱几率等都可以通过通量来计算。通量计算问题，包括点通量、面通量和体通量的计算问题。相对来说，点通量的计算要困难一些。,通量的定义,设 分别表示粒子的位置、能量和运动方向。则通量 的定义为：,在 r 点的体积元 dV 内，能量E 和运动方向属于dE d的粒子平均径迹长度。,点通量的定义,给定点 r0 的点通量
2、为： 点通量的含义为：,在r0点的体积元dV内，粒子的平均径迹长度。,面通量的定义,给定曲面 A0 上的面通量为： 面通量的含义为：,沿曲面A0的法线方向增加厚度ds 所组成的体积元的体积元A0ds中，粒子的平均径迹长度。,体通量的定义,给定体 V0 内的体通量为： 体通量的含义为：,在体V0内，粒子的平均径迹长度。,粒子各次散射对通量的贡献,通量 可用粒子各次散射对通量的贡献和表示： 其中 为粒子 n 次散射后对通量的贡献，其含义为：,粒子在第 n 次散射到第 n1 次散射之间，在 r 点的体积元 dV 内，能量E 和运动方向属于dE d的粒子平均径迹长度。,通量的能谱与角分布,用蒙特卡罗方
3、法计算通量的能谱与角分布，所采用的手段与计算其它物理量一样，即把能量和方向分成若干个区间，分别按粒子状态所处的区间累积记录各自的贡献。,现将能量分成 I 区：E1，E2，EI；方向分成 J 区：1，2，I。 则有：,计算体通量的模拟方法,在实际问题中，经常遇到要计算某一区域V0 的体通量。 在通量的定义部分已经介绍过，通量可以表示为粒子各次散射对通量的贡献和。因此，下面要介绍的各种估计方法，只叙述各次散射后的通量计算方法。 计算体通量的方法主要有以下几种。,解析(统计)估计方法,粒子 n 次散射（n0 时为源粒子）后的通量贡献为： 其中，s1和s2分别为粒子由点rn出发，沿n方向到达 区 域V
4、0的近端和远端的交点的距离。如果点rn在V0内， 则 s10。如果粒子沿n方向与V0有多段相交，则 为每段相交线段的通量贡献之和。如果粒子沿 n方向与V0不相交，则 。,解析估计方法就是把体通量的贡献表达式直接计算出来。当系统为均匀介质时， 如果只是V0为均匀介质，则 如果V0由多层介质组成，则需分段计算积分。 在解析估计方法中，粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都要记录通量的贡献值。,径迹长度方法,设粒子从第 n 次散射到第 n1 次散射之间走过的径迹长度为 s ，则 n 次散射的通量贡献为： 径迹长度方法就是把粒子在V0内走过的径迹长度记录下来。,下面证明，径迹长度估计是无偏的。,碰撞密
5、度方法,设粒子从第 n 次散射到第 n1 次散射之间走过的径迹长度为 s ，则 n 次散射的通量贡献为： 碰撞密度方法就是把粒子在V0内发生的碰撞记录下来。,下面证明，碰撞密度估计是无偏的。,均匀径迹长度方法,确定一个定义在 s1,s2 上的概率密度函数 fn(s)，从 fn(s)中抽样 s*，则 n 次散射通量贡献的估计为： fn(s)的最简单形式是均匀分布 这时,点通量代替方法,设 为在V0上定义的任一概率密度函数，则体通量可表示为： 体通量的估计为： 其中，r*为从 中抽取的一个样本值。,几种方法的比较,解析估计方法：直接计算体通量的贡献表达式，因此该方法的方差小，但计算时间长，需要计算
6、指数函数的积分。 径迹长度方法：记录贡献方法简单，可与输运过程同时进行，只要粒子穿过记录区域就有贡献。但该方法方差大些，对于较小的系统（如自由程个数小于2），该方法较好。 碰撞密度方法：由于只在记录区域内发生碰撞才有贡献，因此方差较大，尤其在记录区域较小时更是如此。但该方法省时间，适用于大的记录区域。,均匀径迹长度方法：在记录区域为多层介质时，较解析估计方法容易实现。但在记录贡献时仍需计算指数函数，也费时间。 点通量代替方法：可以较好地解决小区域的体通量计算问题。尤其是记录区域与粒子的输运区域分开时，更是如此。,计算面通量的模拟方法,计算面通量的方法主要有以下几种。,解析估计方法,设经过 n
7、次散射的粒子，由点rn出发，沿n方向 到达曲面域A0的距离为 s1，与曲面相交处曲面的法线 方向为 n，则 n 次散射粒子对该曲面的通量贡献为： 如果粒子沿n方向与A0有多个交点，则 为每个 交点处的通量贡献之和。如果粒子沿n方向与A0没有 交点，则 。 解析估计方法就是把面通量的贡献表达式直接计算出来。粒子每发生一次碰撞（包括零次散射），都要记录通量的贡献值。,加权（径迹长度）方法,设粒子从第 n 次散射到第 n1 次散射之间走过的径迹长度为 s ，则 n 次散射的通量贡献为： 加权方法只有在粒子穿过曲面A0时，才对该曲面有通量贡献。,点通量代替方法,设 为在A0上定义的任一概率密度函数，则
8、面通量可表示为： 面通量的估计为： 其中，r*为从 中抽取的一个样本值。,体通量代替方法,沿曲面A0的法线方向均匀地增加一个厚度s，由此构成的体积为 。 的体通量为： A0的面通量为： 因此，如取得足够小，有如下近似：,计算点通量的模拟方法,与体通量、面通量的计算相比，点通量的计算最困难。这是因为，在大量的模拟粒子中，只能有很少的粒子穿过该点所包含的一个小区域，因此无法使用通常的通量计算方法。,指向概率方法,设 n 次散射后粒子的状态为 ， 进入 n 次碰撞的粒子的状态为 ， 表示粒子的碰撞核，其定义为：,一个粒子在点 r 发生碰撞后，能量由E变为E的dE内，方向由变为的d内的粒子平均数。,则
9、 n 次散射的粒子对点 r* 的通量贡献为： 其中 当 n0时，用源分布密度函数 代替碰撞 核 。,光子问题的指向概率方法 光子问题的碰撞核为： 其中光子能量E以电子静止能量mec20.511 MeV为单位；K(EE/r) 为KleinNishina公式，由下式确定 N(r) 表示在 r 处单位立方体内的原子数，z (r) 表示在 r 处元素的原子序数，r0表示电子的经典半径。,其中,中子问题的指向概率方法 中子问题的碰撞核为： 其中下标A和 i 分别表示不同的原子核和不同的反应； 和 分别表示能量为E的中子与第A种原子核发生第 i 种反应后产生的平均次级中子数和微观截面；NA(r) 表示在
10、r 处第A种原子核的核密度； 表示能量为E和方向为的中子与第A种原子核发生第 i 种反应后的能量E和方向的分布。,则有中子的通量贡献为：,关于估计量无界问题,当 r*点附近不含散射物质时（如真空），也就是说，粒子的输运区域与记录点分开时，指向概率方法的估计量是有界的，因此是一种比较好的计算点通量的方法。不含散射物质的区域越大，指向概率方法的优点越明显。 然而，当 r*点附近含有散射物质时，由于在指向概率方法的估计量中含有无界因子 因此，指向概率方法的估计量一般来说是无界的。,与通量有关的物理量的计算,一些物理量可以通过通量来计算。,系统逃脱概率,状态为 的粒子的系统逃脱概率为： 系统逃脱概率为：,各种反应率,碰撞密度 裂变中子密度 吸收率 反应率,作 业,