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1、1,离散数学 Lecture 25 主讲：陈义明 信息科学技术学院,2/22,信息科学技术学院,有向树,如果一个有向图在不考虑边的方向时是一棵树，那么，这个图称为有向树。,3/22,信息科学技术学院,学习内容,1 根树及其分类 2 最优树与哈夫曼算法 3 最佳前缀码,4/22,信息科学技术学院,学习目标,理解根树及其相关概念。 掌握最优树的定义及哈夫曼算法。 掌握最佳前缀码的定义及求法。,5/22,信息科学技术学院,根树的定义,根树: 有一个顶点入度为0, 其余的入度均为1的非平凡的有向树。 树根: 有向树中入度为0的顶点 树叶: 有向树中入度为1, 出度为0的顶点 内点: 有向树中入度为1,
2、 出度大于0的顶点 分支点: 树根与内点的总称,6/22,信息科学技术学院,根树的定义,顶点v的层数: 从树根到v的通路长度，记作 l() 树高: 有向树中顶点的最大层数。记作h(),7/22,信息科学技术学院,实例,右图中 a是树根 b,e,f,h,i是树叶 c,d,g是内点 a,c,d,g是分支点 a为0层;1层有b,c; 2层有d,e,f; 3层有g,h; 4层有i. 树高为4,8/22,信息科学技术学院,家族树,设v为根树的一个顶点且不是树根, 称v及其所有后代的导出子图为以v为根的根子树。 将根树每一层上的顶点规定次序后称作有序树。,把根树看作一棵家族树: 若顶点a邻接到顶点b, 则
3、称b是a的儿子, a是b的父亲。 若b和c为同一个顶点的儿子, 则称b和c是兄弟。 若ab且a可达b, 则称a是b的祖先, b是a的后代。,9/22,信息科学技术学院,根树的分类,r元树:根树的每个分支点至多有r个儿子 r元正则树: 根树的每个分支点恰有r个儿子 r元完全正则树: 所有树叶层数相同的r元正则树 r元有序树: 有序的r元树 r元正则有序树: 有序的r元正则树 r元完全正则有序树: 有序的r元完全正则树,10/22,信息科学技术学院,最优2元树,定义7.10 设2元树T有t片树叶v1, v2, , vt, 树叶的权分别为 w1, w2, , wt, 称 为T的权, 记作W(T),
4、其中 l(vi)是vi的层数. 在所有有t片树叶, 带权w1, w2, , wt 的 2元 树中, 权最小的2元树称为最优2元树。,11/22,信息科学技术学院,求最优2元树的算法,哈夫曼(Huffman)算法 给定实数w1, w2, , wt 作t片树叶, 分别以w1, w2, , wt为权 在所有入度为0的顶点(不一定是树叶)中选出两个权最小的顶点, 添加一个新分支点, 以这2个顶点为儿子, 其权等于这2个儿子的权之和 重复, 直到只有1个入度为0 的顶点为止 W(T)等于所有分支点的权之和。,12/22,信息科学技术学院,实例,例1 求以1,3,4,5,6为权的最优2元树, 并计算它的权
5、 解,W(T)=4+8+11+19=42,13/22,信息科学技术学院,实例,14/22,信息科学技术学院,通信编码,从编码通信的过程来看，编码要满足什么要求？,使总编码串最短。,要能正确地译码。,设H，E，L，O使用编码 0, 10, 010, 1010 即 H=0, E=10, L=010, O=1010,则HELLO=0100100101010，能否正确译码？,15/22,信息科学技术学院,最佳前缀码,定义7.11 设=12n-1n是长度为n的符号串, 12k 称作的长度为k的前缀, k=1,2,n1. 若非空字符串1, 2, , m中任何两个互不为前缀, 则称 1, 2, , m为前缀
6、码 只出现两个符号(如0与1)的前缀码称作2元前缀码 例如 0, 10, 110, 1111 , 10, 01, 001, 110 是2元前缀码 0, 10, 010, 1010 不是前缀码,16/22,信息科学技术学院,用2元树产生2元前缀码的方法,对每个分支点, 若关联2条边, 则给左边标0, 右边标1; 若只 关联1条边, 则可以给它标0(看作左边), 也可以标1(看作右 边). 将从树根到每一片树叶的通路上标的数字组成的字 符串记在树叶处, 所得的字符串构成一个前缀码.,例如,前缀码 00, 11, 011, 0100 ,17/22,信息科学技术学院,通信编码,从编码通信的过程来看，编
7、码要满足什么要求？,使总编码串最短。,要能正确地译码。,设H，E，L，O使用编码00, 0100, 011,11 ，则HELLO的编码长度为多少？,18/22,信息科学技术学院,实例,例2 在通信中,设八进制数字出现的频率(%)如下: 0: 25, 1: 20, 2: 15, 3: 10, 4: 10, 5: 10, 6: 5, 7: 5 采用2元前缀码, 求传输数字最少的2元前缀码 (称作最佳 前缀码), 并求传输100个按上述比例出现的八进制数字需 要多少个二进制数字？若用等长的 (长为3) 的码字传输需 要多少个二进制数字? 解 用Huffman算法求以频率(乘以100)为权的最优2元树
8、. 这里w1=5,w2=5,w3=10,w4=10,w5=10,w6=15,w7=20,w8=25.,19/22,信息科学技术学院,实例(续),编码: 0-01 1-11 2-001 3-100 4-101 5-0001 6-00000 7-00001,传100个按比例出现的八进制数字需W(T)=285个二进制数 字, 用等长码(长为3)需要用 300个数字.,5.6 树-根树,例题 汉字“一地在要工上是中国同和的有”出现频率依次为“2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41”，为这些汉字设计编码。译出“1000101110100101111”对应的汉字 。,5.6
9、树-根树,原则：左小右大、组合优先、左0右1、不足补0 编码：一1010111、地1010110、在101010、要10100、工0100、上0101、是1011、中1110、国1111、同011、和100、的110、有00,5.6 树-根树,原则：左小右大、组合优先、左0右1、不足补0 译码：1000101110100101111，每次从根结点开始，100(和)0101(上) ，110(的)，100(和)，1011(是)，110(不足补0，凑成110，译为“的”),此处右边5下方的2，3应画在左边，它违反了组合优先原则,23/22,信息科学技术学院,小结,1 根树及其分类 2 最优树与哈夫曼算法 3 最佳前缀码,24/22,信息科学技术学院,作业,P147 3,25/22,信息科学技术学院,Thank you for listening!,