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1、第六章 一阶电路,2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和 全响应求解；,重点,4. 一阶电路的阶跃响应和冲激响应。,3. 稳态分量、暂态分量求解；,1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定；,含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。,特点：,1. 动态电路,6.1 动态电路的方程及其初始条件,当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。,例,过渡期为零,电阻电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K接通电源后很长时间，电容充电完毕，电路达到新的稳定状态,前一个稳定状态,过渡状
2、态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电容电路,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uC = 0,i = 0 , uC= Us,K动作后很长时间，电容放电完毕，电路达到新的稳定状态,有一过渡期,第三个稳定状态,K未动作前，电路处于稳定状态,i = 0 , uL = 0,uL= 0, i=Us /R,K接通电源后很长时间，电路达到新的稳定状态，电感视为短路,前一个稳定状态,过渡状态,新的稳定状态,?,有一过渡期,电感电路,过渡过程产生的原因,电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。,电路结构、状态发生变化,换路,应用KVL和电容的
3、VCR得：,若以电流为变量：,2. 动态电路的方程,一阶电路,一阶电路中只有一个动态元件,描述电路的方程是一阶线性微分方程。,（1）描述动态电路的电路方程为微分方程；,结论：,（2）动态电路方程的阶数等于电路中动态元件的个数；,二阶电路,二阶电路中有二个动态元件,描述电路的方程是二阶线性微分方程。,高阶电路,电路中有多个动态元件，描述电路的方程是高阶微分方程。,动态电路的分析方法,（1）根据KVl、KCL和VCR建立微分方程,稳态分析和动态分析的区别,稳态,动态,(1) t = 0与t = 0的概念,认为换路在 t=0时刻进行,0 换路前一瞬间,0 换路后一瞬间,3. 电路的初始条件,初始条件
4、为 t = 0时u ，i 及其各阶导数的值,0,0,图示为电容放电电路，电容原先带有电压Uo,求开关闭合后电容电压随时间的变化。,例,解,特征根方程：,得通解：,代入初始条件得：,说明在动态电路的分析中，初始条件是得到确定解答的必需条件。,t = 0+时刻,当i()为有限值时,q (0+) = q (0),uC (0+) = uC (0),换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,(2) 电容的初始条件,电荷守恒,结论,当u为有限值时,L (0)= L (0),iL(0)= iL(0),(3) 电感的初始条件,t = 0+时刻,磁链守恒,换路瞬间，若电感电压保持
5、为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,结论,（4）换路定律,（1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。,注意:,换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。,换路瞬间，若电容电流保持为有限值， 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。,（2）换路定律反映了能量不能跃变。,5.电路初始值的确定,(2) 由换路定律,uC (0+) = uC (0)=8V,(1) 由0电路求 uC(0)或iL(0),uC(0)=8V,(3) 由0+等效电路求 iC(0+),例1,求 iC(0+),电容开路,电容用电压源替代,求初始值的步骤:,1. 由换路前电路（一般为
6、稳定状态）求uC(0)和iL(0)；,2. 由换路定律得 uC(0+) 和 iL(0+)。,3. 画0+等效电路。,4. 由0+电路求所需各变量的0+值。,b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。,a. 换路后的电路,（取0+时刻值，方向与原假定的电容电压、电感电流方向相同）。,iL(0+) = iL(0) = IS,uC(0+) = uC(0) = RIS,uL(0+)= - RIS,求 iC(0+) , uL(0+),例3,解,由0电路得：,由0电路得：,6.2 一阶电路的零输入响应,换路后外加激励为零，仅由动态元件初始储能所产生的电压和电流。,1. RC电路的零输入响应,已知 uC (
7、0)=U0,特征根,则,零输入响应,代入初始值 uC (0+)=uC(0)=U0,A=U0,令 =RC , 称为一阶电路的时间常数,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；,从以上各式可以得出：,连续函数,跃变,（2）响应衰减快慢与RC有关；,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = R C, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,电压初值一定：,R 大（ C一定） i=u/R 放电电流小,C 大（R一定） W=Cu2/2 储能大,物理含义,工程上认为, 经过 35, 过渡过程结束。,：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。,t1时刻曲线的斜率等于,U0 0.36
8、8 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0,U0 U0 e -1 U0 e -2 U0 e -3 U0 e -5,次切距的长度,（3）能量关系,电容不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.,设uC(0+)=U0,电容放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,例,已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后，电容电压和各支路电流随时间变化的规律。,解,这是一个求一阶RC零输入响应问题，有：,分流得：,2. RL电路的零输入响应,特征方程 Lp+R=0,特征根,代入初始值 i(0+)= I0,A= i(0+)= I0,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,（1）电压、电流是随
9、时间按同一指数规律衰减的函数；,（2）响应衰减快慢与L/R有关；,令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数,L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小, 大 过渡过程时间长, 小 过渡过程时间短,物理含义,时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短, = L/R,电流初值i(0)一定：,（3）能量关系,电感不断释放能量被电阻吸收, 直到全部消耗完毕.,设iL(0+)=I0,电感放出能量：,电阻吸收（消耗）能量：,iL (0+) = iL(0) = 1 A,例1,t=0时 , 打开开关K，求uv。,现象 ：电压表坏了,电压表量程：50V,解,例2,t=0时 ,
10、开关K由12，求电感电压和电流及开关两端电压u12。,解,小结,一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。,2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。,3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。,动态元件初始能量为零，由t 0电路中外加输入激励作用所产生的响应。,列方程：,6.3 一阶电路的零状态响应,非齐次线性常微分方程,解答形式为：,1. RC电路的零状态响应,零状态响应,齐次方程通解,非齐次方程特解,与输入激励的变化规律有关，为电路的稳态解,变化规律由电路参数和结
11、构决定,全解,uC (0+)=A+US= 0,A= US,由初始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A,的通解,的特解,（1）电压、电流是随时间按同一指数规律变化的函数； 电容电压由两部分构成：,从以上式子可以得出：,连续函数,跃变,稳态分量（强制分量）,暫态分量（自由分量）,+,（2）响应变化的快慢，由时间常数RC决定；大，充电 慢，小充电就快。,（3）响应与外加激励成线性关系；,（4）能量关系,电容储存：,电源提供能量：,电阻消耗,电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量储存在电容中。,例,t=0时 , 开关K闭合，已知 uC（0）=0，求（1）电容电压和电流，（2）uC80V
12、时的充电时间t 。,解,(1) 这是一个RC电路零状态响应问题，有：,（2）设经过t1秒，uC80V,2. RL电路的零状态响应,已知iL(0)=0，电路方程为：,例1,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的变化规律 。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,例2,t=0时 ,开关K打开，求t0后iL、uL的及电流源的端电压。,解,这是一个RL电路零状态响应问题，先化简电路，有：,6.4 一阶电路的全响应,电路的初始状态不为零，同时又有外加激励源作用时电路中产生的响应。,解答为 uC(t) = uC + uC“,uC (0)=U0,以RC电路为例，电路微分方程：,=RC,
13、1. 全响应,全响应,uC (0+)=A+US=U0, A=U0 - US,由起始值定A,2. 全响应的两种分解方式,强制分量(稳态解),自由分量(暂态解),全响应 = 强制分量(稳态解) + 自由分量(暂态解),（1） 着眼于电路的两种工作状态,物理概念清晰,全响应= 零状态响应 + 零输入响应,零状态响应,零输入响应,(2). 着眼于因果关系,便于叠加计算,例1,t=0时 ,开关K打开，求t0后的iL、uL,解,这是一个RL电路全响应问题，有：,零输入响应：,零状态响应：,全响应：,或求出稳态分量：,全响应：,A=4,例2,t=0时 ,开关K闭合，求t0后的iC、uC及电流源两端的电压。,解,这是一个RC电路全响应问题，有：,稳态分量：,全响应：,A=10,3. 三要素法分析一阶电路,一阶电路的数学模型是一阶微分方程：,令 t = 0+,其解答一般形式为：,分析一阶电路问题转为求解电路的三个要素的问题,用0+等效电路求解,用t的稳态电路求解,直流激励时：,解,例2,t=0时 ,开关闭合，求t0后的iL、i1、i2,解,三要素为：,应用三要素公式,三要素为：,例3,已知：t=0时开关由12，求换路后的uC(t) 。,解,三要素为：,例4,已知：t=0时开关闭合，求换路后的电流i(t) 。,解,三要素为：,