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1、,第一章,第三节,条件概率及事件 的相互独立性,一、条件概率和乘法公式,二、全概率公式和Bayes公式,三 、事件的相互独立性,1.3.1 条件概率和乘法公式,在实际问题中，除了要知道事件 A 发生的概率 P(A),外，有时还要考虑“在事件 B 发生的条件下，事件 A 发,生的概率”，这个概率记作 P(A|B)。,件B 已经发生”，,由于增加了条件“事,所以一般说来，P(A|B) 和 P(A) 不同。,称P(A|B) 为在事件 B 发生的条件下，事件 A 发生的,条件概率。,设袋中有3个白球，,2个红球，,现从袋中任意抽取,两次，,每次取一个，,取后不放回。,（2）已知第一次取到红球，,求第二
2、次也取到红球的概率;,（3）求第二次取到红球的概率；,（4）求两次均取到红球的概率；,解、设A第一次取到红球,B第二次取到红球,（1）求第一次取到红球的概率;,例1.3.1,设,是的两个随机事件，且,则称,为在事件B发生的条件下事件A发生的条件概率。,定义1.3.1,性质,例2,一盒中混有100只新 、旧乒乓球，,各有红、白两色，,分类如下表。,从盒中随机取出一球，,若取得的是一只红球，,试求该红球是新球的概率。,A,B,B-从盒中随机取到一只新球.,解：,设A-从盒中随机取到一只红球.,2、乘法公式,设,以上公式还可推广到三个事件的情形：,一般地，有下列公式：,例3,盒中有3个红球，2个白球
3、，,每次从袋中任取一只，,观察其颜色后放回，,并再放入一只与所取之球颜色相同,的球，,若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、,4次取得红球的概率。,解：设Ai为第i次取球时取到白球，则,其中,故,例4,盒中有n个球，其中n1个白球， 1个黑球，n个,依次从袋中各取1球，每人取后不放回，求第i人取到,黑球的概率。,=0.9795,0.8286,定义 事件组A1，A2，An (n可为)，称为样本空间的一个划分，若满足：,A1,A2,An,B,二、全概率公式和贝叶斯公式,定理1,且,则对任何事件B，,有,全概率公式,贝叶斯公式,例6,市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，,已知
4、三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，,且三家,工厂的次品率分别为 2、1、3，,试求市场上该品牌,产品的次品率。,解：,分别表示买到甲、乙、丙三厂的产品。,例7,1个红球，,有甲乙两个袋子，,甲袋中有两个白球，,乙袋中,有两个红球，,一个白球,这六个球手感上不可区别,今从甲袋,中任取一球放入乙袋，,搅匀后再从乙袋中任取一球，,问此球是,红球的概率？,设A1从甲袋放入乙袋的是白球；,解：,A2从甲袋放入乙袋的是红球；,B从乙袋中任取一球是红球；,已知:,由Bayes公式:,例8,商店论箱出售玻璃杯，,每箱20只，,其中每箱含0，1，,2只次品的概率分别为0.8, 0.1, 0.1，
5、,某顾客选中一箱，,从中任,选4只检查，,结果都是好的，,便买下了这一箱.,问这一箱含有,一个次品的概率是多少？,解:,设A:从一箱中任取4只检查,结果都是好的.,分别表示事件每箱含0，1，2只次品,1.3.3 事件的相互独立性,对于随机试验的两个随机事件 A 和 B ，一般有,这表明事件 B 的发生与否对事件 A 的发生是有影响的。,当 P(A|B)=P(A) 时，这种影响就不存在。,此时，称事件,A 与事件 B 是独立的。,由条件概率公式,或,当 P(B)0 时,当 P(A)0 时,可知：,定义1.3.3,结论：,以下四个命题等价：,1.3.3 事件的相互独立性,若事件 A、B 满足 P(
6、AB)=P(A)P(B)，则称A,与B 相互独立。,定理1.3.2,若 P(A)0 (或P(B)0 )，,则A与B相互独立的,充分必要条件是,(或 ),例9,某车间中，一位工人操作甲、乙两台没有联系的,自动车床，由积累的数据知，这两台车床在某段时间内停,车的概率分别为 0.15 和 0.20 ，求这段时间内至少有一台,不停车的概率。,(0.97),例10,设 0P(A)1， 0P(B)1 ，,试判断下列哪些结论成立：,试判断下列哪些结论成立：,(1) 事件A与事件B互不相容；,(2) 事件A与事件B相互对立；,(3) 事件A与事件B不相互独立；,(4) 事件A与事件B相互独立；,例11.,从一
7、付52张(去掉王)的扑克牌中任意抽取一张,令,A=抽出一张K,问A与B是否独立?,B=抽出一张黑桃,解:,是相互独立的.,加上大小王如何？,2、多个事件的独立,定义2、,若在此基础上还满足：,一般地，,如果对任意,任意的,具有等式,思考：,1、设事件,相互独立，则,与,独立吗？,至少得一个双六，这两件事，哪一个有更多的机会遇到？,2、一颗骰子掷4次至少得一个六点与两颗骰子掷24次,答:0.518, 0.496,3、事件独立性的应用,1)、加法公式的简化,则,2)、在可靠性理论上的应用,例11,如图，1、2、3、4、5表示继电器,假设每个触点闭合的概率为p,继电器接点闭合与否相互独立，,求L至R
8、,是通路的概率。,触点,且各,设A-L至R为通路,Ai-第i个继电器通,i=1,2,5,解:,由全概率公式,例12,设有三门火炮同时对某目标进行射击，命中率分,别为0.2，0.3，0.5；命中1发目标被毁的概率为0.2，命,中2发目标被毁的概率为0.6， 命中3发目标被毁的概率,为0.9，,求该目标经3门火炮一次射击后被毁的概率。,解,猜奖问题,三种不同的解答,解答1 不必改猜,主持人翻开一个杯子后，余下的两个杯子中都可,能有钻戒，而且可能性相同。因此改猜与不改猜得到,钻戒的概率都是,解答2 改猜后获得钻戒的概率是,解答3,投掷一个硬币，下面朝上就改猜，否则不改猜。,分析问题出在主持人是否一定能翻开没有钻戒的杯子,(1) 主持人不知道内情，他是随机翻开了一个有电子表,的杯子,(2) 主持人知道内情，他 必然翻开一个有电子表,的杯子,内容小结,样本空间、独立性），,本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、,四个公式（加法公式、乘法公式、,全概率公式、贝叶斯公式）,和一个概型（古典概型）组成。,