《分数的初步认识》中的多元表征问题探讨.ppt

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1、分数的初步认识课例分析 兼谈多元表征问题,曹新 13970787517 ,案例分析：吴正宪老师的一个课例,吴正宪.分数的初步认识课堂实录.教育的理论与实践,2007,9,B,前言,分数是小学数学的核心概念，是代数学习的基础。 为了帮助学生更好地理解分数，课程标准及教科书将分数的学习分别安排在：第一学段三年级（分数的初步认识），第二学段五年级（分数的意义和性质）。,由于分数难学，多次引起各方面的讨论甚至争论。争论的焦点主要集中在五年级分数的意义，并将其作为一个重要的研究论题。 相对而言，由于分数的初步认识，多半从“切大饼”或“分蛋糕”开始的，即借助于直观模型（面积模型、数线模型）初步理解分数刻画

2、的“部分整体”之间的比率关系（作为“率”的分数），教学内容与教学方法没有太大的异议。,对分数的初步认识学习的调查却显示：通过近距离的课堂观察，发现在理所当然且习以为常的操作活动中，学生并非按我们的预想在进行数学思考。 反思：在问题情境中，学生真正体会到学习分数的必要性了吗？在顺利的操作活动中，学生在进行数学本质的思考吗？如果学生在情境、活动中没有经历真实的数学思维过程，那么理解又何以产生？,数学学习心理的研究表明，理解概念的关键在于将数学概念的抽象定义的含意转换成易于学生理解和运用的适当的心理表象。 转换：是将抽象概念与学生已有知识经验建立有层次的联系：引导学生在概念的抽象定义、半抽象模型（或

3、操作）、具体原型（或活动）之间进行寻找意义与数学化的过程。,数学化与寻找意义-数学教学的基本活动 自左至右：数学化 自右至左：寻找意义,换句话说，学习者需要通过内化概念的多种表达形式并与已有的内在表象发生相互作用，以此促进或影响学习者的数学理解。 理解概念涉及：概念的丰富表达形式外在表征，概念的心理表达（表象）内在表征，以及内外表征之间的转换。,内容框架,1 分数学习的难点与前概念 2 分数初步认识的教学流程 3分数的初步认识课例分析,1 分数学习的难点与前概念,义务教育数学课程标准（2011版）对分数的初步认识的要求是：能结合具体情境初步理解分数的意义，能读、写分数，能比较两个同分母分数的大

4、小；能运用分数表示日常生活中的一些事物，并进行交流。 教材的目标定位：主要利用直观的方式，使学生通过折一折、涂一涂等动手操作的方式，初步理解分数的意义，掌握分数的大小。 实现上述目标，一要分析教学内容，以充分了解分数学习的困难之处；二要分析学情，以找准教学的出发点：学生已有的知识经验。,分数学习的难点,一直以来，在学生的心目中并不承认分数是个“数”，是个“结果”。 其一，分数并非“十进制”，这是与整数及其运算的最大差别。 其二，引入分数是为了表示“量”，但“几分之一”表示的却是部分与整体之间的“比率”。 其三，分数所能表示的“量”有更易于学生接受的替代物小数，分数所能表示的“比率”也有更易于学

5、生接受的替代物百分数与比（这些后续学习的内容在生活中却先接触）。,其四，分数反映了数学概念的二重性： 既表现为一种过程操作先分，把一个对象平均分，分之后就确定了分母，就创造了一个分数单位。然后再取一份或几份，即是数有多少个单位，也就是确定分子；又表现为对象、结构a/b。 这种兼具算法与结果的特点,给学生带来很大的认知负荷，影响着他们的认知加工。,学生已有的知识经验,一是具备“平均分”的认识。缺乏的是进一步的认识逆向思维，以及由此引出新数分数的意识。 具有诸多与“分数学习”有关的操作体验，学生缺乏的是探究操作活动中蕴含的数学知识所取的份数与整体的“比率”关系。,2 分数初步认识的教学流程,两种设

6、计思路都没有探讨以下问题： 课文呈现的分数外在表征之间有没有层次性？若有，怎样在教学中加以体现？ 分数的外在表征有哪些类型？类型之内、类型之间有怎样的关系？这些关系对教学设计有怎样的要求？ 分数的外在表征与内在表征有怎样的关系？这种关系对于分数的学习设计有怎样的启发？,3分数的初步认识课例分析,这堂课的教学设计有什么特点？ 这堂课的师生对话有什么特点？ 对这堂课你想提哪些改进建议？,一、教学设计：为学生的发展而教,巧选素材，让学生走进数学 西游记故事“如何表示一半”？ 怎样分月饼引入分数概念 读图识分数加深对分数概念的理解 创设机会，让学生创造数学 折纸表示分数、讨论分数 辩论揭示分数概念的核

7、心 用分数说一句话揭示分数与生活的联系,注重学法，让学生学会学习 学会将新知与生活经验、已有知识经验相联系 学会在在操作、实践活动中认识、理解知识 学会倾听、独立思考、善于合作交流 学会用所学知识解释生活中的现象,二、师生对话特点,以低层次（回忆、理解）提问为多、为辅，以高层次（应用、分析、评价、综合）提问为少、为主； 教学中的主问题6个设置为高层次问题； 对主问题的探讨注意了两种层次的问题的结合； 辅助性问题设置不多，学生在较高的认知水平上开展学习。,三、对课例的几点看法,1.教学目标叙写的存在的问题 2.情境的创设存在问题 3.分数是“量”还是“数”？ 4.对分数有无限多个的探讨 5.为什

8、么“1/2”比其他的表示更科学、简便？ 6.“如何表示一半”？为什么将学生过早、过多地限制于符号表征一种方式？,1.教学目标叙写的存在的问题,没有体现三维目标 教学目标的主体混乱 怎样写才能好一些？, 知识与技能目标：会读、写分数，说出分数各部分的名称，理解几分之一的具体含义。 过程与方法目标：经历“一半”、“平均分”表示的探究、交流、合作的过程，体会分数的意义与不同的表示方法，增进数学的图形语言、文字语言、符号语言相互转换的能力，提升对分数的不同表征的水平，养成有条理地思考与表述问题的习惯。 情感态度与价值观目标：经历“一半”、“平均分”表示，以及用分数说一句话的数学化历程，感受数学理性思维

9、的魅力，加深对数学与生活联系的理解，进而提高学习数学的兴趣，并增强学好数学的自信心。,2.情境的创设存在问题,从一个虚假的情境中引出了一个简单问题 如何改进？ “指导探索”中的设问依然值得商榷。 对一些情境的思考,我们创设了怎样的情境？,金阳广场是一个边长为400米的正方形休闲广场，广场的4个角上建有A、B、C、D 4个生活小区。小区欲安装煤气管道，但煤气公司只将煤气主管道接到A区，另外3个小区的煤气管道将由他们自行铺设并与A区连通。请设计与A区相连的最短煤气管道铺设方案 。,比的意义（六年级上） 师：再过几天就是祖国53岁生日了，我们一起看一段短片（录像：义勇军进行曲）。53年前的10月1日

10、，中国的五星红旗第一次迎着灿烂的朝阳在天安门广场上冉冉升起，毛主席在天安门城楼上庄严宣布：中华人民共和国成立了！中国人民从此站起来了！瞧，五星红旗红旗如此灿烂、美丽，让无数中国人为之骄傲与自豪，其实在我们的国旗里还隐藏这很多有趣的数学问题呢！你想了解它吗？老师告诉你们：它的长为3米，宽为2米。你能求什么呢？,分数的意义 师：其实，在我们学过的成语中就隐含了分数，想一想，你能举出这样的例子吗？生：十拿九稳、九死一生、百里挑一、十全十美、百发百中 弧度制 教师在黑板上画了一个角，然后拿出一段绳子，问：同学们，如何度量这个角？,等腰三角形的性质 教师创设了走进埃及看金字塔这样一个生活情境，让学生从神

11、秘的金字塔模型中开始探索等腰三角形的特征。课后教师还布置一个实验任务，使数学课堂得到进一步延伸：依照比例复制一个小型的金字塔模型，再将食物放置入内，看几周后食物是否完全脱水，有没有腐败现象？,3.分数是“量”还是“数”？,“指导探索” 待同学们明确了“平均分”后，老师带领同学们边比划边说：把一个月饼平均分成两份，每份就是这个月饼的二分之一。之后，让小伙伴之间互相讲述自己对“1/2”的理解。 你还能在这块月饼中找到另一个二分之一吗？一个同学很快地跑到前面，在月饼的另一半写上了“1/2”。 同学们用不同的折法表现“1/2”。,4.对分数有无限多个的探讨,P37： 师：同学们请看，像“1/2、1/3

12、、1/4、1/5、1/8”这样的数都叫分数。你还能举出分数的例子来吗？ （同学们跃跃欲试，不由自主地站起来，举着他们的“研究成果”给大家看） 师：这样说下去，说到今天晚上能说得完吗？ 生：（迫不及待）我知道了，分数有无限个。 师：对，分数的个数是无限的。 问题：上述对话能表明分数有无限多吗？,5.为什么“1/2”比其他的表示更科学、简便？,教师让学生用自己喜欢的方式表示“半个”，并让他们解释每种表示方法的含义。 向学生介绍一种“更科学、更简洁”的表示方法“1/2” 。 问题：老师能向学生说明“1/2更简洁、更科学”吗？,生活数学学校数学？ 生活数学对“一半”的表示 生活数学与学校数学之间的鸿沟

13、 关注差异，重视沟通数学化,6.过早、过快地将学生的分数表征限制于符号这一方式有什么问题？,课本中的多元外在表征,实物操作切西瓜、苹果、月饼； 模型操作搭积木、折纸； 喂养鸽子的盒子兼具实物与模型的特点； 积木、地毯还隐含着线段图、面积图； 周边的树木可以作为外在表征的实物。,师（指着黑板上学生写的文字、画的线段和图画）老师想和你们商量一下，这些图、线段和文字都表示把一个物体平均分成两份，表示其中的一份。如果你认为“1/2”这个分数，能表示你的意思，就可以擦掉你所写的；如果你认为你的表现方法更好，也可以保留意见。 （很多同学纷纷跑上去擦掉自己写的文字、画的图与线段，只有一位同学坚持认为自己画的

14、图更好，老师尊重了他的意见，并把这幅桃子图框起来保留在黑板上）,教师对学生的要求,生5：我爸爸买了100个鸡蛋，打碎了1个，打碎了的正好占这些鸡蛋的1/100。 （师顺手把1/100写到了黑板上。并特意把坚持用画图的方法表示分数的哪位同学请上来） 师：1/100该怎样用你喜欢的画图方法表示呢？请你试试看。 （只见这位同学认真地画着，画着画着他停了，扬起小脸对老师说，这种方法太麻烦了，还是用分数表示好。边说边把自己画在黑板上的桃子图擦掉。）,教师在课堂一直采用多元外在表征,表示“半个桃子” “分月饼” 用图形表示分数 折分数 用分数说一句话 用线段图表示分数,认知结构中的元素,1）数学知识的外部

15、表征 2）数学思维的媒介内在表征（心理表象） 3）心理表象与定义的关系,Janvier认为多元表征是指同一数学对象的不同表示形式： 可以是心理的、主观的东西，这叫内在表征（Internal Representation）或心智表征（Mental Representation）,譬如个体在头脑中建构数学对象的心像（Mental Images）等； 表征也可以是外在于人脑的、客观世界的东西，这叫外在表征（External Representation），譬如言语、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等,Hiebert和Carpenter： 外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实

16、际情境等形式存在的表征。 内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构。 学习者通过外在表征可以表达出自己的想法而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行想象、推理等思维活动。,Hiebert和Carpenter： 外在表征是指以语言、文字、符号、图片、具体物、活动或实际情境等形式存在的表征。 内在表征是指存在于学习者头脑里而无法直接观察的心智表征或学习者拥有的心智结构。 学习者通过外在表征可以表达出自己的想法而达到沟通和交流的目的，通过内在表征可以进行想象、推理等思维活动。,Goldin： 外在表征是从传统的数学符号系统（如数轴、笛卡儿坐标系）到结构性的学习

17、情境（如包含具体操作活动的数学学习情境、基于电脑的微观学习环境）。 内在表征则指学习者对于数学对象的意义赋予与建构，包括学习者的言语语义、心像、视空间表征、计划监控策略及启发法、数学的情感表征系统等。,1）数学知识的外部表征,刻画数学对象的每种表征具有各自的特点与功能： 口语、书写文本、数学公式和逻辑表示等表征可以任意表达，但与约定内容紧密相关，而且包含反映关系的各种符号。能描述和表达抽象的、逻辑的意义，这些表征既是人脑左半球的功能特点，也是左半球发展的外在促进。 实物模型、图形、图表、图像等不含有反映关系的各种符号，但却描绘了具体的、形象的、直觉的意义，便于人们较为快捷地“可视化” 数学的整

18、体结构和意义，这些表征既是人脑右半球的功能特点，也是右半球发展的外在促进。,不同的表征在表示信息上可能是等效的，但在思维运演和交流等功能上并不等效：实物模型、图形等表征适合于形象，直觉思维等非逻辑思维，有助于创新思维的培养；文字、符号等表征适合于逻辑思维，有助于逻辑、理性思辨的培养。 很多数学对象的具体表征具有优先性和典型性。如，表征“数”的概念，阿拉伯数字比较罗马数字具有优先性和典型性。但有时优先性和典型性却扮演负面的影响。如，标准的几何图形或数学符号表达容易使学习者依赖典型。 总之，数学对象的多元表征的特征，在外在结构形式上如同冰山；在内容上，表征的丰富性以及相互联系性构成知识的网络结构；

19、在方法上，表征间的转换或转译体现了逻辑思维与非逻辑思维的互补。,Keller和Hirsch：数学对象的多元外在表征能够具体形象地凸显一个数学对象的多元外在属性；能强化数学对象复杂性的一面，同时也可能淡化其复杂的一面；能够便于学习者对不同表征的认知联接。 Bruner:数学对象有三种表征，即活动性表征图象性表征符号性表征。,数学知识的外部表征(Lesh),它们之间不一定存在先后的发展顺序，主要应重视它们之间的转换与相互影响，因为这种转换与影响对于学生的概念形成和理解有重要的意义。 知识的外部表征及其转换和联系，将共同参与学生的思考活动，被他们选取、改造和适应，转变为心理上的表征。, 基于表征符号

20、的本质差异，认知心理学家将外在表征分为：叙述性表征与描述性表征两大类。两种表征具有各自的特点与功能： 叙述性（言语化）表征，其本质为抽象符号，通过言语对被表征的对象进行抽象的描述。如，口语、书写文本、数学公式、逻辑表示等。这一类表征与约定内容紧密相关，而且包含反映关系的各种符号，能够描述和表达抽象的、逻辑的意义； 描述性（视觉化）表征，其本质为直观模式，通过图式元素对被表征的对象进行形象的描绘。如，实物模型、图形、图表、图像等。这一类表征描绘了具体的、形象的、直觉的意义，便于人们较为快捷地“可视化”数学的整体结构和意义。 比较而言，叙述性表征适合于逻辑思维，有助于逻辑、理性思辨的培养；描述性表

21、征适合于形象、直觉思维，有助于创新思维的培养。,多元表征学习模型,2）数学思维的媒介心理表象 思维中信息的形态,在定义和图形两者中，人们更倾向于利用一些图形作为概念的代表，并用它们表示概念。 记忆中存贮的信息的形式有三种既不排斥、也不包含的可能性：语言文字、命题；图画；既非词句，也非图画。 Kruteskii：语言-逻辑方式与视觉-图形方式，导致三类学生（分析型、几何型、协调型） 相应于“直观”、“几何型”思维方式的具体表现，心理学上有一个概念-表象。,心理表象的存在性-数学家的内省 Hadamard：数学领域中的发明心理学 Euler：解释演绎的特性 Piaget：直观对于发现必不可少 Hi

22、lbert：数学研究两种趋势：抽象与直观 Griffiths：数学中最常见的思维媒介是数学结构的模型和实例 Brown：学生常用的五种意象：具体意象、记忆意象、动觉意象、动态意象、模式意象。,Descartes：意象本身不会产生科学，但在某些情况下，我们还是要求助于它。 Piaget：表象的三种类型 由内化的模仿活动形成的； 通过基本的思想实验建立的； 思维运算的动态符号。,心理表象的特点基本特征 表象是相对形象、具体的 表象具有综合性、整体性 表象具有不全面、不精确、不深刻的弱点 表象有一个发展过程 表象因人而异、因事而异 思维表象如何在抽象与直觉之间维持一种平衡，既能比较直观地表达对象，又

23、尽可能不遗漏和不歪曲定义所规定的人工对象的性质，是学习中必须及时解决的问题。,3）心理表象与定义的关系 表象是最活跃的心理因素 Vinner:内部信息更多地表示为与概念有关系的性质和心理图像的组合。 理解的要素:“建构理解就是建构表象” 得益于表象的具体、形象的特点，思维将可以运转得迅速灵活。形成好的概念表象，会对把握和理解概念有帮助。,定义：建构概念的脚手架 工具 Vinner:获得概念就是形成概念表象，用心学习定义不保证理解。 Freudenthal:概念形成主要参考的是经验现象和事实。 数学教师创造理解：将数学概念的抽象定义的含义转换成易于学生理解和运用的适当的心理表象，帮助学生灵活地掌

24、握表象。,概念活动的过程分析 定义与表象是概念这枚硬币的两个面，它们各有侧重，又互相补充，相辅相成，在帮助学生形成与运用概念方面共同发挥作用。 定义以语言为途径，对概念作逐字逐句的界定，规定内涵，具有抽象性和严密性。 表象利用直观形象为工具，象征性地代表概念，在回忆、加工时显得简洁明快，约束较小。,定义和表象互相影响，互相促进。 理想的思考过程应当既借助于表象这个直观思维的媒介，减轻思维的负担，又参考定义，避免或纠正可能发生的错误。 在学校数学教学这样一个特殊的“学术场合”中，合理地利用两类工具，平衡表象与定义之间的关系，能使学习轻松、有效。,体现多元表征的教学建议,第一，从均分物体的视觉化表

25、征转换为言语化表征时，注意体现言语化表征的发展层次：口头通俗言语（如，把一个物体平均分成两份，每一份是这个物体的“一半”，也就是平均分成的两份中的一份）书面精炼语言（二等分，取其一）数学文字语言（二分之一）数学符号语言（1/2）。,第二，结合情境，充分体现作为“量”的分数带单位（如，三分之一的圆）与作为“比率”的分数不带单位（如，三分之一）之间的转换过程，并引导学生参与这个过程（当然不能直接提“量”的分数与“比率”的分数），因为这是从视觉化表征转向言语化表征的一个关键环节。,第三，关注操作活动后面的数学思考，促成学生在分数的视觉化表征与言语化表征之间的转换与转译。因为，即使学生没有接触过分数，

26、也能顺利地完成“折一折”、“涂一涂”的操作活动。但是只有在操作活动与“几等分，取其一”所表达的“几分之一”之间建立了转换与转译关系，学生才能从情境走向数学，把活动与思考数学结合起来。,第四，允许学生用不同的方式表征分数。尽管学习符号化的表达是一个的目标，但是达到这一目标需要通过视觉化表征的转换与转译才能实现。而且，表征之间的相互参照是两种表征不断发展精致的需要，自然成为建立分数恰当图式的必要条件。,数学多元表征学习要求同一数学学习对象必须具有叙述性和描述性两类本质不同的表征，这也是对“数形结合”数学思想的本质刻画。 “数形结合”反映的就是言语化表征与视觉化表征在概念理解与运用过程中的精致、转换与转译，反映的就是视觉化表征的直觉启示与言语化表征的逻辑抽象的整合。 因此，从教学的角度看，我们更应深入地研究教师在教学中应当如何使用各种外部表征，才能帮助学生建立真正反映概念本质的内在表征。,Thanks for Your Attention!,