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1、开始,学点一,学点二,学点三,学点四,学点五,1.三角形任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即 c2= , b2= , a2= , 这个定理叫余弦定理.,a2+b2-2abcosC,a2+c2-2accosB,b2+c2-2bccosA,2.由余弦定理我们得 cosA= , cosB= , cosC= . 3.设a,b,c是ABC的三内角A，B，C的对边，则 ABC的面积 = = .,学点一 解斜三角形,【分析】由条件知，均可用余弦定理.,【解析】,在ABC中， （1）a=1,b=1,C=120,求c; （2）a=3,b=4,c= ，求最大角； （3）a
2、：b：c=1： ：2,求A，B，C.,【评析】（1）余弦定理可解两类三角形问题：一类是已知三边；另一类是已知两边及其夹角. （2）对于题中的第（3）小题，根据已知条件，设出三边的长，然后由余弦定理求解，是解题的关键，在求出角A后，也可用正弦定理求角B，但要注意讨论解的情况.,根据下列条件解三角形. （1）b=8,c=3,A=60; （2）a=20,b=29,c=21.,解：已知两边和夹角，已知三边解三角形，根据余弦定理来求. （1）根据余弦定理，得 a2=b2+c2-2bccosA=82+32-283cos60=64+9-24=49. a=7,由推论得,C=22, B=180-60-22=98
3、. （2）根据余弦定理的推论得 B=90,C=90-44=46.,学点二 余弦定理,【分析】由比例的性质可以引入一个字母k，用k表示a,b,c，再由余弦定理求解各角.,已知ABC中,abc=2 ( +1),求ABC的各角度数.,【解析】abc=2 ( +1), 令a=2k,b= k,c=( +1)k. 由余弦定理，有,A=45. B=60. C=180-A-B=180-45-60=75.,【评析】根据问题给出的条件abc=2 ( +1)， 设a=2k,b= k,c=( +1)k，为使用余弦定理求角创造条件，这是解答本题的关键一步；在已知三边，求三个角时，一般先求小角，后求大角.,在ABC中，
4、（1）若sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC,求角A； （2）若sinAsinBsinC=( -1)( +1) ,求最大 内角.,解:（1）sin2A=sin2B+sin2C+sinBsinC, 由正弦定理，得 a2=b2+c2+bc，即b2+c2-a2=-bc. cosA= A=120.,（2）由已知有 设a=( -1)k，b=( +1)k,c= k, -1 +1 , C为最大角. cosC= 最大内角C=120.,学点三 余弦定理的简单应用,在ABC中，已知b2sin2C+c2sin2B=2bccosBcosC，试判断 三角形的形状.,【分析】解决本题，可分别利用正弦定理或
5、余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解.,【解析】解法一: 由正弦定理 , R为ABC外接圆的半径,将原式化为8R2sin2Bsin2C=8R2 sinBsinCcosBcosC. sinBsinC0,sinBsinC=cosBcosC, 即cos(B+C)=0,B+C=90,A=90. 故ABC为直角三角形.,【评析】在利用正弦定理实施边角转化时，等式两边a,b,c及角的正弦值的次数必须相同，否则不能相互转化.,解法二:将已知等式变为 b2(1-cos2C)+c2(1-cos2B)=2bccosBcosC. 也即b2+c2=a2. 故ABC为直角三角形.,已知方程x2-(bcosA)x+ac
6、osB=0的两根之积等于两根之和，a,b为ABC的两边，A，B为两内角，试判断这个三角形的形状.,解：设方程的两根为x1,x2,由韦达定理知，x1+x2=bcosA,x1x2=acosB. 依题意得bcosA=acosB, b2+c2-a2=a2+c2-b2, 即2b2=2a2,即a=b. ABC是等腰三角形.,学点四 综合应用,【解析】在BAD中，由余弦定 理，得 BA2=BD2+AD2-2BD ADcosBDA. 设BD=x,则142=x2+102-210xcos60, x2-10x-96=0, x1=16,x2=-6(舍去). 即BD=16.,如图1-2-1所示的四边形ABCD中，已知A
7、DCD,AD=10, AB=14,BDA=60,BCD=135，求BC的长.,图1-2-1,【分析】在BCD中，由题设知， 只要求出BD，则由正弦定理，BC即可 求出.,【评析】在解三角形时，有些较复杂的问题常常需要将正弦定理、余弦定理交替使用，尽管有时不是直接求出结果，但为了过渡，也是很有必要的.本例先求BD，即起这个作用，至于先用哪个定理，则要具体问题具体分析，想一想，本例如果先用正弦定理，会有什么结果？对解题是否合适？,在BDC中，由正弦定理，得 , .,解：（1）将原方程组消去y后，化为 x2-2kx+3k2-7k+3=0. 由=4k2-4(3k2-7k+3)0,得2k2-7k+30,
8、解之得 k3. kZ，k=1,2,3.,(2)ABC为钝角三角形， 0sinC1. 因此取k=1，得sinC= . C=45或135. 由（c-b）sin2A+bsin2B=csin2C. 结合正弦定理：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC, 得（c-b）a2+b3-c3=0. (c-b)(a2-c2-b2-bc)=0. 若c=b,则B=45或135，与ABC是钝角三角形矛盾, a2-c2-b2-bc=0, cosA=- . A=120,C=45,C=135(舍去), B=180-120-45=15.,学点五 与平面向量的综合,已知函数f(x)=mn,其中m=(sinx+cos
9、x, cosx), n=(cosx-sinx,2sinx),0,且f(x)的图象的两个相邻对称轴间的距离不小于 . (1)求的取值范围; (2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,a= ,b+c=3, 当最大时,f(A)=1,求ABC的面积.,【分析】本题考查向量的坐标运算法则、三角函数式的变形和三角函数的性质以及解三角形的能力.,【解析】,【评析】简单的三角恒等变换是解决三角函数问题的重要手段，掌握三角函数的性质是正确解答的关键；正、余弦定理是解三角形的基本定理，将已知条件转化为关于边和角的方程（组）是解题的有效途径.平面向量与三角函数、解三角形等结合的问题，是高考命题的热点.,
10、解：,应用余弦定理应注意什么？ （1）余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具. （2）余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例. （3）在余弦定理中，每一个等式均含有四个量，利用方程的观点，可以知三求一. （4）运用余弦定理时，因为已知三边求角，或已知两边及夹角求另一边，由三角形全等的判定定理知，三角形是确定的，所以解也是唯一的.,1.余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，是解三角形的重要工具，余弦定理与平面几何知识、向量、三角有着密切的联系. 2.应用余弦定理要作出平面图形，结合图形去解决问题，要注意挖掘题目中的隐含条件，如圆内接四边形中的性质，通过三边之间的关系发现三角形的特点，简化解题过程，如等腰三角形、直角三角形等. 3.要注意将正弦定理、余弦定理进行有机结合，有时运用正弦定理会给运算带来方便.,4.要注意正弦定理、余弦定理的区别与联系，分清哪种类型的题目用正弦定理，哪种类型的题目用余弦定理. 5.用方程的观点去认识余弦定理，一般地，凡能用正弦定理解决的问题，也可以用余弦定理解决，但有时运算会复杂一些.,一样的软件 不一样的感觉 一样的教室 不一样的心情 一样的知识 不一样的收获,