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1、,守恒定律与微分方程建模,单位体积的物理量分布,t时刻流域上流体的总物理量为,t+t时刻的包络线所围体积为,（1）,以控制面（C.S.）为边界，第二、三项极限,联立（1）,（2）和（3）,微分形式：,讨论：,表示密度,表示浓度c,连续性方程的物理意义表示，控制体中的物理量变化由进出控制面的通量 和控制体中生成率决定的，一般有化学反应过程，方程右边不为零。,交通流模型,2013年全国大学生数学建模竞赛A题和2014年美国大学生建模竞赛A题都是交通问题,假设：公路上行驶的车辆为连续的，可以将车流看作流体,交通流关系：,研究路段有出入口,速度密度线性模型,速度-密度是线性关系，车流量达到最大时的密度
2、和速度分别被称为临界密度c,临界速度uc,流量-密度关系：,流量-速度关系,跟驰模型,适用条件：单车道，无超车,模型：,积分得：,交通流处于稳定 状态，车速为u，车距为d，密度为=1/d,一般 交通流方程的解法（特征线法）,假设存在一条曲线 且,物理意义：曲线 上密度不变，为常数 ，该曲线为特征线,对任意点 ，过改点的特征线与坐标轴x交点，可求出密度值,2014年美国大学生数学建模竞赛A 靠右行驶问题,题目： 在一些汽车靠右行驶的国家（比如美国，中国等等），多车道的高速公路常常遵循以下原则：司机必须在最右侧驾驶，除非他们正在超车，超车时必须先移到左侧车道在超车后再返回。 建立数学模型来分析这条
3、规则在低负荷和高负荷状态下的交通路况的表现。你不妨考察一下流量和安全的权衡问题,车速过高过低的限制，或者这个问题陈述中可能出现的其他因素。这条规则在提升车流量的方面是否有效？如果不是，提出能够提升车流量、安全系数或其他因素的替代品（包括完全没有这种规律）并加以分析。 在一些国家，汽车靠左形式是常态，探讨你的解决方案是否稍作修改即可适用，或者需要一些额外的需要。 最后，以上规则依赖于人的判断，如果相同规则的交通运输完全在智能系统的控制下，无论是部分网络还是嵌入使用的车辆的设计，在何种程度上会修改你前面的结果？,模型假设 ：,假设高速公路上所有汽车均沿车道做匀速直线运动，当汽车遇到车速比自己小的车
4、便进行超车。 2. 根据交通法规，高速公路上的超车现象是小概率事件。 3. 超车过程的前后两个阶段的情况相同。 4. 假设高速公路每个车道的车速限定是相同的。 5. 超车率在我们考察的整条高速公路上均匀分布。 6. 在超车过程中，除超车的车外其余汽车的平均瞬时速度保持不变。 7. 不考虑路况、天气等其它因素存在的交通隐患。,符号：,超车模型：,建立出超车持续时间T模型，即可得到,超车时间T：1）A,B车速度差的减函数；2）司机的反应延迟；3）车辆的安全距离,有效超车时间 ，,几何关系：,V-t关系式复杂，数据拟合出v-t关系,求导：,（2）,连续性方程改写为：,总流量：,因超车增加的车流量，A
5、为超车，B为被超车,结论：当交通拥挤时，超车车速和被超车车速均较小，此时超车贡献的车流量比较小；当交通流畅时，超车车速较大，此时超车贡献的车流量较大。,安全系数：,超车反应时间，一般为0.84s,当安全指数S小于平均反应时间，则两车必然发生碰撞，我们把称为安全超车阈值。定义，如果S值落在区间 0,2 ，为一次安全隐患。,安全系数,统计模拟安全系数：,规则一：超车返回原车道；规则二：超车不返回原车道 由上图可知，超车安全指数随速度差的增加而降低，符合现实情况。而且对于相同的速度差，超车规则二的超车安全指数比规则一的大，说明规则二的超车方式在相同情况下比规则一更加安全。,(1),（2）,定义： 为
6、安全超车； 不安全超车,由图1的曲线可得到，对于规则一，95%的超车安全指数对应的速度差为20km/h，对于规则二则对应的速度差为30km/h,。根据图2由对应的速度差找到最大车流量，则可以得到相应的B车车速的平均值，在两个规则下均为80km/h，则对于规则一，限速标准为：上限：100km/h，下限：60km/h；对于规则二，限速标准为：上限：110km，下限：60km/h。,高速路速度设定：,微分方程建模,研究领域：一个变量随着另一个变量变化的规律，特点是利用微元分析法，建立瞬时 变化率的表达式。,微分建模的步奏：,翻译或转化：在实际问题中有许多表示导数的词，如“速率”，“增长” 或“衰变”
7、等,2) 建立瞬时表达式：即自变量有一微小变化 时，因变量有一相应的变 化 ，根据一定的物理定律或者假设条件，建立他们之间的关系,3) 关系式中，物理量要求统一（相同的量纲）,4) 确定初边值条件：这些条件是关于系统在某一特定时刻或者边界上的信 息，独立于微分方程，用来确定有关常数。,物种模型,Malthus模型,生物种群的总数是整数，当种群数量很大时，可将种群总数看成是连续可微的。,表示t时刻种群个体的数量，r表示种群增长率,（2）,讨论： a) 时间跨度小，模型计算结果与实际有较好的吻合。 b) 当r0, 且t时，x(t) 与实际不符。,Logistic 模型：,Malthus模型缺陷在与
8、增长率为常数，没有考虑种群数量对增长率的影响,3）种群的数量受到资源的限制，达到最大值后不在增加。增长率r随着x增加 而线性减少。,Logistic模型修改Smith模型,种群的资源消耗率， 种群达到饱和时的资源消耗率,自身生存所需食物， 物种繁衍所需食物,前面模型隐含假设：,1) 自然增长率r(x)只考虑与种群的瞬时数量有关，而与过去无关,2) 系统是封闭的，没有迁出与迁入；种群 不受系统外的干扰（捕杀）,3) 不考虑种群的年龄结构,4) 不考虑偶然因素，种群的数量有初始值和模型决定,2.分布时滞模型,描述情形：t时刻种群个体的增长率不仅与 时刻的种群规模有关，而且依赖于 t时刻以前的整个历
9、史时期中种群规模的发展。,处理思想：将 的变化区间划分为小段，总增长率是各个小段作用的叠加。,例子,解得：,逐次分段计算下去,解得：,年龄结构模型,设f(t,x)是时刻t年龄为x的种群个体的分布函数。t时刻年龄为x,x+dx的种群个体数量是f(t,x)dx。研究时间段t,t+dt内种群年龄结构变化？,取dt=dx,时刻t年龄位于x-dx,x的个体数量与时刻t+dt年龄位于x,x+dx的个体数量差为,设h(x)是单位时间内年龄为x的个体死亡率，则在时间段t,t+dt内，年龄为x-dx,x的个体成长过程中死亡数量：,等式：,微分方程形式：,确定初边值条件：,a) t=0时刻年龄分布函数为,定解条件
10、：,种群总数：,平均年龄：,平均寿命：,老龄化指数：,两个种群的数学模型：,主要研究两个种群之间的相互作用关系（共生和捕食等关系）,Lotka-Volterra方程,考虑两个种群X1和X2，在t时刻的种群数为 ,增长率为,由泰勒展开,Lotka-Volterra方程：,令X1为食饵，X2为捕食者,修正捕食者与食饵关系后,2007年大学生数学建模真题,中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素
11、，这些都影响着中国人口的增长。2007年初发布的国家人口发展战略研究报告(附录1) 还做出了进一步的分析。 关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从中国人口统计年鉴上收集到的部分数据。 试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；特别要指出你们模型中的优点与不足之处。,Logistic模型求解：,拟合出,Logistic模型短期预测较好,中长期预测：,人口继续增长，但是增长率放缓，最终在2050年稳定于15.4亿,第t年年龄为x的人口数是第t-1年年龄为x-1的人口数乘以存活系数,第t年出生的人口等于各年龄段育龄妇女数k(x)f(x,t)乘以各自生育率b(x)以及总和生育率,城市化的影响：,人口城镇化对生育率的影响系数,结论：城镇化对人口数有抑制作用,