数学建模方法之一结构主义.ppt

《数学建模方法之一结构主义.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学建模方法之一结构主义.ppt（57页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、结构主义数学建模方法,孟大志 北京工业大学 Tel: (010) 69755596 13701377108,目录,一、引子：建模=引模？ 二、模型、数学与数学建模 三、结构化数学建模方法 四、结构化建模例子 五、结构主义数学建模理论 六、数学建模研究,一、引子：建模=引模？,大学生的问题：数学建模 = 数学引模 ？,一个数学建模培训教学流程： 介绍建模五步法（一节课）； 工具训练（四节课）； 讲解案例（二十节课）； 练习（十节课）,分析实际问题的系统方法？建模的一般方法？,实际或竞赛 的建模问题,课程学习与培训中的数学建模案例,类比、引用和借鉴是很有效的方法。,数学建模方法= 创造性的本质方

2、法 + 模型类比方法。,但不是唯一的：,Web中的例子,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上，每天有成千上万的多媒体文件在传输（例如，路透社每天收到网上文本文件达20万）。试建立数学模型，使得可以对这些文件进行自动分类，以便人们阅读和使用。,数学建模本质上是一个创造性的过程！ 数学建模不仅是为了竞赛，更是为了数学应用与研究！新问题不一定有借鉴的先例！,没有可引用、借鉴的案例时怎么建模？,E.A.Bender的数学模型定义： 数学模型是关于以部分现实世界为一定目标而作的抽象、简化的数学结构。,抽象什么？如何抽象？,什么是抽象：最抽象！,结构化数学建模方法： 基于创造的本质性方法。,问题：如何

3、从数学模型的基本概念出发构造方法 ？,思路：模型？+ 数学？= 数学模型？,1）社会科学模型 经济与管理科学模型、军事模型（越战）、政治模型、社会学模型等等。,1、什么是模型,这是一个通过举例或指认回答的简单问题。,二、模型、数学与数学建模,例 经济学模型： 市场模型、竞争模型、企业战略模型、股票模型、金融模型，等等。,建筑模型 ，交通模型，电路模型，服装模型 等等。 表达：建筑设计图、交通网络、电路图、服装模版等。,2）工程技术模型,各个领域或专业有自己的“模型”，称”专业模型”。共同特点：用专业理论分析，抽象出的结构，并用专业语言表示，比较直观，易于理解。,5）物理模型 基本粒子、原子模型

4、、晶体模型 、光学的衍射等等。,4）化学模型 苯环 、化学健理论、反应平衡等等；,2、模型是什么？ 从例子的共性抽象出的概念：,模型：以特定目的对事物原型抽象出结构并适当表示。,抽象出结构：不是一般概念的抽象，而是结 构的抽象；,适当的表示：使用不同知识与方法，需要不同 的语言表示。,特定目的：目的不同，关注的结构（事物的内部联系）不同；,例. 目标不同，模型不同飞机模型,目的：空气动力学研究 抽象结构：外型结构，除去内部构造；,目的：机舱设计 抽象结构：内部空间结构，除去外部结构；,不同目的关注的内容不同，抽象的结构不同。,表示：专业图形和航空语言表示。,例. 地图结构的抽象,概念的抽象（不

5、是模型！）：楼群、居住小区、公共场所与设施、商区、政府机关、河流、湖泊、公交线路、各级公路、快速路、高速路、立交桥等等。,目的：城市交通研究,抽象出结构：小区、商区、立交桥、道路、交叉路口等概念的关联和区分忽略细部特征、概念的部分内涵、人口结构等等。,模型表示：城市交通地图（成都）,3、核心是结构,什么是结构？,例 图书馆的藏书结构,字符集：中文字、英文字母、数字等等各种字符的 全体。字符串的集合。,书、文章、多媒体文本等形成子集族集合的文本结构。,文本按知识类型分类，形成不同层次的子集族 国际图书分类法图书馆的藏书结构专业模型。,结构是核心： 相同元素的集合，不同结构原型的意义不同。,例 语

6、言,下雨天 留客天 留我不留,下雨天留客 天留我不留,语言的结构不同，含义不同（数据同）。,插入一个给大家解烦、解困的例子！,例.语言的不同结构产生不同的文学信息,唐诗 清明时节雨纷纷 路上行人欲断魂 借问酒家何处有 牧童遥指杏花村,宋词 清明时节雨 纷纷路上行人 欲断魂 借问酒家何处 有牧童 遥指杏花村,清明时节 雨纷纷 路上 行人（欲断魂）： 借问酒家何处有？ 牧童 （遥指）: 杏花村。,时间 环境 地点 人物 语言 另人物 动作 语言,元曲（剧本）,抽象出结构:,七言唐诗 ,比较规整,适于言志“诗言志”,宋词 ,错落有序,用语活跃,适于抒情“词抒情”,元曲 时间、地点、 情景、人物、 动

7、作、言语 等。用语白话，易懂。,百姓故事,结构的不同表示可以表现出文学基调不同：,用音高表示：,唏 唏 唏 唏,唏啦嫂发米来斗,嫂 啦 米 啦 嫂 米,规则,变化,模型： 分析原型的结构， 抽象并表示结构, 结构是核心！,结构主义学派（ Bourbaki ）： 数学 = 集合 + 结构,4、数学与普适性,1）、数学是什么？,这是一个没有统一答案的问题。,2）、数学的普适性,数学研究的内容决定了数学的普适性： 数学是研究结构的，因此数学是普适的！,3）模型的抽象度差别,科学的依赖序关系与抽象度,这种单调的依赖关系由科学领域的物质组成决定。,每门学科都有各自的模型， 抽象度也是依次降低。,抽象度低

8、的模型易于表达； 抽象度高的模型有普遍性并能使用有力的抽象分析工具； 数学模型是抽象度最高的模型，因此有普适性。,三、结构化数学建模概念,模型原型结构的适当表示； 数学：集合+结构，数学是研究结构的； 数学模型：原型结构的数学表示。 如何建模？ 把两个表示联系起来同构方法。,3）推导模型公式 完善模型的假设，并表示成适定的形式。,4）求解模型,5）回答问题,2）选择建模方法 利用经验、技巧和文献选择解决问题的一般性求解方法。,1）提出问题,一般建模程序，Mark M. Meerschaert的著作“Mathematical Modeling”中，提出数学建模的五步法,1、五步法,以上方法并没有

9、解决抽象什么、怎么抽象，学生在没有经验的条件下往往束手无策。,通常的教学重点在于讲案例，学生没有本质的建模方法的情况下，于是“荐模”和“引模”成为主要方法。,结构化建模方法不是排斥“五步法”，而是充实“第二、三步”的具体可行的方法。,结构化建模基于结构主义， 结构化建模即是思想也是方法： 一切原型都有结构， 模型 = 抽象出原型结构的适当表示； 数学 = 集合 + 结构； 数学模型 = 原型结构的数学表示； 数学建模 = 分析原型的结构，建立与数学结构的对应（同构）并用数学语言表示。,2、结构化建模方法,3、结构化数学建模程序,数学语言表示的结构,数学模型,专业语言描述结构,专业模型,分析出原

10、型的结构，并用数学语言表示的模型。,一般流程：,有些问题专业模型难，有些问题数学模型难。,对原型确定目的,Web中的数学建模例子,网络已经成为现代人的一种生活方式。在网上，每天有成千上万的多媒体文件在传输（例如，路透社每天收到网上文本文件达20万）。试建立数学模型，使得可以对这些文件进行自动分类，以便人们阅读和使用。,四、结构化建模例子,在线文本自动分析建模,原型的目标： 在线电子文本的计算机自动分类与辅助理解。 理解基于分类，分类是理解的前提。,不同的分类目的有不同的分类模型：,理解性分类 基于语意、概念层、主题层的细分类，目的是分析和理解。,、建立专业模型,检索性分类 国际图书分类法，目的

11、是查询；,原型的结构分析,文本章节节段落 语意团句或短语词字符,文本的结构：,原型有两层结构：文本的结构； 文本集合的结构。,分析：文本集合的结构是原型对应目的的主要结构； 文本集合的结构依赖于文本的结构（子结构）； 文本结构的表示应该利于文本集合分类目的。,文本集的结构分析：,联想到数学中代数结构：集合中定义代数运算，加法和数乘，元素间的运算关系 结构相同！,两个文本的合并还是文本 一个文本的倍数仍然是文本,分析文本集的结构，首先是文本之间的相互关系：,、同构分析（数学结构与原型结构的联系）,同构： 此时问题的原型的结构直接和数学结构联系起来！,文本的集合应该有一个“线性空间”的结构； 文本

12、的分类是在线性空间中的“向量的分类”！,对于线性代数的结构有清楚的理解和关注，则容易发现：,因此，每个文本对应地定义一个文本向量，用于分类，分量如何定义？,显然，分量是“分类特征”的具体表示：从关键词和检索中，容易想到基于词频的，可用于区分文本的量化的表示！,数学模型：向量空间的结构+词频特征表示。,、同构表示与数学建模,建立原型结构的数学表示则建立了数学模型。,文本集合同构于线性空间，文本的分类是线性空间中向量的分类。,根据专业知识，词频及具有分类的特征信息，信息熵！因此可以仿照熵的定义：,这里熵的形式，一来用类似信息熵的定义，符合“分类”的特征信息的概念；二来，词频的作用大于词在文本集合中

13、出现的作用。,假设TF(w(i),dj)是词w(i)在文本dj中出现的次数，|D|是D中文本总数，DF(w(i)是指在D中至少出现一次w(i)的文本数。则每一个文本djD，和一个特征词w(i）存在一量：,形式化：,记d(i)j =TFIDF(w(i),dj) ，则每一个文本djD，存在一个分量适当排序的文本向量。,文本向量空间模型与文本向量:,问题的目标：文本集的分类,建模过程,文本自动分类: 理解文本的类属性,子空间分类. 文本自动聚类: 发现文本集合中的新模式,新概念.,文本向量: 由文本的实意词的特征值或特征模式为分量的向量. 以信息熵的形式构造.,特征子空间: 具有某种共同意义的分量组

14、成的子空间.,文本向量空间: 全部文本向量的高维线性空间.,应用事例：思想史研究中，“五四” 运动的讨论的主要思想是什么？,发现在“自由主义”的特征词所在的子空间中，文本的投影数量最大！,高维问题； 训练集的数据量大； 理解性细分类的精度低。,主要数学问题和某些进一步研究课题：,1、SVM的微分几何方法；,2、词频分布特征的研究，用分布特征分类和理解；,3、添加语意的分类模型；,4、大规模数据挖掘方法寻找分类模式与规则。,例题小结： 本题在向学生展示时，几乎没有人有任何思路，主要是未见过类似的问题。这是因为“引模”成为习惯的思路。,如果有结构化建模的理念，而且熟悉线性代数，就比较容易通过一定的

15、思考产生模型的。,五、结构主义数学建模理论,结构主义建模建立在两个理论的基础之上： 索绪尔和皮亚杰的哲学的结构主义； 布尔巴基的结构主义数学。,1、结构主义 结构主义是二十世纪影响重大的变革性思潮。在人文科学中的创始人是瑞士语言学家索绪尔。(Ferdinanddesau ssure,18571913)，他的普通语言学教程被称为结构主义的圣经 。 此后 有德国哲学家卡西尔，美国符号学家皮尔飘斯，瑞士心理学家皮亚杰。,结构主义对结构的定义,结构是一个由种种转换规律组成的体系，包括三个特性： 整体性、转换性和自身调整性； 结构应该是可以形式化（公式化）的。,皮亚杰在结构主义一书给结构一个“有用的定义

16、”：,狄多涅指出，布尔巴基的基本指导思想是结构主义 他们用公理化的观点对整个数学加以整理，发现数学分支之间的区别在于结构不同,数学=集合+结构， 数学的基本结构：代数结构、序结构和拓扑结构,数学中，最早作为结构研究的是伽罗华（Calois）的群论，它影响了布尔巴基的结构主义数学。,2、布尔巴基的结构主义数学,以上三种结构叫做母结构，由此可以导出各种子结构，还可有各种交叉，形成分支结构，如拓扑群是群结构上再定义拓扑结构的一门学科希尔伯特空间是线性空间添加内积型拓扑(拓扑结构)构成的数学系统巴拿赫空间即完备、赋范、线性空间，也是一种交叉而形成的分支结构,数学原本贯穿了这一思想,3、运算是数学结构中

17、的转换,集合中的数学运算就是集合成分间的转换，运算满足的规律，就是具有结构的集合转换的法则，从而使转换具有运算的性质。,在一个集合的元素间引进满足一定条件的运算或变换，就形成了结构。,结构的表达就是模型，用专业术语表达就是专业模型，用数学语言表达就是数学模型。,不同集合之间若结构相同，则存在“同构“对应，因此将专业模型的表达与相同结构的数学表达之间建立同构，就是数学建模。,结构的可形式化特性，决定了数学模型是普遍存在的，数学建模是普遍适用的！,结构的整体性、转化性（运算作为转化）和自协调性，帮助对于原型结构的分析。,4、结构主义建模方法,六、数学建模研究,数学建模的方法具有广阔的研究前景，从结构主义建模的观点出发，就有以下三类问题值得研究：,1、数学方法的结构分析； 2、不同应用领域的原型所具有的结构的分析方法和主要结构的分类； 3、原型结构和数学结构之间建立同构的方法。,将结构主义方法融入数学建模教学也是十分值得研究的。,结构主义建模是思路、是理念、更是方法。,希望诸位老师批评、指正！ 谢谢！,世界上一切事物都有结构，因此研究抽象结构的科学数学必然到处有用。,Watson and Crick,科学序与物质世界的形成,科学的依存关系：,社会科学由生命体组成,