数学建模讲座之十二数学建模漫谈.ppt

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1、2019/2/23,数学建模,数学建模漫谈,高义,2019/2/23,数学建模,宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。,著名数学家华罗庚教授语,2019/2/23,数学建模,生 活 离 不 开 数 学,1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造，要分析这个美丽结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网中的数学概念是惊人的：半径、弦、平行线段、三角形、全等对应角、对数螺线、悬链线和无理数e,2、蜂巢,

2、消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格,2019/2/23,数学建模,3、在矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形,2019/2/23,数学建模,社 会 离 不 开 数 学,2019/2/23,数学建模,在开普勒以后的一百年后，德国天文学家提出在行星的轨道间缺一颗行星，1781年，德国天文学家威廉赫歇发现了这颗新星，这就是著名的天王星。 19世纪中叶，法国天文学家勒维耶（1811-1877）和英国天文学家亚当斯（1819-1892），分别独立计算出一颗新行星，命名为海王星。这些行星运动的规律、以及新行星的发现，都是数学方法的光辉应用的结果。,2019/2/23,数学

3、建模,已故的美国科学院院士 Eric Temple Bell(贝尔) 于 1951年写的一本书的书名： Mathematics: Queen and Servant of Science 该书主要是为非数学领域的人士和学生写的, 介绍纯粹和应用数学的各个方面, 更着重在说明数学科学的极端重要性 (实际上这是他 1931 年写的 The Queen of the Sciences (科学的王后) 和1937 年写的 The Handmaiden of the Sciences (科学的女仆) 这两本通俗数学论著的合一修订版.,2019/2/23,数学建模,马克思教导我们：,一门学科只有成功地运用

4、数学时，才算达到了完善的地步！,2019/2/23,数学建模,来自31个省区市以及香港的1023所高校12846个队的38000多名大学生参赛。竞赛共评出甲组一等奖200个，二等奖716个，乙组一等奖53个，二等奖172个。,2008年的竞赛情况,2019/2/23,数学建模,2009年的竞赛情况,共有33个省(市、自治区，包括香港特区和澳门特区)的1137所院校、15042个参赛队，共4万5千余名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的一年。共评出高教社杯获得者2队(本科组、专科组各1队)，Matlab创新奖获得者2队(本科组、专科组各1队)，本科一等奖216队，本科二等奖820

5、队，专科一等奖59队，专科二等奖174队。,2019/2/23,数学建模,2010年的竞赛情况,本次竞赛共有来自全国33个省（市、自治区，包括香港和澳门）以及新加坡和澳大利亚的1197所高校17317个队的五万多名大学生参加。首次有国外的大学生参赛，为竞赛走向国际化迈出了第一步。通过专家评阅，共评选出1372队获全国奖，其中本科组一等奖210队，二等奖907队，专科组一等奖51队，二等奖204队，一、二等奖分别占参赛总数的1.5%和6.5%。,2019/2/23,数学建模,2019/2/23,数学建模,2019/2/23,数学建模,2019/2/23,数学建模,2019/2/23,数学建模,数

6、学建模的历史渊源,（一）万物皆数,毕达哥拉斯 (Pythagoras,572 BC?497 BC?) 古希腊数学家、哲学家、天文学家、 音乐家、教育家。,无论是解说外在物质世界，还是描写 内在精神世界，都不能没有数学!,2019/2/23,数学建模,最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。,毕达哥拉斯定理勾股定理,数论,毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。,2019/2/23,数学建模,在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几

7、何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，即服从数的关系。,2019/2/23,数学建模,完全数,所有真因子之和等于其本身的自然数。,最小的完全数是6（6=1+2+3），下一个是28（28=1+2+4+7+14），496，8128，33550336，8589869056，,亲和数,一个数是另一个数的真因数之和的一对数。,如（220，284）：1+2+4+5+10+11+20+22

8、+44+55+110=284,1+2+4+71+142=220；,2019/2/23,数学建模,(1184，1210)(1866,Paganini);,(17296，18416)(1636,Fermat);,(9363584，9437056);,音乐,那些质量等于某一把锤子重的 的锤子都能产生和谐的声响；,2019/2/23,数学建模,他曾证明用三条弦发出某一个乐音，以及它的 第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之比 为6:4:3。,2019/2/23,数学建模,（二）实数连续统概念,（三）费马大定理 一个困惑了世间智者358年的谜,一条实直线的数学模型,2019/2/23,数学建模,怀尔斯

9、(Andrew Wiles,1953年4月11日-) 是当代著名的英国数学家。,1996年：当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖； 获欧洲的奥斯特洛夫斯基奖和瑞典科学院舍克奖 获法国的费马奖； 获沃尔夫奖。 1997年：获美国数学会科尔奖； 获得1908年沃尔夫斯科尔（Wolfskehl）为解决费马猜想 而设置的 10万马克奖金。 1998年：获国际数学家大会颁发的特别贡献奖。,2019/2/23,数学建模,证明费马定理的历程： 1977年，与科茨(Coates)共同证明了椭圆曲线中最重要的猜想伯奇斯温耐顿代尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想的特殊情形(即对于具有复

10、数乘法的椭圆曲线)； 1984年和马祖尔(Mazur)一起证明了岩泽理论中的主猜想； 1994年，在此前工作的基础上，通过证明半稳定的椭圆曲线的谷山志村韦伊猜想，从而完全证明了费马最后定理。,2019/2/23,数学建模,艾萨克牛顿(Isaac Newton 1642.12.25-1727.3.20) 英国物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家,苹果为什么要掉在地上？,？?,（四）万有引力定律以及微积分的产生,2019/2/23,数学建模,从实际问题到数学模型 几个历史性问题 利益博弈 几项智力游戏,2019/2/23,数学建模,例1 孙子算经中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，上有三十五

11、头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,1几个历史性问题,如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话，脚就由94只变成了47只。,1.1 丢番图问题,每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，,每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数,鸡的数量就是,（只）。,（只）；,2019/2/23,数学建模,例2 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。,解 设大马，小马，马仔分别为,匹，应有,分别消去 和 可得,这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。,2019/2/23,数学建模,可见，问题共有七组解。

12、,都是3的倍数，故可能取值如下。,返回,2019/2/23,数学建模,例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴分桃”的问题。,五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这堆桃子至少要有多少个。,设这堆桃子共有 个，第五只猴子离开之后剩下 个桃子。,第一只猴子连吃带拿，共得到 个桃子；剩下,（

13、个）。,2019/2/23,数学建模,第二只猴子共得到 个桃子；剩下的个数, 第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是,于是，有,，,故必有,是,的倍数且,是,的倍数。,最小的可能是,41020，,最小的可能是,43121。,2019/2/23,数学建模,在地图上，任何两个相邻的国家应该着上不同的颜。人们发现，每幅地图上不管有多少个国家，只用四种颜色就可以。,1.2 四色问题,1970年至1976年，美国伊利诺大学哈肯和阿佩尔合作，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。,这个问题最早是由毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里大约于18

14、52年提出来的。1872年，伦敦数学学会上提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。,1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的海伍德证明了一个较弱的命题五色定理。,四色问题的研究，是小问题引出大模型的实例。计算机参与证明的合法地位也由此得到了认可。,2019/2/23,数学建模,1.3 哥尼斯堡七桥,1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。,布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个

15、小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。,有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？,2019/2/23,数学建模,哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。,2019/2/23,数学建模,作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点,欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的

16、长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。,现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？,类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。,图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。,2019/2/23,数学建模,战国时期，我国出现一位杰出的军事家孙膑。,2 利益博奕,起初，孙膑在魏国作官，由于同僚庞涓忌贤妒能百般迫害，孙膑几乎丧命于魏国。后来被齐过使臣秘密救出送到了齐国引见给齐国的大将军田忌。,齐王酷爱赛马，田忌多次与国王赌输赢，屡赌屡输。一次赛马时，孙膑随田忌来到赛

17、马场。孙膑了解到，大家的马按奔跑的速度分为上中下三等，等次不同装饰不同，各家的马依等次比赛，比赛为三赛二胜制。,比赛前田忌按照孙膑的主意，第一场，用上等马鞍将下等马装饰起来，冒充上等马， 与齐王的上等马比赛。第二场，田忌用自己的上等马与国王的中等马比赛，赢了第二场。 关键的第三场，田忌的中等马和国王的下等马比赛，田忌的马略胜了一筹。结果二比一，田忌赢了国王。,后来，齐威王任命孙膑为齐国军师，取得了无数以少胜多、以弱制强的辉煌战例。,2.1 田忌赛马,即便是在运筹学理论非常完善了的今天，田忌赛马的故事仍不失为经典范例。,2019/2/23,数学建模,假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两

18、个出售同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？,显然，在,不难预见，绿色摊位也愿意左移。,处各设一个摊位最合理。,和,但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？,如果它们都在,附近的位置的话，哪个摊位还会有偏移的,打算呢？,2.2 纳什均衡,一. 海滩占位,2019/2/23,数学建模,有互不熟悉的两人在公共场所斗殴，将接受处罚。,若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款200元；若两人均不投案，则只能按普通滋事各罚款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承认，仍可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款400元。,我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。

19、假若乙不投案，甲也不投案将罚款100元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案的话，甲不投案将被罚款400元，投案则只罚款200元。,甲,乙,2.3. 囚徒困惑,2019/2/23,数学建模,可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投案的。,出于同样的原因，乙也会选择投案。,结果，甲乙二人均被罚款200元，虽然他们都知道还有各罚100元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。,即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有改变态度的愿望。,这一结果的出现，被称为纳什均衡。,约翰F.Nash(纳什)是著名的美国数学家，1928年生，1950年获普林斯顿大学博士学位1994年获诺贝尔经济

20、学奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。,2019/2/23,数学建模,3 海盗分金,假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗1会制定出怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。,5名海盗抢到了100块金币（大小完全相同），他们准备采用以下的方法分赃。,抽签为每人确定1、2、3、4、5这五个不同的序号，先由抽到1的人提出自己的分赃方案，如果他的方案被超过一半人赞同，那么就按照他的意见分赃；但是如果他的意见没有得到过半数人赞同的话，他将被扔进大海去喂鲨鱼。,当海盗1被投入大海之后，由序号是2的人重新制定分赃方案。如果海盗2的方案在现有海盗中超过半数同意便执行，否则也将海盗2投入大海。依次类推。

21、,2019/2/23,数学建模,如果船上只剩下了海盗4和海盗5两个人的话，根据规则4号海盗只能提出0:100 的分赃方案，5号独得全部，就不必反对了。四号才可以活命。,要想弄清楚海盗1应该制定怎样的分赃方案，还是从假若只剩下两个人时的情况说起。,海盗3 能够预见到自己被投海后将发生的事情，他应该懂得：自己制定的分赃方案只要能给海盗4一块钱，海盗4就会满足的。于是，3号提出的方案一定是99:1:0 。让5号白白去投反对票好了。,海盗2要想避免被扔下海，它必须争取两张赞同票。但是，即便分给海盗3全部100块中的98块金币，贪婪的海盗3也不会赞成，可以争取的两张赞同票只能是海盗4和海盗5了。,其实，

22、只要共拿出3块金币分给海盗4和海盗5，就可以用最小的成本获得平安。于是，海盗2的方案就选择了97:0:2:1。,2019/2/23,数学建模,海盗1不能指望任何方案能使海盗2满意，它可以制定出94 : 0 : 1 : 3 : 2的分赃方案。那样，它可以获得三张赞成票。,现在回到问题的开始。,然而，视钱如命的海盗1不会浪费哪怕是一枚金币，他实际拿出来的分赃方案将是 97 : 0 : 1 : 0 : 2。,海盗2号和海盗4当然会反对了，但是海盗3和海盗5都不反对，因为这已经是他们最好的收益了。,2019/2/23,数学建模,4 棋盘麦粒 梵塔 九连环,国王打算奖赏国际象棋的发明人西塔，问他想要什么

23、。,印度有一个古老的传说：舍罕王厌倦了皇宫单调的生活，一些大臣千方百计地寻找种种新奇的玩艺儿帮他解闷。,西塔献上一种新发明的玩具。他用木头雕刻出王、后、车、马、相、兵共三十二个棋子，一半被染成黑色。画出的64个小方格，在不相邻的一半方格内图上黑色。,梵塔说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，直至摆完64个格子。,国王觉得微不足道，告诉侍者计算一下粒数，下午就请西塔拿着口袋来装麦子 。,2019/2/23,数学建模,可是，下午西塔并没有领奖赏他的麦子，因为宫廷总管还没有算出来。直到三天后，总管告诉国王说：“

24、西塔要的麦子太多，把全国所有的麦子都给他也不够！”,西塔要求得到的麦粒到底有多少呢?,人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!,2019/2/23,数学建模,在印度北部的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，于其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。,不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。,把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，这一共需要移动多少次金片呢？,2019/2/23,数学建模,移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次

25、， 第64片需移动金片共有2的63次方次之多。,假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢? 一年大约有31556926秒，计算表明，移完这些金片需要五千八百多亿年!,不管把哪一片金箔移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片的次数增加一倍。,借助于计算机计算出了结果，全部次数为 18446744073709551615次。,这和“麦粒问题“的计算结果是完全相同的!,2019/2/23,数学建模,5 猴子过河,有三只母猴各带一只小猴子，准备利用一条小船渡河。试设计渡河方案。注意：,（1）每只猴子都会划船，但船上每次只能承载两只猴子（不论大猴还是小猴）； （2）每只小猴子在接触到其它母猴的时候必须有

26、自己的母亲在场，否则将被伤害。,将三个大猴分别记为A，B，C， 对应的三个小猴子分别记为a，b，c。,A,B,C,a,b,c,2019/2/23,数学建模,首先过河的可以是Aa（Bb、Cc同理）或ab（bc、ac同理），但最先渡河的不能是AB（BC、AC同理）。,总之，当船第一次回到北岸时，留在南岸的是a。,第二次过河的只有一种可能，就是bc，其它方案都不可行。再由c将船送回北岸。,第三次过河的只能是AB，其它方案都不可行。,A,B,C,c,a,b,现在的问题是，由谁将船送回北岸？,北岸,南岸,只能由Aa（或Bb）送船 ！,2019/2/23,数学建模,1.4.6 猜帽子,某老师有三个非常聪明

27、的学生，为考察其中那个学生最聪明，老师展示了三黑二白一共有五顶帽子。要求学生闭上眼睛后，给每位学生戴上一顶帽子。然后，让他们同时睁开眼睛，通过观察别人来断定自己头上帽子的颜色。,结果，三个学生互相看了看，都稍稍犹豫一下，同时说自己戴的是黑色帽子。试说明理由。,2019/2/23,数学建模,答案：事先，三个学生就都可以想到，老师不可能用上两个白帽子。否则，第三个学生可以毫不犹豫地断定自己头上戴的是黑帽子，这显然不公平。,为此，只要看到一个同学戴的是白帽子的话，就可以说自己头上的帽子是黑色了。这一点，相信其他学生也清楚。,但是，在睁开眼睛的一瞬间，每一位同学都注意到，另两个同学没有马上做出回答，这

28、说明什么？,充分证明了自己戴的必然不是白色帽子（其实已经断定所有人带的都是黑色帽子）！,2019/2/23,数学建模,什么是数学模型,一般地说，数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。,2019/2/23,数学建模,数学模型的分类,2019/2/23,数学建模,1.了解问题的实际背景，明确建模目的，收集掌握必要的数据资料。 2.在明确建模目的，掌握必要资料的基础上，通过对资料的分析计 算， 找出起主要作用的因素，经必要的精炼、简化，提出若干符合客观实际的假设。 3.在所作假设的基础上，

29、利用适当的数学工具去刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构 即建立数学模型。 4.模型求解。 5.模型的分析与检验。,数学建模的一般步骤,2019/2/23,数学建模,用 x 表示船速，y 表示水速，列出方程：,答：船速每小时20千米/小时.,甲乙两地相距750千米，船从甲到乙顺水航行需30小时，从乙到甲逆水航行需50小时，问船的速度是多少?,x =20 y =5,初等代数中的数学模型 “航行问题”,一些简单实例,2019/2/23,数学建模,航行问题建立数学模型的基本步骤,作出简化假设（船速、水速为常数）；,用符号表示有关量（x, y表示船速和水速）；,用物理定律（匀速运动的距离等于速度乘

30、以 时间）列出数学式子（二元一次方程）；,求解得到数学解答（x=20, y=5）；,回答原问题（船速每小时20千米/小时）。,2019/2/23,数学建模,崖高的估算,假如你站在崖顶且身上带着一只具有跑表功 能的计算器，你也许会出于好奇心想用扔下 一块石头听回声的方法来估计山崖的高度， 假定你能准确地测定时间，你又怎样来推算 山崖的高度呢，请你分析一下这一问题。,2019/2/23,数学建模,方法一,我学过微积分，我可以做 得更好，呵呵。,2019/2/23,数学建模,令k=K/m，解得,代入初始条件 v(0)=0，得c=g/k，故有,再积分一次，得：,2019/2/23,数学建模,若设k=0

31、.05并仍设 t=4秒，则可求 得h73.6米。,听到回声再按跑表，计算得到的时间中包含了 反应时间,进一步深入考虑,不妨设平均反应时间 为0.1秒 ，假如仍 设t=4秒，扣除反应时间后应 为3.9秒，代入 式，求得h69.9米。,多测几次，取平均值,再一步深入考虑,2019/2/23,数学建模,2019/2/23,数学建模,数学建模示例,椅子能在“不平”的地面上放稳吗,问题分析,模型假设,通常 三只脚着地,放稳 四只脚着地,四条腿一样长，椅脚与地面点接触，四脚连线呈正方形;,地面高度连续变化，可视为数学上的连续面;,地面相对平坦，使椅子在任意位置至少三只脚同时着地。,2019/2/23,数学

32、建模,模型构成,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,椅子位置,利用正方形(椅脚连线)的对称性,用 (对角线与 x 轴的夹角)表示椅子位置,四只脚着地,距离是的函数,四个距离(四只脚),A,C 两脚与地面距离之和 f (),B,D 两脚与地面距离之和 g (),两个距离,椅脚与地面距离为零,正方形ABCD 绕O点旋转,正方形对称性,2019/2/23,数学建模,用数学语言把椅子位置和四只脚着地的关系表示出来,f( ) , g ( )是连续数,对任意, f ( ), g ( )至少一个为0,数学问题,已知： f ( ) , g ( )是连续函数 ; 对任意， f ( ) g ( )=0

33、 ; 且 g (0)=0， f (0) 0. 证明：存在0，使 f (0) = g (0) = 0.,模型构成,地面为连续曲面,椅子在任意位置至少三只脚着地,2019/2/23,数学建模,模型求解,给出一种简单、粗糙的证明方法,将椅子旋转900，对角线AC和BD互换。 由g(0)=0， f(0) 0 ，知g(/2)0 ，f(/2)=0 . 令h()= f()g(), 则h(0)0和h(/2)0. 由 f, g的连续性知 h为连续函数, 据连续函数的基本性质, 必存在0 , 使h(0)=0, 即f(0) = g(0) . 因为f() g()=0, 所以f(0) = g(0) = 0.,评注和思考,建模的关键 ,和 f(), g()的确定,