数学思想方法及其教学设计.ppt

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1、数学思想方法及其教学设计,邵光华 宁波大学教师教育学院,国培讲座,一、数学思想方法释义 二 、数学思想方法的教育意义 三、数学家思想方法简介 四、突出数学思想方法的教学设计 五、数学教育前沿展望,一、数学思想方法释义 数学思想 数学方法 数学思想方法,1 数学思想的含义 现代汉语中，思想解释为客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的结果 辞海称思想为理性认识 中国大百科全书认为，思想是相对于感性认识的理性认识结果 可见，思想是认识的高级阶段，是事物本质的、抽象的、概括的认识 由此推演，数学思想应是数学中的理性认识，是数学中高度抽象、概括的内容，是从具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升

2、的数学观点，它既蕴藏于数学知识内容之中，是数学知识的本质，又隐含于运用数学理论分析、处理和解决问题的过程之中 数学思想既可以“泛指某些有重大意义的、内容比较丰富、体系相当完整的数学成果”，如微积分思想、概率统计思想等，又包括对数学的起源与发展、数学的本质和特征、数学内部各分支各体系之间对立统一关系、数学与现实世界的关系及地位作用的认识，如常量与变量之间的辩证关系的认识等,2 数学方法的含义 方法是指人们为了达到某种目的而采取的手段、途径和行为方式中所包含的可操作的规则或模式，具有程序性、规则性、可操作性、模式性、指向性等特征 方法因问题而生，因能解决问题而存 数学方法是指在数学地提出问题、研究

3、问题和解决问题（包括数学内部问题和实际问题）的过程中，所采用的各种手段或途径,数学方法的层次 第一层次是基本和重大的数学思想方法，如模型化方法、微积分方法、概率统计方法、拓扑方法、计算方法等； 第二层次是与一般科学方法相应的数学方法，如类比联想、分析综合、归纳演绎等； 第三层次是数学中的特有方法，如数学表示、数学等价、数形转换等； 第四层次是中学数学中的解题方法和技巧,将数学方法分为宏观的和微观的 宏观的数学方法包括：模型方法，变换方法，对称方法，无穷小方法，公理化方法，结构方法，实验方法 微观的且在中学数学中常用的基本数学方法大致可以分为以下三类： (1)逻辑学中的方法例如分析法(包括逆证法

4、)、综合法、反证法、归纳法、穷举法(要求分类讨论)等这些方法既要遵从逻辑学中的基本规律和法则，又因运用于数学之中而具有数学的特色 (2)数学中的一般方法例如建模法、消元法、降次法、代入法、图象法(也称坐标法代数中常称图象法等这些方法极为重要，应用也很广泛 (3)数学中的特殊方法例如配方法、待定系数法、加减法、公式法、换元法(也称之为中间变量法)、拆项补项法(含有添加辅助元素实现化归的数学思想)、因式分解诸方法以及平行移动法、翻折法等这些方法在解决某些数学问题时起着重要作用，不可等闲视之,3数学思想与方法的关系 数学思想具有概括性和普遍性，而数学方法则具有操作性和具体性； 数学思想是内隐的，而数

5、学方法是外显的； 数学思想比数学方法更深刻、更抽象地反映数学对象间的内在关系，是数学方法的进一步的概括和升华； 如果把数学思想看作建筑的一张蓝图，那么数学方法就相当于建筑施工的手段 数学思想和数学方法又具有相对性同一个数学成就，当人们用于解决问题时，注重它的操作意义时，可能称之为方法；当人们评价其在数学体系中的价值和意义时，可能称之为思想 数学思想方法,二 、数学思想方法的教育意义 数学的逻辑结构的一个特殊的和最重要的要素就是数学思想，整个数学科学就是建立在这些思想的基础上，并按照这些思想发展起来的（例如，数学公理体系的思想，集合论思想等等）数学的各种方法是数学最重要的部分 弗利德曼,读一段文

6、字，有一个段落大意，读一篇课文，有一个中心思想，同样，一门学科也有一个大意和中心思想，如解析几何的中心思想，这种思想在意义上如同课文的中心思想，是建立在这门学科内容之上的，蕴涵在内容之中，经人们由内容精练概括出来的，而高于内容的东西数学思想的一个层面就是这种思想,1米山国藏数学的精神思想和方法 无论对于科学的工作者、技术人员，还是数学教育工作者，最重要的是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的 米山国藏,三、数学家思想方法简介,数学中的精神 将数学处理问题的一般思维活动称为数学的精神，概括了七种主要的数学精神活动： （1）应用化的精神， （2）扩张化、一般化的精神， （3）组织化、系统

7、化的精神， （4）致力于发明、发现的精神， （5）统一建设的精神， （6）严密化的精神， （7）思想经济化的精神,重要的数学思想 （1）“数学的本质在于思考充分自由”的思想， （2）极限的思想， （3）构成“不定义的术语组”与“不证明的命题组”的思想 （4）集合与群的思想， （5）把有限长看作无限长的思想， （6）把曲线看作直线的思想， （7）使得特异几何、特异数学、特异运算能够出现的思想， （8）二维空间、四维空间、高维空间的思想， （9）超限数的思想， （10）数学的神秘性与数学美的思想,波利亚的数学解题与猜想发现思想 完善的思想方法犹如北极星，使人们找到正确的道路 G波利亚,波利亚认为，

8、中学数学教育的根本宗旨是教会年轻人思考，他把“解题”作为培养学生数学才能和教会他们思考的一种手段和途径解题意味着要找到克服困难的方法, 找到绕过障碍的道路, 达到不能直接达到的目的正如不可能找到一把能打开一切大门的神奇的钥匙一样，我们也不可能找到能解决一切问题的方法只有通过模仿与实践才能学会解题正如你想学会游泳你就得跳到水中去，你想成为解题能手, 那你就得去解题良好的思维习惯不可能靠从外部输入获得, 只有靠练习才能获得 尽管如此，波利亚还是通过认真分析人们解决数学问题的思维过程,总结出了具有一般指导意义的解题思维程序表，这就是著名的“怎样解题表” 弄清问题 拟定计划 实现计划 回顾,数学猜想与

9、合情推理,数学的发明、发现离不开猜想所以，波利亚极力主张，“在数学的教学中必须有猜想的地位，教学必须为发明做准备，或至少给一点发明的尝试”数学猜想一般来自与严密的论证推理完全不同的一种推理方法合情推理 合情推理是波利亚“启发法”(heuristic，即“有助于发现的”)中的一个推理模式它是指观察、归纳、类比、实验、联想、猜测、矫正与调控等方法波利亚很早就注意到“数学有两个侧面，用欧几里得方式提出来的数学是一门系统的演绎科学；但在创造过程中的数学却是实验性的归纳科学”因此，他明确提出有两种推理：论证推理与合情推理论证推理用来确定数学知识，合情推理用来为猜想提供依据波利亚这一思想实质上告诉了我们，

10、数学思维不是纯“形式”的，它所涉及的不仅有公理、定理、定义及严格的证明，而且还有许许多多其它方面：推广、归纳、类推以及从具体情况中辨认出或者说抽取出某个数学概念，等等,论证推理有三段论推理模式等，波利亚通过具体例子的分析，在与论证推理模式的对比思考中，也提炼出了一些合情推理模式,基本归纳模式：,意义：你正从事研究某个猜想A，不知道A是真还是假你看出了A的某个结论B，即A蕴含B当你研究A觉得腻了的时候，就想转而研究B该模式表示：一个结论B的证实使猜想A变得更可靠,基本归纳模式：,意义：证实新结论Bn+1意义的大小随新结论与前面已证实的结论B1，B2，Bn间的差异大小而定,类比推理模式：,意义：另

11、一个和A类似的猜想B证明为真，使猜想A变得更可信 启发模式：,意义：在作为猜想A的依据B被推翻时，对A的信任程度只能减小,审定相抵触的猜想模式： 意义：当一个不相容的对抗猜想被推翻时，我们对原猜想的信任只能增加,波利亚通过对各种典型问题的细致剖析，提炼出四个常用的解题模式可供仿照的楷模 双轨迹模式 （1）把问题归结为要确定一个“点” （2）把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个“轨迹”这两个“轨迹”的交集，就是我们要求的“点” 笛卡儿模式 （1）把问题归结为去确定若干个未知的量 （2）设想问题已解出来了，列出已知量和未知量间根据条件必须成立的一切关系式 （3）把某些关系式转化为方程

12、，得出一个方程组 （4）将方程组通过消元化归成一个方程,递归模式 （1）设法将要求的量归结为依次排列起来的某序列的一个项 （2）确定这序列的第一项或前面几项 （3）找出递推关系式，将序列的一般项与它前面的那些项联系起来 这样，我们就可递推地把所有的项都找出来 叠加模式 （1）先处理一、两种特殊情形我们把它称之为导引特款 （2）利用导引特款的叠加去得出一般问题的解,教师十诫： 第一，对自己的科目要有兴趣 第二，熟知自己的科目 第三，要懂得学习的途径：学习任何东西的最佳途径就是靠自己去发现 第四，要观察你的学生的脸色，弄清楚他们的期望和困难，把自己置身于他们之中 第五，不仅要教给学生知识，并且要教

13、给他们“才智”，思维的方式，有条不紊的工作习惯 第六，要让学生学习猜测 第七，要让学生学习证明 第八，要找出手边题目中那些对解后来题目有用的特征即设法去揭示出隐藏在眼前具体情形中的一般模式 第九，不要立即吐露你的全部秘密让学生在你说出来之前先去猜尽量让他们自己去找出来 第十，启发问题，而不要填鸭式地硬塞给学生接受,四、突出数学思想方法的教学设计,数学教学已由双基向四基转化： 基础知识、 基本技能、 基本思想方法、 基本活动经验 数学教学必须重视数学思想方法的设计,明确基本数学思想方法体系,全域性数学思想 局域性数学思想 一般性数学方法 特殊性数学方法,全域性数学思想 第一节 公理化思想 第二节

14、 算法化思想 第三节 符号化思想 第四节 形式化思想 第五节 集合与对应思想 第六节 数学辨证思想,局域性数学思想 第一节 数与运算思想 第二节 图形与几何思想 第三节 方程与函数思想 第四节 无穷与极限思想 第五节 微分与积分思想 第六节 概率与统计思想,一般性数学方法 第一节 推理证明方法数学说理论证的一般方法 第二节 合情推理方法数学猜想发现的一般方法 第三节 数学抽象方法数学化活动的一般方法 第四节 数学化归方法数学解题的一般方法 第五节 数学模型方法数学应用的一般方法 第六节 数形结合方法数学转化的基本方法,特殊性数学方法 第一节 分类讨论方法 第二节 逐次逼近法 第三节 反证法 第

15、四节 数学归纳法 第五节 构造性方法 第六节 反例法,设计思想,明确各种思想方法的实质 教学设计中系统渗透这些思想方法 通过概念原理教学让学生明确各种重要数学思想 通过解题教学让学生掌握各种数学方法,数与运算思想,什么是数？数的思想萌芽是给具有数量的东西的一种“确定性”表征，使得相同事物的不同的数量之间可以比较和运算。“数”是脱离了事物的“质”，而仅是“量”的表征，这使得不同事物之间的数似乎也可以运算。 数的发展是随着数学的发展而发展的，不断扩充。 数构成数学的基本部分，是数学的基本语言。,运算是集合与集合之间联系的表现，仅有数而没有运算，事物将是孤立的，不能“综合”看待。 没有运算，集合只能

16、是孤立元素的堆积，有了运算，集合才能形成结构体系 没有运算向量只能作为“路标”，有了运算，向量才能表示夹角、长度，才能作为联系代数、几何、三角的桥梁 没有运算，矩阵只是一张表，有了运算，矩阵就是一种线性变换,图形与几何思想,一般来说，图形本身不是客观存在，是没有具体性的东西，它是人们抽象的结果，是人们抛弃物体颜色、重量、组成等物质属性只从形状、位置、角度等看待物体的结果，是人们从个别、特殊的认识升华形成的一般性的认识结果图形作为一种抽象的形式，有形状与大小图形最大的特点是直观几何学离不开图形，图形是几何的最基本构成 希尔伯特说：“几何图形就是直观空间的帮助记忆的符号” “几何学就是利用不正确的

17、图形，做正确推理的艺术”,方程与函数思想,方程思想作为源于解决应用问题的思想，其核心一是已知数和未知数被一视同仁在“能否参与运算”这个“法律”条款面前，二是问题中的数量关系可用等式“直观”表示，三是方程的解法理论,方程思想与算术思想的根本区别在于算术解题参与的量必须是已知的量，而代数解题允许未知的量（以符号的形式如字母的形式）参与运算；算术方法是在头脑里纯“抽象”地操作各种数量关系最终列出算式，而代数方法是直接地找出等量关系并变换成方程而在“直观可视化”下进行有程式地思维操作变形出未知数代数方法这种外显型思维运算优于算术方法的内隐型思维操作表现在解题思维方法方面，用算术方法解题时，由于未知数不

18、能参加列式运算，需要根据未知数和已知数的关系，直接用已知数和运算符号组成一个算式，来求出未知数,函数思想应看成是用运动变化和集合对应的观点去分析和研究问题中的数量关系、建立函数模型并运用函数的性质求解函数模型从而使问题获得解决的一种思想,方程与函数考虑问题的出发点不同，前者的出发点是求一个确定的未知数问题，后者出发点是考虑相依变化量的问题前者属于确定值代数，后者属于非确定值代数方程与函数建立的联系也不同，方程是建立等价事物之间的联系，是已知量与未知量之间的联系；函数也是建立联系，但是一个变量与另外变量的联系方程与函数的建构过程也不同，方程思想倾向于结构化，寻找结构关系加以字母化或符号化就可以了

19、；函数思想更多地使用了“算术”思想，将函数看成因变量，建立函数就是构建由自变量和其他已知量的一个“算术”的代数或超越式，使之与因变量是等价的所以，从建模思维过程讲，方程模型建立是“结构化”的，而函数模型建立是“算术化”的,无穷与极限思想,无穷这个问题涉及无穷大量、无限可分性、运动与连续性等概念，自亚里士多德时代起就一直困扰着西方哲学家芝诺悖论(Paradoxes)使得空间无限可分性的观点和不可分（原子论）的观点都面临逻辑危机正如希尔伯特曾深刻指出的：“无穷大!任何一个其他问题都不曾如此深刻地影响人类的精神；任何一个其他观点都不曾如此有效地激励人类的智力；然而，没有任何概念比无穷大更需要澄清”,

20、极限思想是现代数学的一种基本思想，它是一种用运动变化的观点，把所考察的对象（如圆的面积、变速运动物体的瞬时速度、曲边梯形的面积等）看作某对象（内接正n边形的面积、匀速运动物体的速度、矩形面积的和）在某一无限变化过程中变化结果的思想，是一种“从有限中找到无限，从暂时中找到永久，并且使之确定下来”的运动辩证思想,概率与统计思想,概率思想可以通俗理解为计算随机不确定事件发生的可能性的思想 概率思想具有重要的现实指导意义正如M克莱因在西方文化中的数学中所说：“不用说关于我们未来的事情，甚至从现在起的一小时后，也均无任何肯定的东西存在一分钟后，我们脚下的地面可能就会裂开但是，宣称这种可能性吓唬不了我们，

21、因为我们知道，出现这种情况的概率极小换句话说，正是一个事件是否发生的概率，决定了我们对该事件的态度和行动”,早期错误随机思想对学习具有干扰作用学生在接触概率论之前，己经碰过无数次具有随机特征的事情，他们常常使用“可能性”“随机性”“运气”“公平”等词汇来处理或表达随机问题事实上，他们对随机的理解常常是错误的，这些误解将会对他们学习概率产生负面影响例如，许多学生相信，随机地投2枚硬币，出现1个正面的概率与随机地投4枚硬币，出现2个正面的概率是相同的他们把概率直觉的理解为“比率” 概率能够帮助我们了解随机现象的规律，但不能提供准确无误的结论,统计思想可以通俗理解为对数据汇总加工处理并外推的思想。

22、数理统计的基本特征之一是通过部分的数据来推测全体数据的性质，就是从总体中抽出一组样本分析，判断整个系统的状态，或判断某一论断能以多大的概率来保证其正确性，或算出发生错误判断的概率统计方法是“由局部到整体”“由特殊上升到一般”，是归纳法在数学上的具体应用就是说，“我们要利用统计这个测度，从露出海面的十分之一冰山，去推测在海底十分之九的冰山形状” 抽样思想,本市的治安形式急剧恶化今年的恶性刑事案件较去年增加了100% 这个城市的环境治理工作搞得很好，有96%的企业废物排放量达到了国家标准 不能把概率教学处理成数值计算，把统计教学处理成数字运算和画图表,公理化思想 任何真正的科学都始于原理，以它们为

23、基础，并由之而导出一切结果来1 亚里士多德 自欧几里得以来，要使一个理论公理化就是意指通过选取某些命题和从这些命题进一步演绎出一些命题来实现的；如果作出的系统是完全的，那么在通常情况下这理论中所断定的全部语句都应该同样是可以被推演出来的2 C帕森 公理化的步骤在于把逻辑形式同现实、同实际的直观的内容严格分开，公理是人类精神的自由创造3 爱因斯坦,在一个数学理论体系中，我们尽可能少地选取原始概念和不加证明的一组公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的规则，把该理论体系建立成一个演绎系统，这样一种构建理论体系的思想就是公理化思想,公理是对诸基本概念相互关系的规定这些规定是合理的，不互相矛盾的，也是不多

24、不少的，即公理的选取应符合三条要求： （1）相容性公理系统的相容性,亦称协调性或无矛盾性，是指同一系统中的公理,不能相互矛盾 任何一组公理，层出不穷，不可能逐一考察其中有没有相互矛盾的命题；另外，即使一时推不出矛盾，也不能断定将来什么时候不会出现矛盾如果它能够成为具有数学意义的公理系统，一定要符合相容性,这是公理系统的最基本的要求事实上,根据逻辑知识,PP是一个恒假命题对于任意一个命题，(PP)Q是一个恒真命题因此，如果一个公理系统有矛盾，不论这个矛盾是否明显，但最终从这个公理系统能推导出十分明显的两个相互矛盾的命题R与R，从而也就可以导出任意命题（为真）显然，这样的公理系统难以帮助人们认识现

25、实世界的数量关系与空间形式，因而没有任何实际价值 然而，要判断一个公理体系的公理是否具有相容性并非易事一般说来，由公理出发推导出的命题因此，为了证明公理系统的相容性，常用模型的方法，即寻找抽象公理的一个具体模型如果模型中的具体关系之间没有矛盾，那么，公理系统就符合相容性要求所以说，公理系统的相容性是相对意义下的相容性,（2）独立性公理系统的独立性，是指公理系统中的每个公理都不能由其它公理用逻辑推导的方法导出，因为一个公理如果可作为定理推证出来，就没有列为公理的必要了 公理系统具有独立性，保证了公理系统尽可能的简洁从这个意义上来说，具有独立性的公理系统是极小的，即要求公理系统中的公理数目尽可能的

26、少，不允许出现多余的公理,（3）完备性公理系统的完备性要求，常常通俗地说成，要保证某一数学分支的全部命题都能从这一组公理推导出来，也就是公理应足够地多所以，从这个意义上讲，公理系统应该是极大的可以想象，一个公理系统中的公理愈少，则选取它的模型的自由度就愈大，一个公理系统中的公理愈多，则适合它的模型越少就是说，当我们不断地把一个公理系统扩大（当然要求加入的新公理对于原有的公理来说保有独立性和矛盾性）的时候，则能成为公理系统的模型的种类就越来越少，直至不用“再加”，系统完备，而模型也唯一了基于此，一个公理系统的完备性概念可以确切地叙述为：如果已知的公理系统的所有的模型都是互相同构的，则该系统称为完

27、备的,算法化思想 算法是计算的处方，它出现在数学的每一个角落，甚至通常小学中算术的算法从当代的数学观点看，也有新的含义它与其说是强调去掌握特殊算法这些现在主要由计算器或计算机来执行学校数学更强调算法的更基本的属性（例如速度、有效性、敏感性），这些对于在计算机时代更高明地使用数学是必不可少的，学习算法的思考构成当代的数学能力1 林恩阿瑟斯蒂恩 对数学来说算法具有极大的重要性，代数、微积分、概率中都有算法当前数学的强烈趋势就是盛行算法化2 弗赖登塔尔,算法化思想与公理化思想相对，公理化是针对一个理论体系进行系统整理而使之逻辑化的思想，而算法化常指对一类问题进行解决处理的思想，就是将问题的解决办法表

28、示成可机械操作执行的步骤的思想公理化思想注重演绎推理证明，而算法化思想注重程序操作运算算法化直接导致机械化,算法（algorithm）概念 关于什么是算法，界说不一中国大百科全书数学卷关于算法是这样描述的：在古代，算法指一种运算或计算，最初是指对自然数的计算如加减乘除等后来数的概念推广了，运算的概念也推广成函数，算法也相应地推广为对任何一种函数的计算所以，广义地说，算法是指为解决任意一个问题时所作的一种处理过程自古以来，对算法赋予了一种要求能行性因此，现在所谓算法是指对任何一个问题所作的能行性的处理1 前苏联数学家编篡的数学百科全书把算法描述为“定义计算过程的一组详细的指令”，它开始于（给定的

29、算法的一定数量的可能输入中的）一个任意输入，且其目的在于得到一个完全由输入和指令决定的结果，其中每一条指令表示一个或多个操作2 美国数学及其应用联合会（COMAP）编写的数学的原理与实践中把对一个问题的算法看成是“解决该问题的程序步骤的一个概要说明，这一程序步骤必须是确定的各步骤的本质和次序被明确清楚地加以描述；有效的该程序步骤给出这一问题的正确解；有限性该程序在有限步之后中止”3,我国现行大学数据结构教材中关于算法的描述是：“一个算法是规则的有穷集合，这些规则为解决某一特定类型问题规定了一个运算序列” 算法可以理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤，或者看成按照要求设计好的有

30、限的确切的计算序列，并且这样的步骤或序列能够解决一类问题。 ，“算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤” 不论算法表面上如何描述，其核心思想是相同的可用于机械性地解决问题的确定程序或步骤，根据算法解决问题时不需要任何“智慧”，只要照着做就可以所以，计算机能够执行算法,算法有广义和狭义之理解广义的算法概念就是解决某一特定问题或一类同质同型问题循序渐近的方法步骤，尤指一种为在有限步骤内解决问题而建立的可重复应用的计算方法步骤，如果按照这个方法步骤一步步机械地执行，便可得到问题的解从这个意义上讲，“算法是指完成一项任务所需要的具体步骤和方法的描述”根据这一理解，上至各种复杂的数学计

31、算法如欧几里得算法，下至日常生活中的一些活动都可看作算法，如在自动取款机上如何取款就可表述为一个算法一系列步骤，按照这些步骤一步步操作就可以取出款来甚至可称“菜谱是做菜肴的算法，空调说明书是空调使用的算法”狭义的算法是指数学领域中的算法，即利用数学工具解决问题的算法，而且这种算法能够通过设计程序由计算机实现此处，我们局限于数学上的算法理解，比如解方程的算法，函数求值的算法，作图问题的算法，等等当然，算法不只是单纯的计算，而是指为了解决一整类实际或科学问题而设计或概括出来的、带有一般性的、更广泛的一类操作方法,算法又有特殊算法和通用算法之分针对某一具体问题而设计的算法称为特殊算法，针对一类问题设

32、计的算法称为通用算法例如，“分油问题”：一个大油桶装8kg油，还有两个空桶，一个能装5kg油，另一个能装3kg油，请将8kg油平均分成两份下面就是“分油问题”的一个特殊算法： 将8kg油倒入3kg桶中3kg油； 将3kg油倒入5kg桶中； 第二次将8kg桶中5kg油第二次倒入3kg桶中，剩2kg油； 第二次将3kg桶中3kg油倒入5kg桶中，剩1kg油； 将5kg桶中5kg油倒入8kg桶中，得7kg油； 将3kg桶中所剩1kg油倒入5kg桶中； 将8kg桶中7kg油倒入3kg桶中3kg油，8kg的桶中剩4kg油； 将3kg桶中3kg油倒入5kg桶中，得4kg油； 两桶各4kg油 通常我们说算法

33、能解决一类问题，并能重复使用，是对通用算法而言的,数学公式组成一大类通用算法如方程ax2+bx+c=0（a0）的求根公式： x1，2= 是一个求方程实数根的简单算法，可分解成小步描述为： S1 计算=b2-4ac； S2 若0，则输出方程的根x1，2=,算法和解法也是有区别的设计算法是为了解决问题，如果要解决的问题是数学问题，那么为解决这个数学问题设计的算法就应该是该问题的一种解法反过来，一种解法，如果能够按确定的顺序一步步地解出结果的话，它就应该是一种算法比如，“二次三项式因式分解”是这样一个数学问题:给定一个二次三项式，如果能够进行分解，将它分解为一次因式的乘积，否则就确定其不能分解(这里

34、的因式分解指实数域上的因式分解)对此问题，十字相乘法就不是它的算法因为十字相乘法要将常数项写成两个数的乘积，并使这两个数之和为一次项系数，而常数项分解法常常是不唯一的，我们使用十字相乘法需要根据经验或者试验，很难给出一定的顺序，最关键的是当十字相乘法失效的时候，我们并不能判定该二次三项式到底能不能分解尽管我们能将问题分解为方程组求解问题，但算法求解往往是近似而不是精确解，即便根据转化后的方程组的解的情况也不能断定能否分解有人说“求根法就是二次三项式因式分解的算法”，理由是：当二次方程ax2+bx+c=0有根x1，x2时，二次三项式ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)；当二次方程ax2+

35、bx+c=0没有实根时，就可以判定二次三项式ax2+bx+c不能分解求根法能够按确定的顺序一步步算，并总能给出结果，所以它是算法其实这里模糊了因式分解的含义和求实根算法的近似性，如在实数范围内用求根法分解x2-2，不论你怎样设计算法，都只能是近似的分解，永远都不是通常意义上的因式分解.所以，严格说来，“求根法就是二次三项式因式分解的算法”的说法是不对的,符号化思想,在数学中一切进步都是引入符号（表意符号）后的反响 皮亚诺（GPeano，1858-1932） 符号化思想就是用一种符号代替原物，即不用原物而用符号进行表示、交流、运算等活动的思想,数学符号化思想最初表现为用记号或字母表示数的思想，慢

36、慢发展为代数思想 “几乎数学的每一分支都靠一种符号语言而生存”,形式化思想,广义地讲，形式化思想就是舍弃事物物质内容只取形式结构，只走形式而不考虑内容的一种看待、处理问题的思想 从逻辑学角度来看，所谓形式化思想，就是通过一套特制的其意义可以解释的人工表意符号(形式语言)去表示词项、概念、判断、命题和推理，把对词项、概念、判断、命题和推理的研究，转化为对符号表达式系统的形式研究，并将一定范围内的所有正确的推理形式(逻辑规律) 都汇集在一个整体中的一种思想,形式化是数学的显著特点 “一切数学学科的决定性特点总是某种形式化的方法数学问题的解决，不能由它所反映的物体或现象的物质本性去解决，而只能由它的

37、形式结构特点去解决” 数学语言的优势就在于它的外在的形式性，由于数学语言不受制于概念内容的束缚，所以它能够进行漫长的推理而不失真,集合对应思想,数学辩证思想 数学中的转折点是笛卡儿的变数有了变数，运动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了 恩格斯 矛盾无处不在，数学中充满着矛盾有数与形、有限与无穷、必然与或然、抽象性与多用性的矛盾，也有已知与未知、常与变、直与曲、连续与离散等矛盾，数学中处理这些矛盾所体现的思想方法我们称为数学辩证思想方法华罗庚先生对前四种矛盾进行了分析，1后面我们也会对这些矛盾做适当说明，这里我们只对其他几对矛盾进行分析,看待已知与未

38、知的地位和作用的不同，导致不同的数学产生，这就是算术和代数在将已知与未知对立起来的数学观下，数学只能在算术领域中迂回，只有将已知与未知等量齐观，才能进入代数的范畴而已知与未知的矛盾由于引进未知数产生了方程，在一定程度上得到了统一 在具体解决问题中，已知可以看成未知，未知也可以看成已知，通过这种转化，可以化难为易实现解决问题之目的,解方程x3+2 x2+7x+ -1=0 分析：这是关于x的三次方程，记不住公式不易解决为此，转变已知和未知的地位，令 = y，视常数 （已知）为未知数，将未知数x看成已知（常数），则原方程变成关于已知数y的方程： xy2+(2x2+1)y+x3-1=0 解之得 y=1

39、-x，y=-(x2+x+1)/x,直与曲的矛盾辩证思想 “直与曲”是数学中又一对充满辩证法的矛盾思想 直线与曲线是两个完全不同的数学概念，从直观形象来看，前者平直后者弯曲；从代数表达式来看，前者是线性方程，后者是非线性方程因此，直线与曲线差异是明显的前者简单，后者复杂，前者代表线性，后者代表非线性但是，它们仍然存在着内在联系，在一定条件下可以互相转化关于直线与曲线的对立统一关系，恩格斯深刻地指出过：“几何学开始于下列的发现：直线和曲线是绝对对立的，直线完全不能用曲线表现，曲线也完全不能用直线表现，两者是不能通约的但是，连圆的计算也只有用直线来表现它的圆周时才有可能而在具有渐近线的曲线的情形下，

40、直线完全化为曲线，曲线完全化为直线；平行的观念也同样趋于消失：两条线并不是平行的，它们不断地互相接近，但永远不相交”,数学中鉴于曲线复杂，在理论上和计算过程中，直总比曲容易得多，而直观上看，任意一条“光滑”曲线的一小段都很像直线，而且曲线的这一小段愈短，它就愈接近于直线因此，在数学中，出现以直代曲的思想方法是很自然的,常量与变量的辩证思想 常量数学领域，被研究的量都是固定不变的一个未知量一旦确定，就是永远不变的，这类问题只需采用一种静态的、不变的观点来分析处理然而，现实世界中的事物不断变化，如运动着的物体有快有慢，每个时刻速度不同，需要计算每个时刻的瞬时速度；物体的形状各异，规则的少，不规则的

41、多，有时需要计算不规则的形体的面积和体积等等，然而，这些问题都是常量数学难以解决的问题这些问题激发了人们的思考，在常量数学的基础理论之上引进了变量、函数、极限等概念，把数学扩展到一个新阶段变量数学时期,常量与变量的基本关系 常量与变量是数学中互补的两个基本概念，也是一对矛盾概念常量是反映事物相对静止状态的量，如不变的数量和固定的图形；而变量则是反映事物运动变化状态的量，如事物运动变化过程中的变动的量和图形，因而这两种量的意义有着严格的区分，具有不同的本质属性以常量为其研究对象的数学称为常量数学，它能有效地揭示、描述事物和现象相对稳定的状态；以变量为其研究对象的数学称为变量数学，它能从量上描述事

42、物的运动和变化规律从常量数学到变量数学，是数学在思想方法上的一次重大转折,数学中经常通过不变的常量来刻画不定的变量的某些性态运动变化的事物常通过它的反面相对静止状态来度量和描述，通过考察运动变化事物的不变性（方面）可以认识事物的运动变化规律如在讨论二次函数y=ax2+bx+c（a0）性质时，x是变量，系数a，b，c是常量，要刻画变量y之变化区间或函数的形态，需要常量a，b，c之间的关系刻画,在解决数学问题时，有时要求我们计算出某一个确定的量，这种量在相应的问题中当然是个常量但是这样的常量计算起来，也并非都是通过作一些算术运算轻而易举地就可以完成的，有时需要借助甚至必须借助于“使常量变动起来的思

43、想”来研究解决，也就是把常量看作是变量的暂驻状态来处理问题的思想 例如，关于轨迹作图的波利亚“双轨迹模型”思想本质上就是利用变量研究常量首先，把作图问题归结为要确定一个点；然后，把条件分成两部分，使得对每一部分，未知点都形成一个轨迹；而这两个轨迹的交点就是要确定的点在考虑每一部分时，实质上是保留一部分条件，暂时丢开其它条件，使未知点少受限制，由定点变为满足一定限制的动点，从而才得一轨迹这是初等几何作图中广泛应用的一个基本思想，在变动中确定固定位置,连续与离散 我们知道，数产生于计数和测量根据计数的最原始方式，如“结绳”计数，“堆石子”计数，“刻痕” 计数，所采用的计数原理实际上是把“绳结”、“

44、石子”与被计数事物间建立一一对应在这里，被计数事物是以“个”而论的，从而形成了描述自然界离散（不可分）事物计量模型自然数模型它刻画了自然界中那些不可分解的事物的数量问题所谓不可分是指，将它进行分解，就要发生事物性质的改变，失去计量的意义如计算某种产品的数量，显然，作为产品，半个产品是没有意义的，这种不可分解的事物在数学上就作为一个单位存在，而运算过程就在离散数量的状态中进行,而就测量而言，测量所面对的对象如长度、面积、体积、时间等一般都是可分解的就是说，如果将它进行分解，并不会改变我们所要计量的事物的那些主要规定性如丈量土地的面积，计量的是这块土地所占的“平面”区域的多少，它的任何分割出的一部

45、分都是这块土地面积的一部分同样，计量一个物体的体积，计量的对象是物体所占有的空间的大小，不涉及该种物体质的特性，它的任何局部仍是该物之部分所占有的空间的大小因此，虽然物体本身并非是一部分一部分地合并起来的，但是却可以被分解、合成而不影响其计量性质和意义这样，为了精确地表达诸如物体体积之类的量，实现其无限可分的性质，在数学的抽象中就引入了连续量的模型实数系可见，数量的连续状态是事物无限可分性的反映和要求,在数值计算中，为了计算连续的量值，一般要诉诸于不连续的办法用离散去代替连续比如，我们用格点来计算图形面积：一个凸多边形面积为A，内部格点数为N，边上格点数为L，则A=N+L/2-1这就是利用格点

46、计算多边形面积的毕卡公式，也体现了用离散的格点计算连续的面积公式简证如下： 1)对于有两条直角边分别平行于两坐标轴的格点直角三角形，则此三角形无论沿x轴方向或y轴方向平移多少整数个单位长，对其内部、边界上的格点及其面积均无影响，故而不妨设该格点三角形的顶点是O(0，0)，A(a，0)，B(0，b)，其中a，b均为正整数 设线段AB内部不含端点的格点数为u，三角形内部格点数为，则三角形边上的格点数=u+a+b+1；另取点C(a，b)，则矩形OACB内部格点数应为(a-1)(b-1)=u+2N，于是有ab=2N+(u+a+b+1)-2=2N+L-2，则A=ab/2=N+L/2-1，得证； 2)对于

47、一般的格点三角形，可将其视为由它外接的矩形截去若干格点直角三角形所得，同样可以证明毕卡公式在此情况下仍然成立，证略； 3)对于一般的格点多边形，可将其分割为若干格点三角形，可以证明毕卡公式在此情况下仍然成立，证略. 综上，毕卡公式得证,已知与未知矛盾的相对性 数学中的已知数与未知数，既有联系又有区别，既有共性又存在个性“已知”和“未知”是它们不同的个性，“数”是它们的共性“问题是数学的心脏”，一个数学问题一般总包含已知（条件）与未知（结论）两部分，两部分缺一就不称其为一个数学问题，从这个意义上说，已知与未知是处于“问题”这个统一体中相互依存的两个方面但是，数学中的已知与未知，又界限分明，对于一

48、个数学问题，如不把已知与未知弄清楚，就不能明确解题的目的与任务，从而也就失去了前进的方向解决问题就是揭示已知与未知之间的内在联系，沟通由已知到未知的通路，否则就不能完成解决这个问题的任务其实，我们所列的方程、所建立的数学模型等都是问题中已知与未知内在联系的数学表示此外，还有另一层已知与未知的关系，对每个解题者是不言而喻的，即这个问题在未解决之前解题方法、途径、结论等都是未知的，而解题者所掌握的数学知识与工具或题目所限定范围内的数学知识对解题者应为已知的，解题就是想办法用已知的知识达到认识、解决未知的目的，“就是把题（未知）归结为已经解过的题（已知）”,解题中的思想方法,（山东）类推、合情推理yxOC1B2A2C3B1A3B3A1C2（第17题图） 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，按如图所示的方式放置点A1，A2，A3，和点C1，C2，C3，分 别在直线(k0)和x轴 上，已知点B1(1，1)，B2(3，2)， 则Bn的坐标是_