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1、,数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作出精确而可靠的结论.,一个统计问题总有它明确的研究对象.,1.总体,研究对象的全体称为总体(母体)，,总体中每个成员称为个体.,总体,一、总体和样本,然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.,由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.,这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来
2、描述.,而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来.,从另一方面看,统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质.,由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量) ，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质.,例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.,某批 灯泡的寿命,总体,寿命X可用一概 率分布来刻划,鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) .,类似地，在研究某地区中学生的营养状况
3、时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示.,统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布.,为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,2. 样本,但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (X1,X2,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 .,样本是随机变量.,抽到哪5辆是随机的,容量为n的样本可以看作n维随机变量.,2. 独立性： X1
4、,X2,Xn是相互独立的随机变量.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.,最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 代表性： X1,X2,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布.,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,Xn表示.,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.,若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为,F(x1) F(x2
5、) F(xn),事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.,3. 总体、样本、样本值的关系,统计是从手中已有的资料-样本值，去推断总体的情况-总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二者的桥梁,由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.,二、统计量和抽样分布,1. 统计量,这种不含任何未知参数
6、的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量.,几个常见统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值 的信息,它反映了总体方差 的信息,样本k阶原点矩,样本k阶中心矩,k=1,2,它反映了总体k 阶矩 的信息,它反映了总体k 阶 中心矩的信息,2. 抽样分布,统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布” .,抽样分布就是通常的随机变量函数的分布. 只是强调这一分布是由一个统计量所产生的. 研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.,抽样分布,精确抽样分布,渐近分布,（小样本问题中使用）
7、,（大样本问题中使用),三. 统计三大分布,记为,定义: 设 相互独立, 都服从正态 分布N(0,1), 则称随机变量： 所服从的分布为自由度为 n 的 分布.,分布是由正态分布派生出来的一种分布.,分布的密度函数为,请看演示,分布,由 分布的定义，不难得到：,2. 设 且X1,X2相互 独立，则,这个性质叫 分布的可加性.,应用中心极限定理可得，若,的分布近似正态分布N(0,1).,则可以求得， E(X)=n, D(X)=2n,若,T的密度函数为：,记为Tt(n).,2、t 分布,具有自由度为n的t分布的随机变量T的数学期望和方差为: E(T)=0; D(T)=n / (n-2) , 对n
8、2,当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.,t分布的密度函数关于x=0对称，且,不难看到，当n充分大时，t 分布近似N (0,1)分布. 但对于较小的n，t分布与N (0,1)分布相差很大.,请看演示,t 分布,由定义可见，,3、F分布,F(n2,n1),即它的数学期望并不依赖于第一自由度n1.,X的数学期望为:,若n22,若XF(n1,n2)， X的概率密度为,请看演示,F分布,统计三大分布的定义、基本性质在后面的学习中经常用到，要牢记！,教材180页给出了概率分布的上侧分位数（分位点）的定义. 它在计算概率查表时经常使用.,这里请看演示.,分位数,当总体为正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理. 这里我们不加证明地叙述. 除定理2外，其它几个定理的证明都可以在教材上找到.,四、几个重要的抽样分布定理,定理 1 (样本均值的分布),n取不同值时样本均值 的分布,定理 2 (样本方差的分布),n取不同值时 的分布,定理 3,定理 4 (两总体样本均值差的分布),定理 5 (两总体样本方差比的分布),上述5个抽样分布定理很重要， 要牢固掌握.,