在制图过程中换面法的使用.ppt

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1、2.6 换面法,教学目的： 1.掌握换面法的基本原理，熟练掌握点的一次、二次换面 法的基本作图方法。 2.熟练掌握换面法的四个基本作图方法，并能用于解决空 间几何元素常见的度量问题和定位问题。 教学重点： 换面法的原理和应用换面法解决实际问题。 教学难点： 应用换面法解决空间几何元素常见的度量问题和定位问 题。,2.6 换面法,画法几何讨论的作图问题主要归结为两类。一是定位问题，即在投影图 上确定空间几何元素（点、线、面）和几何体的投影。二是度量问题，即根 据几何元素和几何体的投影确定它们的实长、实形、角度、距离等。 由前面内容可知，当空间的直线、平面对投影面处于特殊位置 平 行或垂直时，上述

2、两类问题的作图较为简便。本节将研究如何改变空间几何 元素相对于投影面的位置，以达到有利于解题的目的。 投影变换的方法很多，其中比较简单和常用的方法有两种:变换投影面法 （简称换面法）和旋转法。 换面法是使空间几何元素保持不动，用新的投影面替换原有的某个投影 面，使空间几何元素对新投影面处于有利于解题的位置。 旋转法是使空间几何元素绕垂直于某一投影面的轴线旋转，使空间几何 元素对投影面处于有利于解题的位置。 本教材只讲述换面法和用换面法解决几何元素的定位和度量问题。,2.6 换面法,2.6.1 换面规则 更换投影面时，新投影面的位置并不是任意的。首先，空间几何元素在 新投影面上的投影要有利于解题

3、;此外，新投影面还要垂直于原来的某一个投 影面，构成新的两投影面体系（如图2-49所示）以便运用正投影原理由原来 的投影作出新投影。 由于新投影面的位置选择受到上述限制，解答某些问题时，更换一个投 影面有时不能使空间几何元素与新投影面达到预期的相对位置，从而得不到 有利于解题的新投影。这时需连续进行两次或多次换面，但每次只能更换一 个投影面。如图2-50所示，先换V 面,再换H 面，也可以先换H 面再换V 面。,图2-49 一次换面,图2-50 两次换面,2.6 换面法,2.6.2 求作点的新投影 任何形体都可以看作是点的集合。所以，研究运用换面法解决某些作图 问题之前，首先要讨论点的新投影的

4、作法。 1.一次换面 如图2-51所示为更换正立投影面V时点的投影变换规律。,图2-51 点的一次变换（换V面）,设给出V、H投影面体系（以后简称V/H体系）中的点A及其投影a、a。新投影面V1 垂直于原投影面H，替换原V面变成新投影面体系V1/H，称为更换正立投影面。其中，H面称为保留投影面、V 面称为被替换投影面、V1 面称为新投影面。H与V1 面的交线X1 称为新投影轴，简称新轴。原投影轴X称为旧轴。,2.6 换面法,将点A向V1 面作垂直投射，得到新投影a1 。在新、旧投影面体系中，由于 H面保持不动，所以点A到H面的距离（Z坐标）不变，因而有a1 aX1 =aaX。 若使V1 面绕新

5、轴X1 旋转重合于H面，则得如图2-51（b）所示的投影图。在 投影图上有:aa1 X1 ;a1 aX1 =aaX 。其中a称为保留投影;a称为被替换投 影;a1 称为新投影。 由上述分析可得出给定新轴X1 的位置后求A点的新投影a1 的作图步骤: （1）过保留投影a作直线aaX1 X1 ，得垂足aX1 。 （2）自aX1 在垂线上截取aaX1 =aaX 得点a1 ，a1 即是点A在V1 面上的 新投影。 图2-52表示更换H面。取新投影面H1 ，使H1 V，原投影面体系V/H变换成 V/H1 。V 面为保留投影面;H面为被替换投影面;H1 面为新投影面。,图2-52 点的一次换面（换H面）,

6、2.6 换面法,设点A在H1 面上的投影为a1 ，此时，点A到V面的距离（y坐标）不变， 所以有a1a X1=aaX 。当新投影面H1 绕X1 轴旋转重合于V面后，在投影图 上有aa1X1 ;a1aX1 =aaX 。综合上述更换投影面的两种情况，得如下 投影规律: （1）点的新投影与保留投影的连线垂直于新轴。 （2）新投影到新轴的距离等于被替换投影到旧轴的距离。 当新投影面的位置（新轴的位置）确定后，由点的原来投影作其新投影 的步骤为: （1）过点的保留投影作直线垂直于新轴，得一垂足。 （2）自垂足在所作垂线上截取线段等于被替换投影到旧轴的距离，截得 的点即为所求新投影。 直线或平面的变换，可

7、归结为直线上的两点或平面上三点的变换，其方 法、步骤与上述相同。 2.二次换面 图2-53表示更换两次投影面时求作点的新投影的方法，其作图原理与更 换一次投影面相同。,2.6 换面法,在V.H体系中，先用V1 替换V，V1 H，组成V1/H投影面体系（H为保留 投影面），求出a1。 再把V1/H当作原投影面体系，用新投影面H1 替换H，H1V1 ，组成新 的V1/H1 投影面体系，求出新投影a1 。此时V1 面为保留投影面，被替换投 影面则指H面。V1 、H1 面的交线为新轴X2 ，而X1 在第二次换面时被称为旧 轴。 二次换面时，点的投影变换规律仍适用，即a1a1X2;a1 aX2 =aaX

8、1 ， 如图2-53（b）。在换面顺序上可以有两种方案，即V/HV1/HV1/H1 或 V/HV/H1 V1/H1 ，由需要而定。,图2-53 点的二次变换,2.6 换面法,2.6.3 基本作图问题 用换面法解答各类定位与度量问题时，均可归结为下列四个基本作图问题。 1.把一般位置直线变换成新投影面平行线 由前述规则可知，要把一般位置直线变换成新投影面平行线，所选新投影面 应与直线平行，同时又垂直于保留的原投影面，从而新轴应平行于直线的保留投 影。,如图2-54（a）所示，AB为V/H体系中的一般位置直线。若更换V面，把AB变换成V1 面的平行线，则新投影面V1 应平行于AB且垂直于H。此时新

9、轴X1 应平行于AB的水平投影ab。新轴确定后，可按点的新投影的作法作出直线AB的新投影 a1b1，AB变换成V1/H体系内的平行线。,图2-54 把一般位置直线变换成V1 面平行线,2.6 换面法,作图 如图2-54（b）所示，作新轴X1ab，作出点A及点B在V1 面上的 新投影a1b1。 a1b1反映线段AB的实长，它与X1 轴的夹角为直线AB对H面的倾 角。 若更换H面，可将AB变换成H1 面的平行线,如图2-55所示。此时X1ab， a1b1反映AB 的实长，a1b1与X1轴的夹角即为AB对V 面的倾角。,图2-55 一般位置直线变H1 面平行线,2.6 换面法,2.把一般位置直线变换

10、成新投影面垂直线 要把一般位置直线变换成新投影面垂直线，只更换一个投影面显然不行。 因为找不到一个新投影面，既与一般位置直线垂直，又与一个原投影面垂直。 但如果所给直线是投影面平行线，要将其变换成新投影面垂直线，更换一次投 影面即可完成。如图2-56（a）所示，AB为V/H体系内的正平线，若将其变换成 新投影面垂直线,需设新投影面H1AB。又因为ABV，所以H1必定垂直于V面。 AB变换为V/H1体系内的垂直线。 作图 作新轴X1ab，并作出AB在H1面上的新投影a1b1 。a1、b1 重影 为一点，图2-56（b）为其投影图。,图2-56 平行线变新投影面垂直线,2.6 换面法,综上可知，要

11、把一般位置直线变换为新投影面垂直线，必须两次更换投影 面。如图2-57（a）所示，把V/H体系内的一般位置直线AB先换成V1/H体系内的 平行线，再换成V1/H1体系内的垂直线，作图过程如图2-57（b）所示。,图2-57 一般位置直线变新投影面垂直线,2.6 换面法,3.把一般位置平面变换成新投影面垂直面 如图2-58（a）所示，平面ABC在V/H体系内为一般位置平面。若把它变 换成新投影面垂直面，可设新投影面V1 替换原投影面V，并使V1 垂直ABC 内的一直线L。为保证V1 同时垂直于H面，应取LH，即L为ABC内的水平 线。根据投影性质可知，新轴X1 l。,图2-58 一般位置平面变V

12、1 面的垂直,2.6 换面法,作图 在ABC内取水平线L（l、l）。作X1l，按点的新投影的作法，作 出ABC各顶点在V1面上的新投影a1、b1、c1。由于LV1ABCV1，所以 a1b1c1成一直线。a1b1c1与X1轴的夹角为ABC对H面的倾角。同理， 也可以更换H面把ABC变换为V/H1体系内的垂直面，如图2-59所示。此时，a1b1c1 与X1轴的夹角为ABC 对V 面的倾角。,图2-59 一般位置平面变H1 面的垂直面,2.6 换面法,4.把一般位置平面变换成新投影面平行面 要把一般位置平面变换成新投影面平行面，必须两次更换投影面。第一 次把一般位置平面变成新投影面垂直面，原理与作图

13、方法如前所述。第二次 把垂直面再更换成新投影面平行面。 如图2-60（a）所示，平面ABCV1 ，再设新投 影面 H1ABC 且 H1V1。根据平行面的投影性质，新轴X2a1b1c1。在H1面上作出ABC 顶点的新投影a1、b1、c1，a1b1c1为ABC的实形。 如图2-60（b）所示为一般位置平面两次变换为新投影面平行面的作图 过程。 应当注意，两次或多次换面时，不能连续更换同一个投影面，而应两个 投影面交替更换。将上述四个基本作图问题综合运用，可以解决多种定位与 度量问题。如由垂直面变换为投影面的平行平面。由一般位置平面变换为投 影面的平行面等。,2.6 换面法,图2-60 平面的两次变

14、换,2.6 换面法,2.6.4 解题举例 【例2-14】 试过点A作直线与已知直线BC垂直相交，如图2-61所示。 分析 当直线BC平行于某投影面时，由直角投影定理可知，与BC垂直的直 线在该投影面上的投影反映其垂直关系。将直线BC由一般位置变换为某投影面 平行线，需更换一次投影面。,图2-61 过A作直线与BC垂直相交,2.6 换面法,作图 （1）用V1替换V（也可以用H1替换H），将BC换成V1面的平行线。 （2）点A随同直线BC一起变换，得新投影a1。 （3）过a1向b1c1作垂线，垂足为e1。e1即为两线垂直相交后的交 点E在V1 面上的投影。 （4）将e1逆变换返回到V/H体系，求出

15、e及e1。连接ae、ae即为 所求。 讨论 此题也可以将点A及直线BC看成同一平面。将平面ABC变换成新投影 面平行面，在反映实形的新投影上作出点A 到直线BC的距离AE，然后返回到原 投影面体系即可。同样方法也可以求出两平行直线间的距离、两相交直线间的 夹角、作角平分线等。因此，凡属同一平面内几何元素的定位、度量问题，均 可将此平面变换成新投影面平行面加以解决。,2.6 换面法,【例2-15】 求点K到平面P（ABCD）的距离。 分析 如图2-62（a）所示，若过点K向平面P引垂线，则点K到垂足L的距 离就是K到平面P的距离。如果平面P是某投影面垂直面，则垂线KL就是该投影面 的平行线，距离

16、可直接反映在投影图上。,图2-62 求点到平面的距离,2.6 换面法,由于P平面属于一般位置平面，故本题需更换一次投影面，将其变换成新 投影面垂直面。 作图 （1）更换V面，把平面P变换成V1面的垂直面。作新轴X1ad（AD、 BC为P内水平线）。 （2）作出P在V1 面上的新投影p1及点K的新投影k1。 （3）过k1向p1作垂线，垂足为l1。k1l1即为点K到平面P的距离， 见图2-62（b）。 讨论 如果需要作出KL的投影，可按照点的变换规则把l1返回到V/H体 系。因KL是V 面的平行线，所以过k作klX1 即可求出l。再由l、l1定l。,2.6 换面法,【例2-16】 求交叉两直线AB

17、、CD之间的距离及公垂线的投影。 分析 交叉两直线间的距离即是它们之间公垂线的实长。 如图2-63（a）所示，若使两交叉直线之一CD变换成新投影面H1的垂直线 时，AB、CD的公垂线MN 必为该投影面的平行线，MN在H1面上的投影m1n1反映 公垂线的实长;另一条直线AB虽为一般位置直线，但因MNAB，由直角投影定 理得a1b1m1n1，由此可定出公垂线的位置。 由于AB、CD 均为一般位置直线，故本题需两次更换投影面。,图2-63 求交叉二直线间的距离及公垂线,2.6 换面法,作图 如图2-63（b）所示。 （1）将一般位置直线CD变换成新投影面垂直线。直线AB随同CD一起变换。 （2）过重影点c1（n1、d1）向a1b1作垂线，垂足为m1。m1n1即为AB、CD间公 垂线的实长。 （3）将m1逆变换返回，可定出m1、m、m。 （4）作m1n1X2定出n1，再逆变换求出n、n。mn、mn即为公垂 线MN的投影。将上述分析及作图进行类推，则可用来解答点到直线的距离、平 行二直线间的距离、平行的直线与平面间的距离等度量问题;也可以在给定距离 时反过来解答某些定位问题，如补投影等。,2.6 换面法,本节结束 谢谢观看,