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1、1,第2章 递推关系与母函数,2.1 递推关系 2.2 母函数(生成函数) 2.3 Fibonacci数列 2.4 优选法与Fibonacci序列的应用 2.5 母函数的性质 2.6 线性常系数齐次递推关系 2.7 关于常系数非齐次递推关系 2.8 整数的拆分 2.9 ferrers图像 2.10 拆分数估计 2.11 指数型母函数 2.12 广义二项式定理 2.13 应用举例 2.14 非线性递推关系举例 2.15 递推关系解法的补充,2,2.8：整数的拆分,1、拆分的概念,2、拆分的模型,3、拆分算法:递归实现,4、用母函数讨论拆分数,3,2.8：整数的拆分,所谓整数的拆分，是指把一个正整
2、数拆分成若干正整数的和。不同的拆分法的数目称为拆分数,例如：考虑正整数4的拆分数： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,通常用p(n)表示整数n拆分成若干正整数的和的拆分数，也可说成方案数 例如p(4)=5。,1、拆分的概念,4,(1)、C(n,r),2、拆分的模型,2.8：整数的拆分,从n个不同的球中取出r个,放进r个相同的盒子中,不许空盒,有多少种放法.,(2)、P(n,r),从n个不同的球中取出r个,放进r个不相同的盒子中,不许空盒,有多少种放法.,5,(3)、从n个不同元素中取r个允许重复的组合,2.8：整数的拆分,r个相同的球放进n个不同的盒子中,允许
3、空盒,有多少种放法.,以正整数4为例： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,(4)、正整数n的拆分数,6,正整数n的拆分，相当于把n个无区别的球放进n个无区别的盒子，盒子中允许放一个以上的球，也允许空着,以正整数4为例，球的放法如下： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1, , ,2.8：整数的拆分,*,7,3、拆分算法:递归实现,定义一个函数Q(n,m)：表示整数n的所有加数都不超过m的拆分数。 n的拆分数就可以表示为Q(n,n),Q(n,n)有以下递归关系,(1)Q(n,n)=1+Q(n,n-1),停止条件： (1)Q(n,1)
4、=1 (2)Q(1,m)=1,2.8：整数的拆分,Q(n,m)有以下递归关系,(2)Q(n,m)=Q(n,m-1)+Q(n-m,m),8,int divinteger(int n,int m) if (n1|m1) printf(“error”); else if(n=1|m=1) return(1); else if(nm) return divinteger(n,n) else if(n=m) return(1+divinter(n,n-1); else return(divinteger(n,m-1)+divinteger(n-m,m); ,2.8：整数的拆分,9,例1 求4的拆分数。,
5、解：分析下面的多项式x4项的系数与4的拆分数的关系.,(1+x+x2+x3+x4)(1+x2+x4) (1+x3)(1+x4),4、用母函数讨论拆分数,2.8：整数的拆分,4=1+1+1+1,4=2+1+1，4=2+2，4=3+1， 4=4，,10,n的拆分数的母函数。,4、用母函数讨论拆分数,2.8：整数的拆分,11,例2 求1角、2角、3角的邮票可贴出不同数值邮资的方案数的母函数。,解：,单独用1角的母函数为1+x+x2+x3+,单独用2角邮票的母函数为1+x2+x4+x6+,单独用3角邮票的母函数为1+x3+x6+x9+,2.8：整数的拆分,12,2.8：整数的拆分,13,例3 求正整数
6、n拆分成1,2,m的和，并允许重复的拆分数。如若其中m至少出现一次，试求它的方案数及其母函数。,解1：,展开式中xn项的系数就是要求的拆分数。,2.8：整数的拆分,14,解2：如果m至少出现一次。,G(x)=(1+x+x2+ )(1+x2+x4+ ),(xm+x2m+),2.8：整数的拆分,15,2.8：整数的拆分,正整数n拆分成1,2,m的和，并允许重复的拆分数。 若其中m至少出现一次，它的方案数等于拆分成1,2,m的拆分数减去拆分成1,2,m-1的拆分数。,以正整数4为例： 4=4，4=3+1，4=2+2，4=2+1+1，4=1+1+1+1,16,定理2.8.1 正整数r拆分成不同正整数和
7、的拆分数，等于拆分成奇正整数的拆分数？,对比7拆分成不同正整数之和的拆分数和拆分成奇数和的拆分数。,解：7拆分成不同正整数和的所有形式如下： 7，6+1，5+2，4+3，4+2+1共5种,解：7拆分成奇数和的所有形式如下： 7，5+1+1， 3+3+1， 3+1+1+1+1， 1+1+1+1+1+1+1也是5种,2.8：整数的拆分,17,解：首先构造r拆分成不同正整数和的拆分序列的母函数： G(x)=(1+x) (1+x2) (1+x3) (1+x4) ,2.8：整数的拆分,18,定理2.8.2 n拆分成其它数之和但重复数不超过2。其拆分数等于它拆分成不被3除尽的数的和的拆分数。,考虑n=5的
8、情况,5的所有拆分情况如下： 5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1，2+1+1+1，1+1+1+1+1,5，4+1，3+2，3+1+1，2+2+1,5，4+1，2+2+1，2+1+1+1，1+1+1+1+1,2.8：整数的拆分,19,解：n拆分成重复数不超过2的数之和的拆分数，其母函数为：,G(x)=(1+x +x2) (1+x2 +x4) (1+x3 +x6) (1+x4 +x8) ,2.8：整数的拆分,20,例2-25 n个完全相同的球放到m个无区别的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中mn。,解：从n中取m个球一个盒子放一个。,整数n-m用不超过m的数来拆分的拆分数。,展
9、开中xn-m项的系数,2.8：整数的拆分,21,例6 n个完全相同的球放到m个有区别的盒子，允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中mn。,解：第一盒，用1代表不放球，用x代表放一个球，用x2代表放两个球，。单独第一盒的母函数可构造为：1+x+x2+ +xn+,其它盒也有同样的情况，共m个盒子。,2.8：整数的拆分,22,例7 n个完全相同的球放到m个有区别的盒子，不允许空盒，问共有多少种不同的方案？其中mn。,解：第一盒，用1代表不放球，用x代表放一个球，用x2代表放两个球，。因为不允许空盒，因此常数项为零，单独第一盒的母函数可构造为：x+x2+ +xn+,其它盒也有同样的情况，共m个盒子。,
10、2.8：整数的拆分,23,xn-m项的系数是: C(m+n-m-1,n-m)=C(n-1,n-m)=C(n-1,m-1) 因此。方案数为C(n-1,m-1),2.8：整数的拆分,*,24,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,假设正整数n拆分成n=n1+n2+nk。 其中n1n2 n3 nk。将他们排成阶梯形，左边对齐，第一行n1格，第二行n2格，第k行nk格。,3,2,2,1,1,2,3,4,例如：8=3+2+2+1,1、什么是费勒斯图像,25,2、费勒斯（Ferres)图像的性质：,(1)每一层至少有一个格子；,(3)行与列互换，即第1行与第1列互换，第2行与第2列互换，,也就是沿对角线旋
11、转180，仍然是费勒斯图像；,后一个费勒斯图像称为前一个费勒斯图像的共轭图像，而且互为共轭。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,(2)下一层的格数不多于上一层的格子数；,26,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,3,2,2,1,1,2,3,4,3、费勒斯图像对拆分数的讨论,例如：8=3+2+2+1,27,定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。,(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。,推论:如下拆分数相同 (1)正整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数， (2)正整数n拆分成最大数不超过m的数的拆分数。,2.9 费勒斯（Ferrer
12、s)图像,28,定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。,(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,29,推论:正整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，等于将n拆分成最大数不超过m的数的拆分数。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,30,拆分成正好m个数的拆分数。,拆分成不超m个数的拆分数。,拆分成不超m-1个数的拆分数。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,31,定理2.9.2 整数n拆分成互不相同的若干奇数和的拆分数，与n拆分成有自共轭费勒斯图像的拆分数相等。这里所讲的自共轭费勒斯图像是指共轭
13、图像与原图像一致。,每一个奇数都与右图这样的自共轭费勒斯图像一一对应。,n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nk+1),任何一个奇数都可表示成2n+1这种形式。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,32,例如：17=9+5+3，求所对应的自共轭费勒斯图像。,首先将9写成24+1,按此构造自共轭费勒斯图像。,将5写成22+1,按此构造自共轭费勒斯图像。,将3写成21+1,按此构造自共轭费勒斯图像。,将这三个图像结合起来就得到了我们所要求的图像。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,33,n拆分成若干奇数和可以如下表示： n=(2n1+1)+(2n2+1)+(2nk+1),构造一个Ferrers图像，其第一行，第一列都是n1+1格，对应于2n1+1，,第二行，第二列各n2+2格，对应于2n2+1。,以此类推。由此得到的Ferres图像是自共轭的。,2.9 费勒斯（Ferrers)图像,34,例1 若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚，问能称出几种可能的重量。,解：,单独1克砝码的母函数为1+x 单独2克砝码的母函数为1+x2， 单独3克砝码的母函数为1+x3, 单独4克砝码的母函数为1+x4。,2.8：整数的拆分,（1+x)(1+x2)(1+x3)(1+x4) =1+x+x2+2x3+2x4+2x5+2x6+2x7+x8+x9+x10,