自考概率论课件第一章事件及其概率1.ppt

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1、2019年2月26日,1,概率论与数理统计 （经管类）,武汉大学出版社【2006年版】,2019年2月26日,2,目 录,1.随机事件与概率 2.随机变量及其概率分布 3.多维随机变量及其概率分布 4.随机变量的数字特征 5.大数定律及中心极限定理 6.统计量及其抽样分布 7.参数估计 8.假设检验 9.回归分析,2019年2月26日,3,引 言,一、概率论的发展史,1.起源阶段,17世纪中叶，赌博已风靡了欧洲。摩纳哥的蒙特卡洛城是世界闻名的大赌城，那里云集了世界各国的赌徒们.他们提出了一些赌博中的难题求教于当时的数学家：帕斯卡、费马、高斯等，希望他们能揭示其中的弊端，指点迷津.为此数学家们进

2、行了探讨，从而开创了一门新的数学分支概率论.1657年荷兰的惠更斯发表的论赌博中的计算大概要算古典概率中的最早的著作.,2019年2月26日,4,2.直观认识阶段,概率论的蓬勃发展是19世纪末的事情，随着生产和自然科学的发展，概率论在物理学、社会保险事业（人寿保险）和大规模的工业生产中得到应用，应用的同时使之得到发展，广泛地应用了微积分、微分方程、代数和几何的工具。但此时概率论不是一门成熟的学科，它的基本概念缺乏严格定义，仅仅停留在直观的基础上。,2019年2月26日,5,3.公理化阶段,20世纪30年代，概率论建立了严格的公理化系统（柯尔莫哥洛夫）。具体地说：用集合定义了事件，用测度定义概率

3、，用可测函数定义随机变量和随机过程，用积分定义数学期望等，使概率论日趋成熟与完善。,应用概率论解决实际问题的方法称为统计方法。,2019年2月26日,6,二、应用,1.大批产品的质量估计与控制 2.误差理论 3.气象、地震的预测（如：气象统计学） 4.水文“水文统计学” 5.公共服务事业：保险（保险精算）、排队论 6.投资理论,2019年2月26日,7,三、概率论研究的对象,概率论与数理统计是一门研究随机现象量的规律性的数学学科。,那么，什么叫随机现象？请看下面两个试验：,试验1.一个盒子有10个完全相同的白球，搅匀从中任取一个球。结果如何？,试验2.一个盒子有10个大小、质地完全相同的球,其

4、中5个白球，5个黑球,搅匀从中任取一个球。结果又如何?,试验1的结果是确定性现象，试验2的结果就是随机现象。,2019年2月26日,8,确定性现象：在给定条件下一定会发生或一定不会发生的现象. 随机现象：在给定条件下可能发生也可能不发生的现象.,例 1 (1)太阳从东方升起； (2)边长为a的正方形的面积为a2 ； (3)一袋中有10个白球，今从中任取一球为白球；,例 2 (4)掷一枚硬币，正面向上； (5)掷一枚骰子，向上的点数为2 ； (6)一袋中有5个白球3个黑球，今从中任取一球为白球.,确定性现象与随机现象,2019年2月26日,9,第一章 随机事件及其概率,1.1 随机事件及其运算,

5、试验：为了研究随机现象，对客观事物进行观察的过程.,1. 随机试验,随机试验：具有以下特点的试验称为随机试验，用E表示. （1）在相同的条件下可以重复进行；（可重复性） （2）每次试验的结果不止一个，并且在试验之前可以明确 试验所有可能的结果；（结果的非单一性或多结果性） （3）在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一 种结果。（随机性） 注意：今后所说的试验 均指随机试验，且是广泛的术语.,一、随机事件,2019年2月26日,10,2. 随机事件：随机试验的结果称为事件. 每 次试验中，可能发生也可能不发生，而在大量试验中具有某种规律性的现象称为随机事件.用A,B,C等表示. 注意：1

6、.今后所指的事件均指随机事件. 2.试验的结果也叫随机现象，随机现象即 随机事件.,2019年2月26日,11,随机事件的分类：,(1)基本事件：对于试验目的而言不可再细分的试验结果. (2)复合事件：由若干个基本事件构成的事件. (3)必然事件：每次试验中一定发生的事件. (4)不可能事件：每次试验中一定不发生的事件.,例1. 掷一枚均匀的骰子，=点数小于等于6, A=点数为4, B=偶数点，C=点数不大于3, =点数为8 则基本事件为? 复合事件为？必然事件为？不可能事件为？,注意：（1）基本事件、复合事件、必然事件、不可能事件是相对 于试验条件而言. （2）必然事件、不可能事件是确定性事

7、件，是随机事件的 极端情况. （3）事件A发生：当且仅当事件A中的一个基本事件出现.,2019年2月26日,12,3. 样本空间：所有的基本事件组成的集合，用表示. 样本点：样本空间中的每一个元素为一个样本点. 用表示. 例:掷硬币=正面，反面；“正面”是一个样本点. 掷骰子=1,2,3,4,5,6；“1”是一个样本点. 可见：样本空间作为事件即必然事件； 样本点即基本事件.,2019年2月26日,13,例1. 掷一枚均匀的骰子，观察向上的点数， =？ =1，2，3，4，5，6 例2 .在某段时间内，考察车站候车的旅客数， =？ =0，1，2，3. 例3 .向区间a, b内随机的投一质点，观察

8、落点的坐标， =a, b 例4 .同时掷两枚均匀的硬币， 1表示“正面向上”， 0表示“反面向上”，=？ =(0 , 0 ), (1 , 0 ), (0 , 1 ), (1 , 1 ) 例5 .向平面上随机的投一质点，观察落点的坐标，=？ =(x,y),2019年2月26日,14,二、事件的集合表示 我们用点集的概念与图示方法来研究事件之间的关系和运算，会比较直观，容易理解. 规定：样本空间 全部样本点的集合 全集 基本事件 一个样本点的集合，即单点集. 复合事件 多个样本点的集合 不可能事件 不含任何样本点的集合 空集,所谓事件A发生，当且仅当A中的某个样本点出现.,2019年2月26日,1

9、5,三、事件间的关系及运算,因为任一随机事件都是样本空间的一个子集，所以事件的关系和运算与集合的关系和运算完全类似.,1.事件的包含与相等,事件A发生必然导致事件B发生，则称事件B 包含事件A，或称事件A包含于事件B ，记为A B 或 B A.,样本空间,B,A,属于 A 的 必然属于 B,注：对任一事件 A 有： A ,当事件包含事件且事件也包含事件时，则称事件与事件相等.记为=.,2019年2月26日,16,样本空间,2. 事件的并（和）,“两事件与中至少有一个发生” 这一事件称为事件与的并（和）.记为： 或+.,中的样本点是中的样本点与中的样本点的合并,例如：掷一枚骰子，A =奇数点，B

10、=点数小于4.,则：AB=1，3，51，2，3,注意,=1，2，3，5,(1)+A, A+A=A, A+ = .,2019年2月26日,17,样本空间,A,B,3. 事件的交（积）,“两事件与都发生” 这一事件称为事件与的交（积）. 记为：或.,是由与中公共的样本点构成.,AB,A,则=1, 3, 51, 2, 3 =1， 3,例如：掷一枚骰子，A =奇数点，B=点数小于4.,注意 A，A=A， = ， =A .,事件的并与交可推广：,2019年2月26日,18,4.事件的差,事件发生而事件不发生，这一事件称为事件A与事 件B的差，记为：AB.即：AB是把A中属于B的元素去掉.,5. 事件的互

11、不相容（互斥）,若两事件与不能同时发生，即AB=，则 称事件与是互不相容的（或互斥的）.,注：任意两个基本事件之间互不相容,样本空间,A,B,如：掷一枚骰子，A=偶数点，B=小于5的奇数点，A与B互斥.,注意 一般地AB=AAB,2019年2月26日,19,若 n 个事件 A1，A2，An 中任两个都不可能同时发生，即：AiAj=，(1ijn)， 则称这 n 个事件是两两互不相容的（或互斥的）. 可以进一步推广到无穷可列个事件两两互不相容.,*事件的互不相容的推广,书上说“A1，A2，An互不相容”,2019年2月26日,20,样本空间, A,6. 对立事件（逆事件）,若事件与互不相容，且它们

12、的和是必然事件， 即 （1） AB=（2） AB=（或A+B=）,则 称事件与是对立事件，称事件(事件)是事件 (事件)的对立事件(逆事件).记为：,A,2019年2月26日,21, 注 (1）对立事件是相互的:A是A的对立事件，A也是A 的对立事件 ，即：,（2）一般 A B = A AB =,（3） 对立事件与互不相容事件的联系与区别,0 两事件对立，必互不相容，反之不然.,2019年2月26日,22,在例1中，设Ai=取到i号球，(i=1,2,10),7. 完备事件组,若 n个事件A1，A2，An两两互不相容，且 Ai = 即： (1) A1A2An = (2) AiAj=，(1ijn)

13、， 称这 n 个事件构成一个完备事件组（或的一个划分）,则每个事件Ai是基本事件，且 Ai=， 即全体Ai构成完备事件组.,注：样本空间中全体基本事件构成完备事件组.,2019年2月26日,23,四、事件间的运算律,（1）交换律 = = （2）结合律 () C=(C) () C=(C) （3）分配律 () C=(C) (C) () C=(C)(C) （4）对偶律,2019年2月26日,24,例1-4(P6)设A、B、C是3个事件，试用事件的运算符号表示下列事件： (1)只有A发生 (2) A、B、C都发生 (3) A、B、C都不发生 (4) A、B、C 中至少有一个发生 (5) A、B、C中恰

14、有一个发生,2019年2月26日,25,例1-5(P6) 某射手向一目标射击3次，Ai表示“第i次射击命中目标”，i=1,2,3.则,(1)三次都没有命中,(2)三次恰好命中一次,(3)三次恰好命中两次,(4)三次都命中,2019年2月26日,26,1.2 事 件 的 概 率,一、频率与概率【P7-8】,二、古典概型（概率的古典定义）,例1 一个袋子中装有10个大小、形状完全相同的球，编号 分别为 1-10，现从中任取一球.,用i表示取到i号球，i = 1, 2, , 10，则该试验的样本空间 = 1,2,10（有限多个样本点）,且每个样本点出现的可能性相同（1/10）.,再如：掷一枚均匀的硬

15、币；掷一枚骰子,2019年2月26日,27,若一随机试验满足下述两个条件：,1) 样本空间只含有有限多个样本点（有限性）；,2）每个样本点出现的可能性相等（等可能性）.,则称这种随机试验为古典概型.,即：,概率的古典定义,在古典概型中，如果样本空间含n个样本点（基本事件） 事件A中包含m个样本点，则定义事件的概率 P(A)为：,2019年2月26日,28,例1-7 (P9)掷一枚均匀的骰子，求出现奇数点的概率.,解：A“出现奇数点”，,则,例1-8 (P9)将一枚均匀的硬币抛掷3次，设A “恰有1次出现正面”，B “3次均出现正面”，C “至少1次出现正面”求P(A), P(B), P(C).

16、,解：,中含有23=8个样本点，,A中含有3个样本点，,B中含有1个样本点，,C中含有7个样本点，,2019年2月26日,29,例1-9 (P10)从0至9中任选3个不同的数字，求3个数字中不含0和5的概率.,解：A“3个数字中不含0和5”，,则,例1-9 (P10)从1至9中任取一数，取后放回,下次再取一个，求取出的两个数字不同的概率.,中含有 个样本点，,中含有 个样本点，,其中，,解：A“取出的两个数字不同”，则,2019年2月26日,30,例1-11 (P10)袋中有5个白球3个黑球，从中任取2个，求: (1)取出的2个球都是白球的概率；(2)2个球1个白球1个黑球的概率；(3)颜色相

17、同的概率.,解：A“2个球都是白球”，B“1个白球1个黑球”，C“2球颜色相同”，,则,中含有 个样本点，,中含有 个样本点，,B中含有 个样本点，,C中含有 个样本点，,2019年2月26日,31,练习：把10本书任意地放在书架上，求其中指定的3本书放在一起的概率. 解：设A“其中指定的三本书放在一起”，则 样本空间含样本点总数=10！ A中包含样本点个数=3！8！ 所以,2019年2月26日,32,定义：设试验的样本空间为，设对每个事件A,都有一个实数P(A)与之对应，满足下列三条公理：,(3)完全可加性（可列可加性）:若Ak (k=1，2，) 两两互不相容，则,(1)非负性：对于任一事件

18、A，都有 0P(A)1；,则称函数P(A)为事件A的概率.,三、概率的公理化定义与性质,(2) 规范性：P( )=1；,2019年2月26日,33,概率的重要性质,性质2 (有限可加性) 若A1，A2，, An 两两互不相容,则,推论2 若A1，A2，,An 构成完备事件组,则,性质1 不可能事件的概率为零，即P( )=0.,反之不然.,推论1 若事件A, B互不相容，则P(A+B)=P(A)+P(B);,性质4 若, 则 P(A-B)=P(A)-P(B) , 且P(A)P(B).,一般地，对任意, 有 P(A-B)=P(A)-P(AB).,因A-B=A-AB,2019年2月26日,34,证明

19、 因 A+B=A+(B-AB) 且 A(B-AB)=,性质 对任意事件A,B ,有P(A+B)=P(A)P(B)-P(AB).,推广:,= P(A)+ P(B)- P(AB),P(A+B)=PA+(B-AB),注 若A与B互斥,P(AB)=0,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC),而 B AB,加法法则,P(A+B)=P(A)P(B),=P(A)+P(B-AB),2019年2月26日,35,解：设 A表示“至少有两件产品等级相同”.,例(补)一批产品共20件，其中一等品6件,二等品10件,三等品4件.从中任取3件,求至少有两件产品等级

20、相同的概率？,表示“3件产品等级全不相同”,2019年2月26日,36,例1-14（P12)设A, B为两个随机事件，P(A)=0.5,即 0.8=0.5+P(B)-0.3,解：,P(AB)=0.8, P(AB)=0.3, 求P(B).,因为 P(AB)= P(A)+P(B) - P(AB)，,所以，P(B)=0.6,例1-15（P12)设A, B为两个随机事件,P(A)=0.8, P(AB)=0.5,解：因为,=0.8-0.5=0.3,例1-16（P12)设A, B互不相容,P(A)=0.5, P(B)=0.3,解：因为,而P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8,=1-0.8=0.2,20

21、19年2月26日,37,1.3 条件概率,一、条件概率与乘法公式,令 =有一个男孩，=有一个女孩.,引例 考察有两个小孩的家庭,已知其中有一个是女孩,问另一个是男孩的概率.,则,=(男，男) 、(男，女)、(女，男)、(女，女),A=(男，男)、(男，女)、(女，男),B=(男，女)、(女，男)、(女，女),其中有一个是女孩,另一个是男孩的概率为,B,A,即P(A|B)=2/3.,2019年2月26日,38,1.条件概率的定义,定义 设P(B)0，在事件B已经发生的条件下,事件A发生的概率,称为事件A对B的条件概率, 记P(A|B).,注,(1) P(A)称为无条件概率，一般 P(A)P(A|

22、B).,(2)性质：设P(B)0，,P(|B)=1， P(|B)=0.,对于任一事件A,都有 0P(A|B)1.,2. 条件概率的计算,两种方法：按定义直接计算；按公式计算,2019年2月26日,39,例1 全年级100名学生中，有男生（A表示）80人，女生20人； 来自北京的（B表示）有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语 的（C表示）40人中有32名男生.求下列事件的概率：P(A),P(B), P(C)，P(AB), P(AC), P(A|B), P(B|A), P(C|A),解：,P(A|B)=12/20，,P(B|A)=12/80，,=12/80.,P(AB)=12/100，,P

23、(AC)=32/100.,P(C|A)=32/80，,2019年2月26日,40,例2 在全部产品中，有4%是废品，有72%为一等品.现从其中任取一件为合格品，求它是一等品的概率.,解：设A表示“合格品”，B“一等品”.,P14例1-18,由题设知，,P(A)=1-4%=96%,P(AB)=72%,练习：P14例1-19,1-20.,2019年2月26日,41,对任意两事件A、B，都有 P(AB)=P(A)P(B|A) ( P(A)0 ),2.乘 法 公 式,P(AB)=P(B)P(A|B) ( P(B)0 ),推广,P(ABC)= P(A)P(B|A)P(C|AB),例1-21 在10个产品

24、中，有2个次品，不放回抽取2次，每次取一个，求取到的2件都是次品的概率.,解：设A“第一次取到次品”，B“第二次取到次品”,AB,由乘法公式：,P(AB)=P(A)P(B|A),再求第二次才取到次品的概率？,练习：P15例1-22,2019年2月26日,42,例1-23 设P(A)=0.8, P(B)=0.4, P(B|A)=0.25，求P(A|B).,解：,P(AB)=P(A)P(B|A),=0.80.25=0.2,P17习题1.3,解：,0.3=0.5-P(AB),P(AB)=0.2，,P(AB)=P(A)P(B|A),解：,=1/12，,P(B)=1/2,P(AB)=P(A)+P(B)-

25、P(AB)=,2/3,2019年2月26日,43,例 市场上供应的灯泡中，甲厂占60%，乙厂占40%.甲厂产品的合格品率为90%，乙厂产品的合格品率为80%.求：(1)从市场上买一灯泡是甲厂生产的合格品的概率；(2)从市场上买一灯泡是乙厂生产的合格品的概率.,解:记A“甲厂生产的灯泡”, B“合格灯泡”.,由已知:,(1) P(AB)= P(A)P(B|A),AB“甲厂产的合格品”,“乙厂产的合格品”,= 0.60.9 = 0.54 .,(2),= 0.40.8 = 0.32 .,问题：如何求市场上灯泡的合格品率P(B)？,全概率公式,= 0.60.9+0.40.8=0.86.,2019年2月

26、26日,44,二、全概率公式与Bayes公式,全概率公式 设A1, A2, , An 构成一个完备事件组，并且 P(Ai)0, i=1,2, n, 则任意事件B的概率为,证明：,Bayes公式,2019年2月26日,45,使用全概率公式时，应注意以下三点：,1.在较复杂情况下直接计算P(B)不易，将B分解成互斥事件AiB的和，所以在使用全概率公式时，关键在于寻找完备事件组A1，A2，就是寻找导致B发生的各种原因，或伴随B发生的各种情况.,2.定理的条件可以降低为 ：,3.若试验可看作分两个阶段进行，而第一阶段有多种可能的结果（即不确定的），要求的是第二阶段中某个结果B发生的概率，就用全概率公式

27、.,2019年2月26日,46,解： 设A“第一次取出的是白球；,例1-24（P15）盒中有5个白球3个黑球，连续不放回地从中取两次，每次取一个球，求第二次取到白球的概率.,“第一次取出的球是黑球.,B“第二次取出的球是白球”.,由全概率公式得：,2019年2月26日,47,例1-25（P162）某工厂中有甲、 乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，且各自生产的产品中废品率分别占5%，4%，3%.求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率.,设A1,A2,A3分别表示“甲,乙,丙三台机器生产的产品” ，,解,由全概率公式得：,=0.30.05+0.350.04+

28、0.350.03= 0.0395,B “废品”,P(B)= P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3),2019年2月26日,48,例(补)某厂有四条流水线生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%.又这四条流水线的不合格率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从出厂产品中任取一件，求恰好取到不合格品的概率;,解: Ai“第i条流水线生产的产品” (i=1，2，3，4),B “不合格品”.,由题设知：,P(A1)=0.15, P(A2)=0.2, P(A3)=0.3, P(A4)=0.35;,P(B|A1)=0.05, P(

29、B|A2)=0.04, P(B|A3)=0.03, P(B|A4)=0.02 .,则,=0.150.05 +0.20.04+0.30.03+0.350.02,=0.0315,2019年2月26日,49,实际中还有一类问题“已知结果求原因”.这类问题在实际中常见(如流水线追究责任问题),已知某结果发生的条件下，求各原因发生的可能性大小，即求条件概率.贝叶斯公式就解决这类问题.,某厂有四条流水线生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%.又这四条流水线的不合格率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从出厂产品中任取一件,结果是次品,问该次品属于第四条流水线生产的可

30、能性有多大？,B,P(A4|B)=,2019年2月26日,50,例1-29 (P17) 针对某疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈现阳性反应.设人群中有1%的人患有这种病.若某人做化验呈现阳性反应，则他确患该病的概率是多少？,要求P(A|B).,解：设A“患病”,B“化验呈阳性反应”.,人,有病,无病,阳性,阴性,阳性,阴性,1%,90%,5%,由全概率公式得：,=1%90%+,99%5%=,0.0585,2019年2月26日,51,练习：有朋友自远方来，他坐火车、船、汽车、飞机的可能性 分别是0.3、0.2、0.1和0.4，如果他坐火车、船、汽车来的话，

31、 迟到的概率分别是 1/4、1/3、1/12，而坐飞机不会迟到.结果 他迟到了，问他坐火车来的概率是多少？,解：设A1“坐火车”，A2“坐船”，A3“坐汽车”，A4“坐飞机”， B“迟到”.,由贝叶斯公式得：,P(A1)=0.3， P(A2)=0.2， P(A3)=0.1， P(A4)=0.4,P(B|A1)=1/4， P(B|A2)=1/3， P(B|A3)=1/12， P(B|A4)=0,要求P(A1|B),2019年2月26日,52,用P(AB)=P(A)P(B)来刻划独立性更方便，它不受P(B)是否为0的制约，而且，式中事件A与B的地位对称，反映了独立的相互性.,一般地，P(A|B)

32、P(A) ，当P(A|B) =P(A) 时，意味着事件B发生与否不影响事件A的概率，从这个意义上讲，A对于B是独立的. 反之亦然.,P(A)=P(A|B),1.4 事件的独立性,P(AB)=P(A)P(B) ( P(A)0, P(B) 0 ),一、事件的独立性,1.定义 若P(AB)=P(A)P(B)，,则称事件A与B相互独立.,必然事件与任意事件A独立；不可能事件与A独立.,2019年2月26日,53,3.多个事件的独立性,（1）三个事件独立的定义：,若事件A、B、C满足下列等式,则称A、B、C相互独立.,A、B、C两两独立.,注,(1)由A、B、C独立，可得两两独立；反之不然.,(2)由A

33、、B、C独立,P(ABC)=P(A)P(B)P(C)；,反之不然.,(3)若A、B、C独立，则它们及它们的对立事件中任一部分也独立.,也独立.,(4)若A、B、C独立，则,如：,2019年2月26日,54,2.事件A与B独立的性质,若事件A与B独立，则以下各对事件,证:,=P(A)-P(AB),=P(A) 1-P(B),都相互独立.,需证,P(A-AB),=P(A)-P(A)P(B),独立的问题有很多：射击、投篮、有放回地抽取,2019年2月26日,55,(2) n 个事件的独立性,则称事件A1 ,A2 ,An 互相独立.,定义 对于事件A1 ,A2 ,An ,若满足:,P(AiAj)=P(A

34、i)P(Aj) (1ij n),P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj)P(Ak) (1ij kn) ,P(A1A2 An)=P(A1)P(A2)P(An),（1）它们及它们的对立事件中任意一部分也是互相独立.,（2）,注 若事件A1 ,A2 ,An 互相独立，则,两两独立.,2019年2月26日,56,甲乙丙三人独立地破译密码，他们能破译出密码 的概率分别为0.45,0.55,0.6.求密码被破译的概率.,例1-33,则A+B+C表示“密码被破译”.,这就从概率的计算上证实了三个并不聪明的“臭皮匠”居然能解出90%以上的问题，聪明的诸葛亮也不过如此. “三个臭皮匠，顶一个诸葛亮”，这是对人多

35、办法多，人多智慧高的一种赞誉.,P(A+B+C) =,解：用 A，B，C分别 表示“甲、乙、丙破译出密码”.,且A，B，C相互独立.,= 1- (1- 0.45) (1- 0.55) (1- 0.60) = 0.901,2019年2月26日,57,解：设A“甲投中”，B“乙投中”，C“丙投中”.,例（补）甲、乙、丙三人各投篮一次,他们投中的概率 分别为 0.7,0.8,0.75, 求：（1）三人中恰好有一人投中的概率； （2）三人都投中的概率；（3）三人中至少有一人投中的概 .,ABC“三人都投中” ；A+B+C“三人至少有一人投中”.,(2) P(ABC)=P(A)P(B)P(C),“三人恰

36、有一人投中”；,=0.70.20.25+0.30.80.25+0.30.20.75=0.14,=0.7 0.8 0.75=0.42,(3) P(A+B+C)=1-,=1-0.3 0.2 0.25=0.985,A、B、C 独立.,2019年2月26日,58,独立性:是相对于概率而言的,指两事件发生的可能性互不影响. 互不相容: 是两个事件不可能同时发生，即没有公共的样本点， 仅就事件的结构而言的，并不涉及到事件的概率.,事件独立与事件互不相容的区别,P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB),A,B互斥,P(A+B)=P(A)+P(B),P(AB)=P(A)P(B|A),A,B独立,P(AB)

37、 = P(A) P(B),对照区别使用.,2019年2月26日,59,解：(1)当事件A与B 互不相容时，,例(P22 1.)已知 P(A+B)=0.7, P(A)=0.4,在下列两种情况下， 求 P(B). (1)当事件A与B互不相容时；(2)当事件A与B独立时.,(2)当事件A与B独立时，则 P(AB) = P(A)P(B)= 0.4 P(B),P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 0.7=0.4+P(B)-0.4P(B),故 P(B)=0.7-0.4=0.3,P(B)=0.5 .,P(A+B)=P(A)+P(B),2019年2月26日,60,事件的独立与互不相容的联系：,设两事件

38、A、B满足：0P(A)1, 0P(B)1.,若事件A与B相互独立，则A、B必相容.（独立必相容）,证明：,因为A、B独立，所以P(AB) = P(A)P(B)0.,说明事件A与B能同时发生，即A、B相容.,等价命题：若A与B不相容，则A、B必不独立.,（不相容必不独立）,2019年2月26日,61,二、Bernoulli 概型,将试验E独立重复进行n次，称为n重Bernoulli试验.,且在n重Bernoulli试验中，P(A)=p保持不变.,问题：在n重贝努里试验中,事件A发生k次的概率(0kn)？,引例：一批产品的废品率为0.1,每次取一个,观察后放回,下一次再取一个,共重复取三次,求下列

39、事件的概率: (1)三次都没有取到废品的概率；(2)三次恰有一次取到废品的概率；(3)三次恰有两次取到废品的概率；(4)三次都取废品的概率.,解：Ai表示三次中恰有i次取到废品（i=0，1，2，3）,（1）P(A0)=P(正，正，正)= 0.93 =,2019年2月26日,62,（2）A1=(废，正，正)+(正，废，正)+(正，正，废),P(A1)=P(废，正，正)+P(正，废，正)+P(正，正，废),引例：一批产品的废品率为0.1,每次取一个,观察后放回,下一次再取一个,共重复取三次,求下列事件的概率: (1)三次都没有取到废品的概率；(2)三次恰有一次取到废品的概率；(3)三次恰有两次取到

40、废品的概率；(4)三次都取废品的概率.,= 0.10.90.9 + 0.90.10.9 + 0.90.9 0.1,(3)P(A2)= P(废，废，正) + P(废，正，废) + P(正，废，废),= 0.10.10.9 + 0.10.90.1 + 0.90.1 0.1,（4）P(A3)=P(废，废，废),= 0.13,一般地，有如下定理：,2019年2月26日,63,定理1-1 设P(A)=p，则在n重贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率为：,(其中q=1-p,k=0,1,n),注：A至少发生一次的概率为：,例1-35 一射手对目标独立射击4次，每次射击命中率为0.8，求: (1)恰好命中两次

41、的概率；(2)至少命中一次的概率.,解：设A“命中”,则P(A)=0.8，n=4.,(1),=0.1536,(2)所求概率p=,=0.9984,2019年2月26日,64,第一章小结,一、基本概念 随机事件、事件的关系与运算、事件的概率、条件概率、事件独立、试验独立. 二、基本性质 概率的重要性质（加法法则）、概率的乘法法则、事件独立的性质. 三、基本算法 古典概率的计算、利用性质（加法法则、乘法法则、独立性等）计算概率、条件概率的计算、全概率公式、贝叶斯公式、贝努里概型. 四、重点与难点：全概率公式；古典概率.,2019年2月26日,65,补充作业,1.A,B,C表示三个随机事件，试以A,B

42、,C的运算关系 来表示A,B,C不全发生( ).,2.某射手向一目标射击3次，Ai表示“第i次击中目标”i=1,2,3.则事件“只有第一次击中”表示为( );“没有击中目标”表示为( ); “至少命中一次”表示为( ).,3. 将一枚骰子掷1次，朝上的点数大于4的概率为( ).,4. 将一枚硬币掷2次，正反面都出现的概率为( ).,5. 将一枚硬币掷3次，恰有一次正面出现的概率为( ).,6. 口袋里有4个白球和4个黑球，从中任取4个球，求：,(1)这4个球恰有两个白球两个黑球的概率；,(2)这4个球恰有1个白球的概率；,(3)这4个球至少有1个白球的概率；,(4)这4个球都是白球的概率.,2

43、019年2月26日,66,7. 某产品共有20个，其中3个次品.每次取1个检验，取后不放回. 求恰好两次取到的都是次品的概率.,8. 某产品共有10个，其中2个次品.每次取1个检验，取后不放回. 求两次取到一个正品一个次品的概率.,9.设事件A与B独立，P(A)=0.5, P(B)=0.3, 求P(AB), P(A+B).,10.设事件A与B互不相容,且P(A)0, P(B)0,则 ( ).,11.设事件A与B相互独立,且P(A)0, P(B)0,则 ( ).,12.已知P(A)=0.3, P(B)=0.5, P(AB)=0.7，求P(AB).,2019年2月26日,67,13.一批产品由甲、乙、丙三个厂生产，三厂产量所占比例依次为1/6，1/3，1/2.而甲、乙、丙厂产品的次品率依次为6%、6%、4%.现从该批产品中随机地抽取一件进行检查，问该件产品是次品的概率是多少？,14.某工厂有三条流水线生产同一种产品，该三条流水线的产量分别占总产量的25%，30%，45%.又这三条流水线的正品率依次为0.95、0.96、0.97.现从出厂产品中随机地抽取一件进行检查，问该件产品是正品的概率是多少？,2019年2月26日,68,