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1、独立性检验的基本思想 及初步应用,1、两个相关的概念,对于性别变量，其取值为男和女两种，这种变量的 不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量，也称为属性变量或定性变量，它们的取值一定是离散的，而且不同的取值仅表示个体所属的类别。,（1）分类变量：,定量变量的取值一定是实数，它们的取值大小有 特定的含义，不同取值之间的运算也有特定的含义。,（2）定量变量：,例如身高、体重、考试成绩等，张明的身高是180cm， 李立的身高是175cm，说明张明比李立高5（cm）,独立性检验,本节研究的是两个分类变量的独立性检验问题。,在日常生活中，我们常常关心分类变量的之间是否有关系,独立性检验
2、,独立性检验,问题:,为了调查吸烟是否对肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果（单位：人）,列联表,说明：吸烟者和不吸烟者患肺癌的可能性存在差异，吸烟者患肺癌的可能性大,0.54%,2.28%,与表格相比，二维条形图能更直观地反映出相关数据的总体状况。,1) 通过图形直观判断两个分类变量是否相关：,二维条形图,2)通过图形直观判断两个分类变量是否相关：,患肺癌 比例,不患肺癌 比例,等高条形图,独立性检验,H0： 吸烟和患肺癌之间没有关系 H1：吸烟和患肺癌之间有关系,通过数据和图表分析，得到结论是：吸烟与患肺癌有关,结论的可靠程度如何？,吸烟与患肺癌的列联表：,吸烟与患
3、肺癌的列联表：,如果“吸烟与患肺癌没有关系”，则在吸烟者中不患肺癌的比例应该与不吸烟中相应的比例应差不多，即,|ad-bc|越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱； |ad-bc|越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强.,构造一个随机变量,其中n=a+b+c+d,分析：,若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2 应该很小。,根据数据计算得到K2的观测值为,独立性检验,通过公式计算,在H0成立的情况下，统计学家估算出如下的概率：,也就是说，在H0成立的情况下，对随机变量K2进行多次观测，观测值超过6.635的频率约为0.01，是一个小概率事件.现在K2的观测值为56.632，远远大于6.635，所
4、以有理由断定H0不成立，即认为“吸烟与患肺癌有关系”,但这种判断会犯错误，犯错误的概率不会超过0.01，即我们有99的把握认为“吸烟与患肺癌有关系”.,利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.,独立性检验：,如果 ，就判断H0不成立； 否则,就判断H0成立.,即在 成立的情况下，K2 大于6.635概率非常小，近似为0.01,构造一个随机变量,作为检验在多大程度上可以认为“两个变量有关系”的标准 。,独立性检验的基本思想：,(类似于数学上的反证法，对“两个分类变量有关系”这一结论成立可信程度的判断)：,（1）假设该结论不成立，即假设结
5、论“两个分类变量 没有关系”成立.,（2）在假设条件下，计算构造的随机变量K2，如果由观测数据计算得到的K2很大，则在一定程度上说明假设不合理.,（3）根据随机变量K2的含义，可以通过（2）式评价假设不合理的程度，由实际计算出的k6.635，说明假设不合理的程度约为99%，即“两个分类有关系”这一结论成立的可信程度约为99%.,设要判断的结论为：H1：“X与Y有关系”,1、通过列联表和二维条形图，可以粗略地判断两个变量是否有关系。 不足之处：是不能给出这种判断的可靠程度，即不能给出出现这个结论犯错误的概率,2、可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度
6、。,独立性检验的一般步骤：,利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，能较精确地给出这种判断的可靠程度.,具体作法是：,（1）根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0；,（2）由观测数据计算得到随机变量K2的观测值k；,（3）如果k k0 ，就推断“X与Y有关系”，这种犯错误的概率不会超过相应的概率；否则就说样本观测数据没有提供“X与Y有关系”的充分证据.,（1）如果k10.828，就有99.9%的把握认为“X与Y有关系”；,（2）如果k7.879，就有99.5%的把握认为“X与Y有关系”；,（3）如果k6.635，就有99%的把握认为“X与Y有关系”；,（4）如果k5.024，就有97.5
7、%的把握认为“X与Y有关系”；,（5）如果k3.841，就有95%的把握认为“X与Y有关系”；,（6）如果k2.706，就有90%的把握认为“X与Y有关系”；,（7）如果k=2.706，就认为没有充分的证据显示 “X与Y有关系”.,临界值,打鼾不仅影响别人休息,而且还可能与患某种疾病有关,在某一次调查中,其中每一晚都打鼾的254人中,患心脏病的有30人,未患心脏病的有224人；在不打鼾的1379人中,患心脏病的有24人,未患心脏病的有1355人,利用图形判断打鼾与患心脏病有关吗?,【解】根据题目所给的数据得到如下22列联表：,相应的等高条形图如图:,图中两个深色的高分别表示每一晚都打鼾和不打鼾
8、的人中患心脏病的频率,从图中可以看出,每一晚都打鼾样本中患心脏病的频率明显高于不打鼾样本中患心脏病的频率,因此可以认为打鼾与患心脏病有关系.,【题后点评】在等高条形图中展示列联表数据的频率特征,比较图中两个深色条的高可以发现两者频率不一样而得出结论.这种直观判断的不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率.,在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人;女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.请你根据所给数据判定:在天气恶劣的飞行航程中,男乘客是否比女乘客更容易晕机?,【题后点评】解决一般的独立性检验问题的步骤： (1)通过
9、所给列联表确定a，b，c，d，n的值 (2)利用K2求随机变量K2 的观测值k. (3)得出两个变量X与Y是否有关系,例1.秃头与患心脏病,在某医院，因为患心脏病而住院的665名男性病人中，有214 人秃顶；而 另外772名不是因为患心脏病而住院的男性病人中有 175人秃顶。分别利用 图形和独立性检验方法判断秃顶与患心脏 病是否有关系？你所得的结论在 什么范围内有效？,解：根据题目所给数据得到如下列联表1-13：,根据联表1-13中的数据，得到,所以有99%的把握认为“秃顶患心脏病有关”。,为考察高中生的性别与是否喜欢数学课程之间的 关系，在某城市的某校高中生中随机抽取300名学生， 得到如下
10、联表：,解：在假设“性别与是否喜欢数学课程之间没有关系”的前提 下K2应该很小，并且,例2.性别与喜欢数学课,由表中数据计算K2的观测值k 4.513。在多大程度上可以认 为高中生的性别与是否喜欢数学课程之间有关系？为什么？,而我们所得到的K2的观测值k 4.513超过3.841，这就意味着 “性别与是否喜欢数学课程之间有关系”这一结论错误的可能 性约为0.05，即有95%的把握认为“性别与是否喜欢数学课程 之间有关系”。,思考：例1、2的结论是否适用于普通的对象？,在掌握了两个分类变量的独立性检验方法 之后，就可以模仿例1中的计算解决实际问 题，而没有必要画相应的图形。,图形可帮助向非专业人
11、士解释所得结果； 也可以帮助我们判断所得结果是否合理,例1这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院 的病人群体例2的结论只适合被调查的学校。 大家要注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）,独立性检验基本的思想类似反证法,(1)假设结论不成立,即“两个分类变量没有关系”. (2)在此假设下随机变量 K2 应该很能小,如果由观测数据 计算得到K2的观测值k很大,则在一定程度上说明假设 不合理. (3)根据随机变量K2的含义,可以通过 评价该假设不合理的程度,由实际计算出的, 说明假设合理的程度为99.9%,即“两个分类变量有关系”这一结论成立的可信度为约为99.9%.,122列联
12、表与等高条形图 (1)分类变量的定义 变量的不同“值”表示个体所属的_，像这样的变量称为分类变量 (2)22列联表的定义 一般地，假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为_和_，其样本频数列联表 (称为22列联表)为：,不同类别,x1，x2,y1，y2,（3）与表格相比，图形更能直观地反映出两个分类变量间是否相互影响，常用_展示列联表数据的频率特征.,等高条形图,abcd,打鼾不仅影响别人休息,而且还可能与患某种疾病有关,在某一次调查中,其中每一晚都打鼾的254人中,患心脏病的有30人,未患心脏病的有224人；在不打鼾的1379人中,患心脏病的有24人,未患心脏病的有1355人,利用图形判断
13、打鼾与患心脏病有关吗?,【解】根据题目所给的数据得到如下22列联表：,相应的等高条形图如图:,图中两个深色的高分别表示每一晚都打鼾和不打鼾的人中患心脏病的频率,从图中可以看出,每一晚都打鼾样本中患心脏病的频率明显高于不打鼾样本中患心脏病的频率,因此可以认为打鼾与患心脏病有关系.,【题后点评】在等高条形图中展示列联表数据的频率特征,比较图中两个深色条的高可以发现两者频率不一样而得出结论.这种直观判断的不足之处在于不能给出推断“两个分类变量有关系”犯错误的概率.,在一次天气恶劣的飞行航程中,调查了男女乘客在飞机上晕机的情况:男乘客晕机的有24人,不晕机的有31人;女乘客晕机的有8人,不晕机的有26人.请你根据所给数据判定:在天气恶劣的飞行航程中,男乘客是否比女乘客更容易晕机?,【题后点评】解决一般的独立性检验问题的步骤： (1)通过所给列联表确定a，b，c，d，n的值 (2)利用K2求随机变量K2 的观测值k. (3)得出两个变量X与Y是否有关系,某单位餐厅的固定餐椅经常有损坏,于是该单位领导决定在餐厅墙壁上张贴文明标语,并对文明标语张贴前后餐椅的损坏情况作了一个统计,具体数据如下:,