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1、实验四:动物养殖问题,莱斯利矩阵模型 实验任务与操作 思考题与练习题 直线族及其包络绘图, ,莱斯利于1945年提出用于预测单种群生物数量增长的矩阵模型。,将一个生物种群按年龄分为 m 个年龄组。设 xk( t ) 表示 t 时刻第 k 个年龄组的生物数量, xk(0)是初始时刻数量。生物数量向量,随时间 t = 0, t1, t2, t3, 变化规律用矩阵,描述。即,P.H.Leslie 1900-1974,某种动物最大年龄为15岁,将其分为三个年龄组：第一组05岁；第二组610岁；第三组1115岁。第二组在其年龄段平均繁殖4个后代,第三组平均繁殖3个后代。第一和第二组五年的存活率分别为0.
2、5和0.25。现有三个年龄组动物各1000，计算5年后、10年后、15年后各年龄组动物数量。,X(k+1)=L X(k),设 t0 = 0, t1 = 5, t2 = 10, t3 = 15. 各年龄组动物数量 x1(k)=x1(tk), x2(k)= x2(tk), x3(k)= x3(tk),x1(0),x2(0),x3(0),x3(1)=0.25x2(0),x1(1)=4x2(0)+3x3(0),实验任务: 以五年为一时间段，分析动物各年龄组数量变化规律. 动物数量变化趋势是无限增长还是趋于灭亡？ 3*.如果每五年向其它养殖场输送动物 C=s1 s2 s3T 要求20年后本养殖场动物不灭
3、绝，C 取多少为好？,现有三个组的动物各1000,计算第5年、第10年、第15年后各个周龄的动物数量,开始时刻 X(0) = 1000, 1000, 1000T,实验任务一:动物数量变化规律计算,function X=animal(n) L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; X=1000;1000;1000; P=X; for k=1:n X=L*X;P=P,X; end figure(1),bar(P(1,:) figure(2),bar(P(2,:) figure(3),bar(P(3,:),调用函数 X=animal(12) X =314754.15 143543.21 1
4、6547.12,L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; P,lamda=eig(L),L 的主特征值,主特征值特征向量试验与注记,p1=P(:,1);d=sum(p1); p=p1/d X0=p*3000,P= 0.95 0.93 0.23 0.32 -0.36 -0.59 0.05 0.07 0.77,Lamda= 1.50 0 0 0 -1.31 0 0 0 -0.19,X0= 2160.00 720.00 120.00,动物数量按年龄显示出倒金字塔结构,2160 720 120,主特征值:,三个线性无关特征向量:,取,初始时刻:,通项:,取 n=3 2160. 3240. 4
5、860. 7290 720. 1080. 1620. 2430. 120. 180. 270. 405.,function P=animal(n) L=0 4 3;0.5 0 0;0 0.25 0; X=1000;1000;1000; P=X; for k=1:n X=L*X;P=P,X; end figure(1),bar(P(1,:) figure(2),bar(P(2,:) figure(3),bar(P(3,:),实验任务三：每五年平均向市场供应动物 C = s1 s2 s3T 修正数学模型,X(k+1) = L X(k) C , (k = 0, 1,2,3),X(1) = L X(0
6、) C, X(2) = L X(1) C X(3) = L X(2) C, X(4) = L X(3) C,X(2) = L2 X(0) LC C X(3) = L3 X(0) L2C LC C X(4) = L4 X(0) L3C L2C LC C,X(4) = L4 X(0) (L3 + L2 + L + I ) C,思考与练习,1.何为矩阵的主特征值？在动物养殖问题中,莱斯利矩阵的主特征值如何影响动物数量变化？ 2.莱斯利矩阵反映的是一种精确变化的规律,这一数学模型有何缺点？ 3.动物养殖过程中各年龄组的数量是整数,而数学模型所反映的是实数,应该怎样调整? 如何描述动物不灭绝？,所有切线
7、构成直线族,原来曲线成为直线族的包络。,直线簇及其包络实验,当第一象限曲线为单减凹曲线时，曲线的切线位于曲线下方。,设有星形曲线,参数方程,(x，y)处点斜式方程,曲线的切线斜率,将参数方程代入，得,X轴上点: (cos t , 0 ),Y轴上点: ( 0 , sin t ),function starlin(N) if nargin=0,N=20;end t=linspace(0,pi/2,N); %确定参数值 x=cos(t).3; %计算曲线坐标 y=sin(t).3; O=zeros(1,N); X=cos(t);O; %创建X坐标矩阵 Y=O;sin(t); %创建Y坐标矩阵 figure(1),plot(X,Y,r, x,y,k) figure(2),plot(X,-X,-X,X,Y,Y,-Y,-Y,r) axis off,附注,Note,