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1、时间尺度上具分布滞量的二阶半线性动力方程的振动性数学与应用数学专业 学生：曹慧霞 指导老师：曾云辉摘 要：本文研究了一类时间尺度上具有分布滞量的二阶半线性阻尼动力方程的振动性质，通过引入参数函数，广义Riccati变换和Yang不等式技巧等方法，给出了此类方程所有解振动的充分条件，所得结果的推广和改进了已有文献的结果.关键词：时间尺度；分布滞量；半线性；振动性1 引言本文讨论如下的一类时间尺度上具有分布滞量的二阶半线性动力方程 （1）的振动性质，其中, 在本文中假设：时间尺度(它是实数域R上的非空闭子集) 是无上界的，设我们定义时间尺度区间 ；是正的实值连续函数, 满足，且最终不恒为零，在上对
2、第二个变量有连续偏导数，即；关于分别是上严格递增的，且有与方程（1）中的积分是Stieljes积分. 满足. 2 主要引理：引理2.1 如果,即是实值连续函数,并且对于任意的，满足,则初值问题在上有唯一的正解.这个“指数函数”满足半群性.引理2.2 假设是严格递增函数,并且时间尺度设如果对任意的存在,则 （2） 引理2.3 设是可微的,并且最终为正或最终为负,则 （3）引理2.4 设均为非负实数, 则对于任意的， （4）当且仅当时等号成立.引理2.5 假设条件和(5)成立.设是方程(1)的一个最终正解.则存在使得当时，则 （5）证明 假设方程(1)在上有一个非振动解,不妨设存在使得当时,有,(
3、时同理可证).下证若不然，对，当时有，令,则 从而有 （6）对（6）在上积分，可得，也就是，其中是常数.故, （7）对方程(7)在上积分，得令，并结合（5）有这与假设矛盾，所以.证毕.3 主要结果及证明定理3.1 假设条件和(5)成立。如果存在一个正的可微函数 使得 （8）成立, 则方程(1)在上是振动的.证明 假设方程(1)在上有一个非振动解,不妨设存在使得当时,有,(时同理可证).由引理2.5,又由是关于是非减的，因此从而有下证.由即所以 即所以， （9）为书写方便，我们记，（下同） 则（9）式可简写， （10）应用前几个引理及文献，在上，有, （11）成立.从而 .由上式和式（11）的第
4、一个不等式，即可得到在上， （12） 在上定义函数为， （13）则在上，有.于是，有，得即在上，下式成立.证毕.定理3.2 假设条件和(5)成立.如果存在正的可微函数和常数，使得 （14）成立，则方程（1）在上是振动的.证明 假设方程(1)在上有一个非振动解.不妨设存在，使得当时，有.类似于定理3.1的证明, 我们得到式(14).由式(14)可知, 在上,下式成立，因此对于，有 由上式得，对于，有证毕.5.例：考虑方程（15）在方程（15）中，条件（）和（）显然成立.因为当时，则条件()是成立的，接下来由文献15,引理2和条件（）得，当时，因此，当时，= .从而当时，令，则当时，=.因此条件（
5、8）是成立的，有定理3.1知，方程（15）是振动的.【参考文献】1 Hilger S. Analysis on measure chains-a unied approach to continuous and discrete calculusJ. Results Math,1990, 18:18-56.2 Agarwal R P, Bohner M, Grace S R, et al. Discrete Oscillation TheoryM. New York: Hindawi Publishing Corporation,2005.3 Bohner M, Peterson A. Adv
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12、amic equations on time scalesJMath.Anal.Appl.330(2007)1317-1337.Oscillation for Second-order Half-linea Dynamic Equations with Distributed Deviating Arguments on time scalesSpecialty: Mathematics and Applied MathematicsAuthor: Cao Huixia Tutor : Zeng YunhuiAbstract：In this paper, oscillation of a cl
13、ass of second-order half-linear dynamic equations with distributed deviating arguments on time scales was discussed.By means of parametric function the generalized Riccati transformation and the function inequality technique. Some sufficient conditions were obtained for all solutions to the equation. The results generalized and improved some known ones in literatures. Keywords: time scales; distributed deviating arguments; half-linear; oscillation