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1、第6章 常微分方程,对自然界的深刻研究,傅里叶,微积分研究的对象是函数关系,但在实际问题中,往往很难直接得到,所研究的变量之间的函数关系,却,比较容易建立起,这些变量与它们的导数或微分之,间的联系,从而得到一个,分的方程,即微分方程.,通过求解这种方程,同样可,以找到指定未知量之间的函数关系.,因此,微分方程是数学联,关于未知函数的导数或微,是数学最富饶的源泉.,系实际,并应用于实际,并应用于实际的重要途径和桥梁,是各个学科进行,科学研究的强有力的工具.,如果说“数学是一门理性思维的科学,是研究、,了,解和知晓现实世界的工具”,那么微分方程就是,显示数学的这种威力和价值的一种体现.,现实世界中
2、的许,多实际问题,都可以抽象为微分,方程问题.例如,物体,的冷却、,琴弦的,震动、电磁波的传播等,都可以归结为微分方程,的问题.,人口的增长、,微分方程是一门独立的数学学科,有完整的,理论体系.,本章我们主要介绍微分方程的一些基本概念,种常用的微分方程的求解方法,线性微分方程,解的理论.,几,这时微分方程也称为,所研究问题的数学模型.,解,一、问题的提出,6.1 微分方程的基本概念,解,代入条件后知,故,开始制动到列车完全停住共需,微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.,例,实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或微分)之间的关系式.,二、微分方程的定义,微分方
3、程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称之.,分类1: 常微分方程, 偏常微分方程.,一阶微分方程,高阶(n)微分方程,分类2:,分类3: 线性与非线性微分方程.,分类4: 单个微分方程与微分方程组.,微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称之.,微分方程的解的分类：,三、主要问题-求方程的解,(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同.,(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解.,解的图象: 微分方程的积分曲线.,通解的图象: 积分曲线族.,初始条件: 用来确定任意常数的条件.,过定点的积分曲线;,一阶:,二阶:,过定点且在
4、定点的切线的斜率为定值的积分曲线.,初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.,求所满足的微分方程 .,例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q,解: 如图所示,令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标,即,点 P(x, y) 处的法线方程为,且线段 PQ 被 y 轴平分,解,所求特解为,补充:,微分方程的初等解法: 初等积分法.,求解微分方程,求积分,(通解可用初等函数或积分表示出来),例5,其中,为任意常数.,解,求曲线族所满足的方程,就是求一微分方程,所给的曲线族正好是该微分方程的积分曲线族.,此所求的微分方程的阶数应与,常数的个数相等.,这里,法来得到所求的微分方程.,已知曲线族中的任意,我们通过消去任意常数的方,得,再从,解出,代入上式得,使,因,化简即得到所求的微分方程,微分方程;,微分方程的阶;,微分方程的解;,通解;,初始条件;,特解;,初值问题;,积分曲线;,四、小结,思考题,思考题解答,中不含任意常数,故为微分方程的特解.,练 习 题,练习题答案,