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1、第6章 MATLAB符号计算,主要内容： 6.1 符号计算基础 6.2 符号导数及其应用 6.3 符号积分 6.4 级数 6.5 代数方程的符号求解 6.6 常微分方程的符号求解,6.1 符号计算基础,MATLAB中符号计算函数是数值计算函数的重载，符号计算工具箱采用的函数和数值计算的函数有一部分同名，为得到准确的在线帮助，应该用 help sym/函数名 例如： help sym/inv,6.1 符号计算基础,6.1.1 符号对象 1. 建立符号变量和符号常数 (1)sym函数 sym函数用来建立单个符号变量和符号表达式，例如，a=sym(a) 建立符号变量a，此后，用户可以在表达式中使用变
2、量a进行各种运算。 rho = sym(1+sqrt(5)/2) f = rho2-rho-1 rho = (1+sqrt(5)/2 f = (1/2+1/2*5(1/2)2-3/2-1/2*5(1/2),例6.1 考察符号变量和数值变量的差别。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c); d=sym(d); %定义4个符号变量 w=10; x=5; y=-8; z=11; %定义4个数值变量 A=a, b; c, d %建立符号矩阵A B=w, x; y, z %建立数值矩阵B det(A) %计算符号矩阵A的行列式 det(B) %计算
3、数值矩阵B的行列式 A = a, b c, d B = 10 5 -8 11,ans = a*d-b*c ans = 150,例6.2 比较符号常数与数值在代数运算时的差别。 pi1=sym(pi); k1=sym(8); k2=sym(2); k3=sym(3); % 定义符号变量 pi2=pi; r1=8; r2=2; r3=3; % 定义数值变量 sin(pi1/3) % 计算符号表达式值 sin(pi2/3) % 计算数值表达式值 sqrt(k1) % 计算符号表达式值 sqrt(r1) % 计算数值表达式值 sqrt(k3+sqrt(k2) % 计算符号表达式值 sqrt(r3+sq
4、rt(r2) % 计算数值表达式值,ans = 1/2*3(1/2) ans = 0.8660 ans = 2*2(1/2),ans = 2.8284 ans =(3+2(1/2)(1/2) ans = 2.1010,6.1 符号计算基础,(2)syms函数 syms函数的一般调用格式为： syms var1 var2 varn 函数定义符号变量var1,var2,varn等。用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符分界符()，变量间用空格而不要用逗号分隔。 syms a b c d,符号计算的结果是符号或符号表达式，如果其中的符号要用具体数值代替，可以用subs函数，例如将A中的符号a以
5、数值5代替，可以用 B=subs(A,a,5),clear; syms a b c d; A1=a,b;c,d; A2=det(A1); A3=subs(A2,a,1); A3=subs(A3,b,2); A3=subs(A3,c,3); A3=subs(A3,d,4),例6.3 计算行列式 ，当 时计算A的数值结果。,A3 = -2,6.1 符号计算基础,2. 建立符号表达式 例6.4 用两种方法建立符号表达式。 在MATLAB窗口，输入命令： U=sym(3*x2+5*y+2*x*y+6) %定义符号表达式U syms x y; %建立符号变量x、y V=3*x2+5*y+2*x*y+6
6、%定义符号表达式V 2*U-V+6 %求符号表达式的值,U = 3*x2+5*y+2*x*y+6 V = 3*x2+5*y+2*x*y+6 ans = 3*x2+5*y+2*x*y+12,例6.5 计算3阶范得蒙矩阵行列式的值。设A是一个由符号变量a,b,c确定的范得蒙矩阵。 syms a b c U=a,b,c A=1,1,1;U;U.2 %建立范得蒙符号矩阵 det(A) %计算A的行列式值,U = a, b, c A = 1, 1, 1 a, b, c a2, b2, c2 ans = b*c2-c*b2-a*c2+a*b2+a2*c-a2*b,6.1 符号计算基础,例6.6 建立x,y
7、的一般二元函数。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y; f=sym(f(x,y),f = f(x,y),6.1.2 基本的符号运算 1. 符号表达式运算 (1) 符号表达式的四则运算 例6.7 符号表达式的四则运算示例。 在 MATLAB命令窗口，输入命令： syms x y z; f=2*x+x2*x-5*x+x3 %符号表达式的结果为最简形式 f=2*x/(5*x) %符号表达式的结果为最简形式 f=(x+y)*(x-y) %符号表达式的结果不是x2-y2，而是 %(x+y)*(x-y),f =-3*x+2*x3 f =2/5 f =(x+y)*(x-y),6.1 符号计
8、算基础,(2)因式分解与展开 factor(S) 对S分解因式，S是符号表达式或符号矩阵。 expand(S) 对S进行展开，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S) 对S合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。 collect(S,v) 对S按变量v合并同类项，S是符号表达式或符号矩阵。,例6.8 对符号矩阵A的每个元素分解因式。 命令如下： syms a b x y; A=2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a*b6*x4, 3*x*y-5*x2; 4, a3-b3; factor(A) %对A的每个元素分解因式,A = 2*a2*b3*x2-4*a*b4*x3+10*a
9、*b6*x4, 3*x*y-5*x2 4, a3-b3,ans = 2*a*b3*x2*(5*b3*x2-2*b*x+a), -x*(-3*y+5*x) 4, (a-b)*(a2+a*b+b2),例6.9 计算表达式S的值。 syms x y; s=(-7*x2-8*y2)*(-x2+3*y2); expand(s) %对s展开 collect(s,x) %对s按变量x合并同类项(无同类项) factor(ans) % 对ans分解因式 expand(cos(x+y),ans =7*x4-13*x2*y2-24*y4 ans =7*x4-13*x2*y2-24*y4 ans =(8*y2+7*
10、x2)*(x2-3*y2) ans =cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y),6.1 符号计算基础,(3)表达式化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数有： simplify(S) 应用函数规则对S进行化简。 simple(S) 调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简，并显示化简过程。 例： syms x y; s=(x2+y2)2+(x2-y2)2; simple(s) %MATLAB自动调用多种函数对s进行%化简，并显示每步结果,ans = 2*x4+2*y4,6.1 符号计算基础,2. 符号矩阵运算 transpose(S) 返回S矩阵的转置矩阵。,6.1.
11、3 符号表达式中变量的确定 MATLAB中的符号可以表示符号变量和符号常数。findsym可以帮助用户查找一个符号表达式中的符号变量。该函数的调用格式为：findsym(S,n) 函数返回符号表达式S中的n个符号变量，若没有指定n，则返回S中的全部符号变量。 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确指定自变量，MATLAB将按缺省原则确定主变量并对其进行相应微积分运算。可用findsym(S,1)查找系统的缺省变量，事实上，MATLAB按离字符x最近原则确定缺省变量。,syms a x y z t findsym(sin(pi*t) ans = t findsym(x+i*y-j*z)
12、ans = x, y, z,findsym(a+y,1) returns y.,6.2 符号导数及其应用,6.2.1 函数的极限 limit函数的调用格式为：limit(f,x,a) limit函数的另一种功能是求单边极限，其调用格式为：limit(f,x,a,right) 或 limit(f,x,a,left),例6.10 求极限。 在MATLAB命令窗口，输入命令： syms a m x; f=(x(1/m)-a(1/m)/(x-a); limit(f,x,a) %求极限(1) f=(sin(a+x)-sin(a-x)/x; limit(f) %求极限(2) limit(f,inf) %求
13、f函数在x(包括+和-) %处的极限 limit(f,x,inf,left) %求极限(3) f=(sqrt(x)-sqrt(a)-sqrt(x-a)/sqrt(x*x-a*a); limit(f,x,a,right) %求极限(4),6.2 符号导数及其应用,6.2.2 符号函数求导及其应用 MATLAB中的求导的函数为： diff(f,x,n) diff 函数求函数 f 对变量 x 的 n 阶导数。参数x的用法同求极限函数limit，可以缺省，缺省值与limit相同，n的缺省值是1。,例6.11 求函数的导数。 syms a b t x y z; f=sqrt(1+exp(x); diff
14、(f) %求(1)。未指定求导变量和阶数，按缺省规则处理 f=x*cos(x); diff(f,x,2) %求(2)。求f 对x的二阶导数 diff(f,x,3) %求(2)。求f 对x的三阶导数 f1=a*cos(t); f2=b*sin(t); diff(f2)/diff(f1) %求(3)。按参数方程求导公式求y对x的导数 (diff(f1)*diff(f2,2)-diff(f1,2)*diff(f2)/(diff(f1)3 %求(3)。求y对x %的二阶导数 f=x*exp(y)/y2; diff(f,x) %求(4)。z对x的偏导数 diff(f,y) %求(4)。z对y的偏导数 f
15、=x2+y2+z2-a2; zx=-diff(f,x)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对x的偏导数 zy=-diff(f,y)/diff(f,z) %求(5)。按隐函数求导公式求z对y的偏导数,6.2 符号导数及其应用,ans = 1/2/(1+exp(x)(1/2)*exp(x) ans = -2*sin(x)-x*cos(x) ans = -3*cos(x)+x*sin(x) ans = -b*cos(t)/a/sin(t) ans = -(a*sin(t)2*b+a*cos(t)2*b)/a3/sin(t)3 ans = exp(y)/y2 ans = x*exp(
16、y)/y2-2*x*exp(y)/y3 zx = -x/z zy = -y/z,6.2 符号导数及其应用,例6.12 在曲线y=x3+3x-2上哪一点的切线与直线y=4x-1平行。 命令如下： x=sym(x); y=x3+3*x-2; %定义曲线函数 f=diff(y); %对曲线求导数 g=f-4; solve(g) %求方程f-4=0的根，即求曲线%何处的导数为4,ans = 1/3*3(1/2) -1/3*3(1/2),6.3 符号积分,6.3.1不定积分 在MATLAB中，求不定积分的函数是int，其调用格式为：int(f,x) int 函数求函数 f 对变量 x 的不定积分。参数x
17、可以缺省，缺省原则与diff函数相同。,例6.13 求不定积分。 x=sym(x); f=(3-x2)3; int(f) %求不定积分(1) f=sqrt(x3+x4); int(f) %求不定积分(2) g=simple(ans) %调用simple函数对结果化简,ans = 27*x-1/7*x7+9/5*x5-9*x3 ans = -1/48*(x3+x4)(1/2)*(-16*(x2+x)(3/2)+12*(x2+x)(1/2)*x+6*(x2+x)(1/2)-3*log(1/2+x+(x2+x)(1/2)/x/(x+1)*x)(1/2) g = 1/3*(x+1)*x)(1/2)*x
18、2+1/12*(x+1)*x)(1/2)*x-1/8*(x+1)*x)(1/2)+1/16*log(1/2+x+(x+1)*x)(1/2),6.3.2 符号函数的定积分 定积分在实际工作中有广泛的应用。在MATLAB中，定积分的计算使用函数：int(f,x,a,b),例6.14 求定积分。 x=sym(x); t=sym(t); int(abs(1-x),1,2) %求定积分(1) f=1/(1+x2); int(f,-inf,inf) %求定积分(2) int(4*t*x, x, 2, sin(t) %求定积分(3) f=x3/(x-1)100; I=int(f, 2, 3) %求定积分(4
19、) double(I) %将上述符号结果转换为数值,ans = 1/2 ans = pi ans = 2*t*(sin(t)2-4) I = 97893129180187301565519001875382615 /1192978373971185320372138406360121344 ans = 0.0821,6.3 符号积分,例6.15 求椭球的体积。 命令如下： syms a b c z; f=pi*a*b*(c2-z2)/c2; V=int(f,z,-c,c) V = 4/3*pi*a*b*c,例6.16 轴的长度为10米，若该轴的线性密度计算公式是f(x)=6+0.3x千克/米(
20、其中x为距轴的端点距离)，求轴的质量。 (1)符号函数积分。在MATLAB命令窗口，输入命令： sym x; f=6+0.3*x; m=int(f,0,10) (2)数值积分。 先建立一个函数文件fx.m： function fx=fx(x) fx=6+0.3*x; 再在MATLAB命令窗口，输入命令： m=quad(fx,0,10,1e-6),6.3 符号积分,6.3 符号积分,6.3.3 积分变换 1. 傅立叶(Fourier)变换 在MATLAB中，进行傅立叶变换的函数是： fourier(fx,x,t) 求函数f(x)的傅立叶像函数F(t)。 ifourier(Fw,t,x) 求傅立叶
21、像函数F(t)的原函数f(x)。,例： syms x t; y=abs(x) Ft=fourier(y,x,t) %求y的傅立叶变换 fx=ifourier(Ft,t,x) %求Ft的傅立叶逆变换,y = abs(x) Ft = -2/t2 fx = x*(2*heaviside(x)-1),6.3 符号积分,2. 拉普拉斯(Laplace)变换 在MATLAB中，进行拉普拉斯变换的函数是： laplace(fx,x,t) 求函数f(x)的拉普拉斯像函数F(t)。 ilaplace(Fw,t,x) 求拉普拉斯像函数F(t)的原函数f(x)。,6.3 符号积分,例6.19 计算y=x2的拉普拉斯
22、变换及其逆变换. 命令如下： x=sym(x); y=x2; Ft=laplace(y,x,t) %对函数y进行拉普拉斯变换 fx=ilaplace(Ft,t,x) %对函数Ft进行拉普拉斯逆变换,Ft = 2/t3 fx = x2,6.3 符号积分,3. Z变换 对数列f(n)进行z变换的MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z) 求fn的Z变换像函数F(z) iztrans(Fz,z,n) 求Fz的z变换原函数f(n) 例6.20 求数列 fn=e-n的Z变换及其逆变换。 命令如下： syms n z fn=exp(-n); Fz=ztrans(fn,n,z) %求fn的Z变换 f
23、=iztrans(Fz,z,n) %求Fz的逆Z变换,Fz =z/exp(-1)/(z/exp(-1)-1) f =exp(-1)n,6.4 级数,6.4.1 级数的符号求和 函数symsum用于对符号表达式求和，调用格式为： symsum(a,n,n0,nn) 对表达式a的符号变量n从n=n0到n=nn求和 例6.22 求级数之和。 命令如下： n=sym(n); s1=symsum(1/n2,n,1,inf) %求s1 s2=symsum(-1)(n+1)/n,1,inf) %求s2。未指定求和变量，缺省为n s3=symsum(n*xn,n,1,inf) %求s3。此处的求和变量n %不
24、能省略。 s4=symsum(n2,1,100) %求s4。计算有限级数的和,6.4 级数,6.4.2 函数的泰勒级数 MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数taylor，其调用格式为： taylor(f,x,a,k) 将函数f对x在x=a处泰勒展开到k-1项。 例6.23 求函数在指定点的泰勒展开式。 命令如下： x=sym(x); f1=(1+x+x2)/(1-x+x2); f2=sqrt(1-2*x+x3)-(1-3*x+x2)(1/3); taylor(f1,x,5) %展开到x的4次幂时应选择k=5,ans =1+2*x+2*x2-2*x4,6.4 级数,例6.24 将多项式表
25、示成x+1的幂的多项式。 命令如下： x=sym(x); p=1+3*x+5*x2-2*x3; f=taylor(p,x,-1,4),f = -8-13*x+11*(1+x)2-2*(1+x)3,6.5 代数方程的符号求解,求解方程组的函数是solve，调用格式为： solve(eqn1,eqn2,eqnN,var1,var2,varN) 例6.28 解方程。 命令如下： x=solve(1/(x+2)+4*x/(x2-4)=1+2/(x-2),x) %解方程(1) f=sym(x-(x3-4*x-7)(1/3)=1); x=solve(f) %解方程(2) x=solve(2*sin(3*x
26、-pi/4)=1) %解方程(3) x=solve(x+x*exp(x)-10,x) %解方程(4)。仅标出方程的左端,例6.29 求方程组的解。 x y=solve(1/x3+1/y3-28,1/x+1/y-4,x,y) %解方程组(1) x y=solve(x+y-98,x(1/3)+y(1/3)-2,x,y) %解方程组(2) Warning: Explicit solution could not be found. In C:MATLABR11toolboxsymbolicsolve.m at line 136 x = empty sym y = 对方程组(2)MATLAB给出了无解
27、的结论，显然错误，请看完全与其同构的方程组(3)。输入命令如下： u,v=solve(u3+v3-98,u+v-2,u,v) %解方程组(3),6.6 常微分方程的符号求解,MATLAB的符号运算工具箱中提供了功能强大的求解常微分方程的函数dsolve。该函数的调用格式为： dsolve(eqn1,condition,var) 该函数求解微分方程eqn1在初值条件condition下的特解。参数var描述方程中的自变量符号，省略时按缺省原则处理，若没有给出初值条件condition，则求方程的通解。 dsolve在求微分方程组时的调用格式为： dsolve(eqn1,eqn2,eqnN,con
28、dition1,conditionN,var1,varN) 函数求解微分方程组eqn1、eqnN在初值条件conditoion1、conditionN下的解，若不给出初值条件，则求方程组的通解，var1、varN给出求解变量。,例6.30 求微分方程的通解。 命令如下： y=dsolve(Dy-(x2+y2)/x2/2,x) %解(1) y=dsolve(Dy*x2+2*x*y-exp(x),x) %解(2) y=dsolve(Dy-x/y/sqrt(1-x2),x) %解(3),y = x*(-2+log(x)+C1)/(log(x)+C1) y = (exp(x)+C1)/x2 y = (
29、-2*(1-x2)(1/2)+C1)(1/2) -(-2*(1-x2)(1/2)+C1)(1/2),6.6 常微分方程的符号求解,例6.31 求微分方程的特解。 命令如下： y=dsolve(Dy=2*x*y2,y(0)=1,x) %解(1) y=dsolve(Dy-x2/(1+y2),y(2)=1,x) %解(2),y = -1/(-1+x2),6.6 常微分方程的符号求解,例6.32 用微分方程的数值解法和符号解法解方程，并对结果进行比较。 在MATLAB命令窗口，输入命令： y=dsolve(Dy+2*y/x-4*x,y(1)=2,x) %用符号方法得到方程的解析解 为了求方程的数值解，
30、需要按要求建立一个函数文件fxyy.m： function f=fxyy(x,y) f=(4*x2-2*y)/x; %只能是y=f(x,y)的形式，当不是这种形式时, 要变形。 输入命令： t,w=ode45(fxyy,1,2,2); %得到区间1,2中的数值解，以向量t,w存储。 为了对两种结果进行比较，在同一个坐标系中作出两种结果的图形。输入命令： x=linspace(1,2,100); y=x.2+1./x.2; %为作图把符号解的结果离散化 plot(x,y,b.,t,w,r-);,6.6.3 常微分方程组求解 例6.33 求微分方程组的解。 命令如下： x,y=dsolve(Dx=4*x-2*y,Dy=2*x-y,t) %解方程组(1) x,y=dsolve(D2x-y,D2y+x,t) %解方程组(2),6.6 常微分方程的符号求解,谢谢认真听讲 下次课再见,下课时间,