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1、二、对坐标的曲线积分的计算法,三、两类曲线积分间的联系,一、对坐标曲线积分的概念,第四节 对坐标的曲线积分,第五模块 二重积分与曲线积分,一、对坐标曲线积分的概念,引例 变力沿曲线所作的功.,设一质点,在力 F(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j 的作用下，,在 xy 平面上沿曲线 L,从点 A 移动到点 B，,求变力 F(x, y) 所作的功.,将有向弧段 L 任分为 n 个有向子弧段，,即用点 A = M0(x0, y0)， M1(x1, y1)， Mn(xn, yn) = B,把有向曲线 L 分成 n 个有向小段，,它相应的有向弦段为,B=Mn,Mi,Mi -1,M2
2、,M1,A=M0,xi,yi,O,x,y,其中 xi = xi - xi - 1， yi = yi - yi - 1是有向小弧段 Mi -1Mi 分别在 x 轴和 y 轴上的投影.,如果函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在 L上连续，,则在每段小弧段上，,它们的变化就不会太大，,F(xi, hi) = P(xi, hi)i + Q(xi, hi)j，,= P(xi, hi)xi + Q(xi, hi) yi .,于是变力 F(x, y) 在有向曲线弧 MoMn 上所作功的近似值为,令 表示 n 个小弧段的最大弧长，,当 0 时，,上式的右端极限如果存在，,则这个极限就是 W 的精确值，,
3、即,上述和式的极限，就是如下两个和式的极限,与,定义 设 L 为 xy 平面上由点 A 到点 B 的有向光滑曲线，,即 xi = xi xi-1( yi = yi yi-1).,作和式,记 为 n 个小弧段的最大弧长.,且函数 P(x, y)、 Q(x, y) 在 L上有定义.,由点 A 到点 B 把 L 任意地分成 n 个有向小弧段，记分点为,如果,存在，则称此极限值为函数 P(x, y)、(Q(x, y),在有向曲线上对坐标 x (对坐标 y)的曲线积分.,记作,对坐标的曲线积分也称为第二类曲线积分. 在应用上常把上述两个曲线积分结合在一起，即,简记为,称之为组合曲线积分.,设是有向曲线弧
4、，记- 是与方向相反的有向曲线弧，则对坐标的曲线积分有如下的性质：,或,若=1 +2，,则,二、对坐标曲线积分的计算法,设有向曲线 L 的参数式方程为,x = x(t),y = y(t).,又设 t = a 对应于 L 的起点，,t = b 对应于 L 的终点,(这里 a 不一定小于b ),当 t 由 a 变到 b 时，,点 M(x, y) 描出有向曲线 L，,如果 x(t)、 y(t) 在以 a、 b 为端点的闭区间上具有一阶连续的导数，,函数 P(x, y) 、 Q(x, y) 在 L 上连续，,则,(11.2.1),(11.2.2),证明从略.,对坐标的曲线积分可以化为定积分来计算，其要
5、点是：,(1) 因为 P(x, y)、 Q(x, y) 定义在曲线 L 上，所以 x、 y 应分别换为 x(t)、 y(t)；,(2) dx、dy 是有向小曲线段在坐标轴上的投影， dx = x(t)dt、 dy = y(t)dt ；,(3) 起点 A 对应的参数 t = a 是对 t 积分的下限，终点 B 对应的参数 t = 是对 t 积分的上限.,如果有向曲线 L 的方程为 y = y(x)，则,这里 a 是曲线 L 的起点的横坐标，b 是曲线 L 的终点的横坐标， a 不一定小于 b.,如果 L 的方程为 x = x(y)，则有,其中 c 是曲线 L 的起点的纵坐标，d 是曲线 L 的终
6、点的纵坐标，c 不一定小于 d .,上式右端的第二个曲线积分化为定积分时，,例 1 试计算曲线积分,其中 L 为沿着抛物线 y = x2,从点O (0, 0) 到点 A(2, 4),再沿直线由点 A(2, 4),到点 B(2, 0),解 由于曲线积分对路径具有可加性，因此,L2 为直线段 AB.,因为 dx = 0，,所以它的值为零.,又 L1 的方程为 y = x2，故,A(2, 4),B(2, 0),x = 2,y = x2,L1,L2,O,例 2 试计算曲线积分 其中积分路径为,(1)在椭圆 ，,从点 A(a, 0) 经第一、二、三象限到点B(0, - b).,(2)在直线上 ，,从点A(a, 0) 到点 B(0, - b).,y,x,A,O,B,解 (1)因为所给椭圆的参数方程为,且起点 A 对应的参数 t = 0.,所以有,终点 B 对应的参数 ，,当t 由 0 增大到,(2)因为所给线段 AB 所在的直线方程为,且起点 A 对应于 x = a，终点 B 对应于 x = 0， 所以,三、两类曲线积分间的联系,则,y,x,O,A,B,dy,dx,dl,t,