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1、 教学基本信息课题 坐标与轴对称是否属于地方课程或校本课程否学科 数学学段：第三学段 年级初三 教师姓名 郭喆学校：密云区水库中学编号 教师年龄 35 教龄：14职称中学一级 教学设计参与人员姓名单位联系方式设计、实施者郭喆密云区水库中学15010305783指导者朱峰密云区教师研修学院13716225706崔永学密云区教师研修学院18511601051课件制作者郭喆密云区水库中学15010305783 指导思想与理论依据 本节课的设计选自2011版数学课程标准第39页“坐标与图形运动” 的第一点：在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应
2、顶点坐标之间的关系.另外，本课内容体现在北京版实验教材第18册第25章第三节轴对称变换的第二课时坐标与轴对称.教材中图形的变换是几何变换中最简单的内容，几何变换体现了一种运动变化的思想，而在数学教育中培养学生运动变化的观点是一项重要任务；利用几何变换的理论与方法讨论初等几何，是用现代数学思想方法处理综合几何的一种重要途径，同时几何变换本身在绘图、力学、机械结构的设计等方面有广泛应用，并能在证明几何问题时起到辅助作用.本节课利用变换前后点的坐标来刻画图形的轴对称变换，把“形”和“数”紧密地结合在一起，为今后进一步学习解析几何奠定了基础.平面直角坐标系函数坐标与图形运动解析几何轴对称轴对称图形 （
3、知识框架见右图） 教学背景分析（1） 教学内容分析 在学习本课内容之前，学生已经学习了平面直角坐标系和轴对称等知识，但观察和归纳能力比较薄弱，对问题的理性思考意识有待培养.另外，在学习本课内容之前考查了学生在平面直角坐标系中准确写出已知点的坐标及轴对称图形的画法.经过测验，已知点的坐标有3.5%的学生书写错误；由于轴对称图形的画法学习时间过久，有14%的学生不能正确作图.典型问题如下：（2） 学生情况分析 学生来自山区和水库周边，全班共计28人，其中男生13人，女生15人.住宿生占47% (来自山区)，所有学生没有家庭辅导.大多数学生虽然数学基础薄弱，但数学学习热情较高.（三） 教学准备：坐标
4、纸和圆规 教学目标1. 在直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系；2. 经历探索关于坐标轴对称的对应顶点坐标之间的关系，使学生在动手操作、观察、归纳等活动中发现并总结规律，发展学生的推理能力，体会数形结合的思想方法；3. 将坐标与图形变换联系起来，体味几何图形的趣味性和数学内容的深刻性，在探究和交流的过程中培养学生的合作意识，体验成功的喜悦.教学重点和难点分析教学重点：以坐标轴为对称轴的一个多边形的对称图形的对应顶点坐标之间的关 系教学难点：对应顶点坐标之间关系的归纳 教学流程图自主探究合作交流观察发现总结规律创设情境探
5、究新知应用新知跟踪训练小结回顾反思提升布置作业学以致用 教学过程教学环节 教师活动 学生活动设计意图 自 主 探 究 合 作 交 流 自 主 探 究 合 作 交 流 同学们好，我们开始上课.活动一： 请你在坐标纸上，任选一个象限画一个多边形，然后沿某一坐标轴对折，利用圆规尖扎出所画多边形各个顶点对折之后的对称点的位置，画出轴对称图形，并写出各对应顶点的坐标.活动要求：1. 多边形的形状可以选择三角形、四边形、五边形、六边形等；2. 多边形的顶点画在格点上；3. 沿某一坐标轴对折时要细致，保证对折后的网格完全重合.想一想：1. 为什么要用圆规扎出各个顶点的对称点？辅助性问题：（1）请大家回忆一下
6、，在扎之前我们做了什么？（2）先对折再扎出对称点，意味着什么？预案： 对折之后我们扎出的点一定是各个顶点的对称点，所以只有扎出来的点才更加精确.这正符合轴对称的定义：两个图形沿一条直线翻折后能够完全重合，称这两个图形为轴对称，其中互相重合的点叫对称点.2. 扎出的对称点一定会在格点上吗？ 我们首先可以确定的是扎出的对称点与原对应点一定成轴对称，所以这两个对称点分别到x轴的距离，和它们到y轴的距离是相等的；而在平面直角坐标系中，点到两坐标轴的距离能够体现点的坐标.因此，原顶点在格点上，扎出的对称点一定也在格点上.看一看：学生活动结束后，教师选择一些具有代表性的学生作品在班内进行展示，并请学生找出
7、其中的不同之处.展示作品如下：（1）（2）（3）（4）不同：形状不同、已知图形所在 象限不同、对称轴不同.例题：1. 在表1中写出图（2）关于坐标轴对称的两多边形的对应顶点坐标；2. 在表2中写出图（4）关于坐标轴对称的两多边形的对应顶点坐标.表1：关于x 轴对称的两五边形的对应顶点坐标表2：关于y 轴对称的两六边形的对应顶点坐标活动一步骤：1. 任选一个象限，画一个多边形；2. 沿某一对称轴对折，用圆规尖在多边形的各个顶点的位置扎眼，确定各个对称点的位置；3. 描点，连线，构造轴对称图形，写出各对应顶点的坐标；4. 同桌之间交换，校对扎眼的位置是否准确、书写点的坐标是否正确，出现问题及时修改
8、；学生在教师的引导下，思考并理解扎点的意义和作用.活动步骤：1. 观察教师展示图片，找出其中的不同；2. 各抒己见，用准确的语言表达自己的结论；3. 适当给予补充例题活动步骤：1.将各多边形的对应顶点坐标填写在表格中；2.同桌之间相互检查，各对应顶点坐标书写是否正确. 设计开放性活动，让学生在画、折、扎、写等过程中，体会轴对称的含义，提升学生对数学知识的感性认识；另外，由于活动的开放性，学生选择的象限、多边形的形状、坐标轴等都有所区别，为后续的完全归纳做好铺垫. “想一想”中两个问题的设计，为上述的开放性活动做一点睛之笔，更增添了学生对对称点的可信度的把握，使学生由感性认识逐步上升到理性思考，
9、培养学生的说理能力. “看一看” 的设计，从多边形形状、象限到对称轴无一不考虑周全.培养学生的观察和归纳能力的同时，体现点的位置的广泛性，更具说服力，突出了重点，也为突破难点，即：为后续的完全归纳打好坚实的基础.例题选择学生自己动手操作的作品，有利于激发学生的学习热情，调动学习的积极性； 观 察 发 现 总 结 规 律活动二：分别观察表1和表2中每对对应顶点坐标之间的关系，试探寻其中的规律，写在表格下面的横线上.由表1得： 当两点关于x轴对称时， 横坐标 ，纵坐标 ； 归纳：点P（x，y）关于x轴的 对称点为P（ ， ）；由表2得： 当两点关于y轴对称时， 横坐标 ，纵坐标 ； 归纳：点P（x
10、，y）关于y轴的 对称点为P（ ， ）.规律：1. 点P（x，y）关于x轴的对称点为P（x，-y）；2. 点P（x，y）关于y轴的对称点为P（-x，y）.反之，我们可以得出：1. 点P（x，y）和点P（x，-y）关于x轴对称；2. 点P（x，y）和点P（-x，y）关于y轴对称.小组讨论：1. 当P（x，y）中x 和y 的值均为零时，该点及其对称点的坐标还符合上述规律吗？ 2. 当P（x，y）中x 和y 的值有一个为零时，该点及其对称点的坐标还符合上述规律吗？预案：当x和y均为零时，该点是原点，其对称点仍是原点；当x等于零、y不为零时，该点在y轴上，它关于x轴的对称点横坐标相同，纵坐标互为相反数
11、；当x不为零，y等于零时，该点在x轴上，它关于y轴的对称点纵坐标相同，横坐标互为相反数，也符合上述规律.因此可以得出： 在平面直角坐标系中，以坐标轴为对称轴，各对应顶点坐标之间的关系，与点的位置无关.活动二步骤：1. 观察表1中关于x轴对称的每对对应顶点的横、纵坐标有什么关系？写在横线上；2. 观察表2中关于y轴对称的每对对应顶点的横、纵坐标有什么关系？写在横线上；3. 试归纳出一般性的规律；4. 小组讨论： 结合教师提出的三个问题展开讨论：“原点、坐标轴上的点与它们的对称点之间是否符合这一规律？” 5. 小组代表发言，说明理由. 活动二的设计以学生自主探究为主，通过填表、观察、猜想、归纳等数
12、学活动，突出本课重点，使学生从中体验分析问题、解决问题的一般过程，培养语言表达及归纳概括的能力，体现学生的主体地位. “小组讨论”的设计，意在使学生在问题串的引导下，进行完全归纳和理性思考，培养学生的抽象思维和发散思维. 应 用 新 知 跟 踪 训 练 小 结 回 顾 反 思 提 升小试牛刀：1. 填空题：1）点P（2，-3）关于x轴对称的 点的坐标是 ；关于y轴 对称的点的坐标是 ；2） 点P（-8，5）关于x轴对称的 点的坐标是 ；关于y轴对 称的点的坐标是 ；3）点A（-3，4）和点B（3，4） 关于 轴对称；点C（5，-1） 和点D（5，1）关于 轴对称；4） 若点（a，-4）与点（3
13、，b）关 于y轴对称，则a=_，b=_；5）点A（a+1，7）与点B（-4， a-2）关于x轴对称，则a= ；2. 解答题： 如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出关于x轴和y轴对称的图形.谈一谈： 这一节课你有哪些收获？知识： 在平面直角坐标系中，关于x轴和y轴对称的点的坐标的特点：（1） 点P（x，y）关于x轴的对 称点P（x，-y）；（2） 点P（x，y）关于y轴的对 称点P（-x，y）.反之，（1）点P（x，y）和点P（x，-y） 关于x轴对称；（2）点P（x，y）和点P（-x，y） 关于y轴对称.方法：在平面直角坐标系中画一个多边形关于x轴或y轴的对称图形时，可以利用对应
14、顶点的坐标关系直接写出对称坐标、描点、连线；体会数形结合思想.情感：体味图形的趣味性和内容的深刻性，在探究活动中激发学生的学习兴趣，建立学习数学的信心；培养学生的合作交流意识. 学生独立完成，并说明理由.从知识、方法及情感三个角度进行归纳概括. 练习1的设计，有助于提高学生对规律本质的认识和规律的熟练运用.练习2的设计使学生感受利用图形轴对称的坐标变化，确定变换后的几何图形，把“形”和“数”紧密地结合在一起，把坐标思想和图形运动的思想联系起来.本环节以学生概括总结为主，有助于学生梳理知识，形成知识结构且对所学知识加深印象，更有利于对知识的理解和应用. 布 置 作 业 学 以 致 用试一试： 分
15、别作出ABC关于直线x=1和直线y=-1对称的图形.你能发现它们的对应顶点坐标之间分别有什么关系吗？试进行归纳. 类比本节课的学习方法进行探究，发现规律，进行总结. 设置开放性作业，学生可以通过类比的方法探究关于某直线对称的对应顶点坐标之间的关系，提高学生的自主学习能力. 学生活动的说明 本节课的设计围绕学生的开放性活动展开，共设置了两个探究活动：活动一：在坐标纸上任选一个象限画一个多边形，沿某一坐标轴对折，利用圆规尖扎出所画多边形各个顶点对折之后的对称点的位置，画出轴对称图形，并写出各对称顶点的坐标.这一活动的设计意在让学生在画、折、扎、写等过程中，体会轴对称的含义，提升学生对数学知识的感性
16、认识；另外，由于活动的开放性，学生选择的象限、多边形的形状和对称轴等都有所区别，以便突破本课难点，为完全归纳做好铺垫.在此活动中又设置了“想一想”和“看一看”两个环节.其中“想一想”环节，教师提出两个设问，引发学生思考“用圆规扎出对称点的意义和作用”，增添了学生对对称点的可信度的把握，使学生由感性认识逐步上升到理性思考，培养学生的说理能力；“看一看”环节展示学生活动作品，意在激发学生的学习兴趣，也为后续的例题和完全归纳奠定了基础.活动二： 将学生展示例题中各多边形的对应顶点的坐标统一书写在相应的表格中，引导学生观察并发现每对对应顶点坐标的横、纵坐标的关系，探寻其中的规律.这一活动的设计以学生自
17、主探究为主，通过填表、观察、猜想、归纳等数学活动，使学生从中体验分析问题、解决问题的一般过程，培养语言表达及归纳概括的能力，体现学生的主体地位，使学生真正成为学习的主人. 在此活动中又设置了“小组讨论”环节，教师通过创设3个设问，引发学生思考“原点和坐标轴上的点与它们的对称点之间是否符合这一规律”？从而使学生理解在坐标系中，关于坐标轴对称的两个轴对称图形的对应顶点坐标之间的关系与点的位置无关，从而突破难点，实现了完全归纳.同时，培养了学生的抽象思维和发散思维.教学设计的说明新课程理念强调了知识获得过程的重要性，因此在本节课的教学设计上主要以设置学生的开放性探究活动为主，突出学生的主体地位，让学
18、生通过一系列的数学活动，经历探索、发现、认知和归纳数学知识的全过程，体会知识的形成过程和内在联系，突出了教学重点.除此之外，在活动一和活动二两个探究活动中，又设置了“想一想” 、“看一看”、“小组讨论”等环节，教师采用问题串的形式展现教学内容，充分体现了教师的组织者、引导者、合作者的作用.同时突破了难点，在学生动手操作、观察发现的过程中，引发学生的理性思考，启发学生深入理解知识的本质，由感性认识上升到理性认识，使不同层次的学生得到不同程度的发展.板书设计 25.3 坐标与轴对称规律： 例题：（小组展示作品）（1）点P（x，y）关于x轴的对称点P（x，-y） （2）点P（x，y）关于y轴的对称点P（-x，y） 反之，（1）点P（x，y）和点P（x，-y）关于x轴对称；（2）点P（x，y）和点P（-x，y）关于y轴对称.