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1、数值分析 Numerical Analysis,董君良 北京工业大学 / 理学院,计 算 方 法,话说数学 数学是什么？,1. 数学是关于数和形的学问,数 代数：数量关系的科学, 有序思 维占主导, 培养逻辑推理能力；,形 几何：空间形式的科学, 空间想 象、形象思维占主导, 培养直觉 能力和洞察力.,数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学 -恩格斯,数学的三大核心领域,分析 (Mathematical Analysis),代数 (Algebra),几何 (Geometry),2. 数学科学按内容可分成五大学科,应用数学 (Applied mathematics) 着限于说明自然现象
2、，解决实际问题， 是纯粹数学与科学技术之间的桥梁,纯粹数学 (Pure mathematics) 专门研究数学本身的内部规律 撇开具体内容，以纯粹形式研究,计算数学 (Computation mathematics),运筹与控制 (Operation & control),概率论与数理统计 ( Probability & mathematical statistics),数值分析是计算数学的一个主要部分, 它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现., 从单变量到多变量, 从低维到高维;, 从线性到非线性;, 从局部到整体, 从简单到复杂;, 从连续到间断, 从稳定到分岔;
3、, 从精确到随机、到模糊;, 计算机的使用.,首先是表现在现代数学的新领域和高层次中， 其次是数学向一切学科与社会部门的渗透和应用。,现代数学发展的新趋向,计算机的应用,例子 求,function mysum=mysum(n) mysum=0 For i=1:1:n mysum=mysum+i; end mysum,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,Crammer 法则,那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，可以表示为：,例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要 n!(n2-1) 次乘除运算。当 n=20 时
4、， 用每秒运算30亿次（P4 3.0G）的计算机求解时，大约需要10000年的时间。,而如果使用高斯（Gauss）消元法，,高斯消去法总的乘除运算量为：,大约需要3060次乘除运算，不到一秒钟就能完成。,科学计算,科学计算 Scientific Computing (计算科学 Computational Science),使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题,狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算方法来求解，即为数值计算/数值分析/计算方法/计算数学,科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各种科学与工程计
5、算领域（如：气象、地震、核能技术、石油探勘、航天工程、 密码解译等）中不可缺少的工具,计算数学是科学计算的核心与基础,科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数学将触角伸向其他学科的桥梁。,科学计算,随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算经济学等,科学计算,使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能,科学计算,利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：,实际 问题,数学模型,数值 方法,程序 设计,上机
6、实现,应用举例,问：今有 上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗； 上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗； 上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。 问上、中、下禾实一秉各几何？ 九章算术,例：一个古老的数学问题,应用举例,线性方程组数值求解 教材第五、六章,应用举例,例：人口预测,表格中是我国1950年到2005年的人口数（见中国统计年鉴），试预测未来的人口数,插值与曲线拟合 教材第二、三章,应用举例,例：铝制波纹瓦的长度问题,建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压制而成。假若要求波纹瓦长 4 英尺，每个波纹的高度(从中心线)为 1 英寸，且每个波纹以近似 2 英寸为一个
7、周期。求制做一块波纹瓦所需铝板的长度 L。,应用举例,这个问题就是要求由函数 f(x)=sin x 给定的曲线从 x=0 到 x=48 英寸间的弧长 L，即:,数值积分与数值微分 教材第四章,上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算,应用举例,矩阵特征值计算 教材第八章,例：Google 搜索引擎,1998 年创立，目前市值近2000亿,G: Google Matrix, “the worlds largest matrix computation” x: PageRank vector “The $25,000,000,000 Eigenvector” SIAM Review，2006
8、,Gx = x, eTx =1,搜索引擎：给定关键词，如何从几十万、几百万的海量网页中找出最有用的信息 解决思路 网页索引 确定网页和查询的关系 分类,线性代数在Google中的应用,Http网页链接示意图,基本原理“从优质的网页链接过来的网页必定还是优质网页” 超链接AB A 对B 投一票 若A的质量高（如QQ），则该投票分数高,PageRank（衡量网页质量）,PageRank示意图,网 页 链 接 矩 阵,by “网络爬虫”,Google矩阵,问题：已知Google矩阵（网页邻接矩阵），如何求出PageRank? 首先，PageRank可以表示为向量 R=R1,R2,Rn,PageRan
9、k（衡量网页质量）,PageRank是Google矩阵的主特征向量 Google矩阵A 记A=AT（关注被链接） A（注意每列为和1向量）,PageRank是主特征向量,由于网页矩阵规模巨大（数量级约为240 240 ），无法采用常规矩阵运算，因此通常采用迭代的方法求解,令 x= PageRank，则 求解 x=Ax A的最大特征值为1(主特征值) x是主特征值1对应的特征向量,计算方法的任务,计算方法/数值分析的任务,设计求解各种实际问题的高效可靠的数值方法,有效：易于在计算机上实现 运算只包括加、减、乘、除以及逻辑运算 可靠：收敛性稳定性等有理论保证 高效：尽可能地节省计算时间和存储空间
10、即计算复杂性好,对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相差百万倍或者更多！,对求得的数值解的精度进行评估,研究数值算法在计算机上的实现,计算方法,例：求解一个 n 阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需要计算 n+1 个 n 阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要 n!(n2-1) 次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约2n3/3 次乘除运算,数值方法特点,数值分析就是研究数值问题的算法，其特点,方法是近似的，所以求出的解是有误差的,与计算机紧密结合：上机实现,掌握一门语言：C 语言或 Fortran 语言 熟悉一种数学软件：Matlab，Maple 或 Mathematica,有可靠的理论分
11、析，,有好的计算复杂性,数值试验,基本概念,解析解、精确解、真解、真值：是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等 基本函数的解的形式 数值解、近似解：利用数值分析的方式来求得 数值算法：求问题的数值解的方法,算法的可靠性包括：收敛性，稳定性，误差估计等,算法的评价（优劣）,时间复杂度（计算机运行时间） 空间复杂度（所占用的计算机存储空间） 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度）,好的算法有可靠的理论分析以及计算复杂性的算法,课程信息,数值分析（第五版）,教材 ：,李庆扬等编著，清华大学出版社，2008,数值分析全程导学及习题全解（第5版）,教材配套辅导书 ：,清华大学出版
12、社，2010,参考资料,第三种科学方法：计算机时代的科学计算 石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000 科学计算导论（第 2 版）（英文影印版） M.T. Heath 著，清华大学出版社：McGraw-Hill，2001 现代科学计算 蔡大用，白峰杉，科学出版社，2000 数值线性代数 徐树方等，北京大学出版社，2000,参考资料,主要内容,插值法 函数逼近 数值积分和数值微分 线性方程组的直接解法和迭代解法 非线性方程（组）的数值求解 矩阵特征值与特征向量的计算 常微分方程的数值解法,所需知识,微积分 高等代数、线性代数 常微分方程 Matlab 编程,所需知识,考试方式,期末 80% 平时 20%（考勤，课堂表现，平时作业） 无期中考试,数学软件,由于各种科学计算问题最后通常都归结为求解一些基本的问题，针对这些基本问题，已有一些相对固定的高效的算法，并设计成软件包。,最有名的软件包之一,LAPACK Linear Algebra PACKage,较流行的软件：Matlab，Maple，Mathematica 等,网络资源：NetLib、GAMS,