力学竞赛专题能量法静不定.ppt

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1、专题一 能量方法初步 本章重点： 1、卡氏第二定理 2、莫尔定理 第一节 杆件应变能的计算 第二节 功的互等定理和位移互等定理 第三节 卡氏第二定理 第四节 莫尔定理 能量法: 用功、能的概念求解弹性体的变形和力的方法。 第一节 杆件应变能的计算 一、轴向拉伸（压缩）时应变能计算 在小变形前提下，杆件处于线弹性阶段。略去杆件的动能不计，外力的 功W 全部转化为杆件的应变能V，即： FF 力： 变形： 轴力为变量，应变能 杆件应变能密度： 扭转时外力作功 二、圆轴扭转时应变能计算 扭矩为变量，应变能 1.纯弯曲时，弯矩等于外力偶 三、直梁弯曲时应变能计算 M M l 2.横力弯曲时，弯矩为变量，

2、应变能 一般，令F为广义力，为广义变形，当F由零开始缓慢 增加至最终值时，外力功转变为杆件的应变能，即 。 若材料处于线弹性范围， 四、应变能普遍表达式 杆件复杂变形时，取dx微段，若其上同时有FN (x) 、 Mx (x)、 M(x)作用， 杆件的应变能： 例9-1 集中力F作用于简简支梁的C点，试试用能量原理计计算截面C 的挠挠度wc。设设EI为为常数。 解：由平衡方程解得 将梁分为为AC和CB两段， CB段 AC段 梁的应变能为 （方向向下） 由式可解得 桁架 注意：用卡氏定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的载荷。 如果该处没有与此位移相应的载荷，可先在该点虚设一个广义力F

3、，运用卡 氏定理求广义位移，最后让该力F=0。 可得： 横力弯曲 第二节 卡氏第二定理 式中，i为Fi作用处沿Fi 方向的位移量。 例9-3 试计算图示结构在荷载 F1 作用下C点的竖向位移， 结构中两杆的长度均为 l ，横截面面积均为A。 解：由结点C的平衡方程，可得两杆的轴力为 F F1 1 F F BCBC F F CDCD 例9-4外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求（1）C端挠度， （2） C端转角。 解：（1）求C端挠度 FA FB AB段 BC段 支座反力分别为 F FA A F FB B MM （2 2）求）求 C C端转角端转角: : ABAB段段 令令M M = 0=

4、 0 BCBC段段 在在 C C端加力偶端加力偶MM （ ） 推广：为广义位移，FO为沿方向的单位力。 1. 弯扭组组合变变形杆件 2. 桁架 3. 若要求两点之间间的相对对位移，沿两点的连线连线 方向加一对对方向相反的单单位力。 莫尔定理 第四节 莫尔定理 例9-5 外伸梁ABC的自由端作用有铅直荷载FP，求C端转角。 FA FB Mo AB段 BC段 在 C端加单位力偶Mo=1 （顺时针） FAo FBo AB段BC段 解： EI已知，试试求：1）加力点A的位移A；2）梁中点B的位移B。 例9-4 线弹线弹 性材料悬悬臂梁，自由端A作用有集中力。若F、l、 解：（1）求点A的位移。 （2）

5、求梁中点B的位移 在B点附加力FO，BC段 例9-5 图示线弹性结构，杆中各部分的EI均相同。若F、EI均为已知， 试试用莫尔定理求A、B两点间间的相对对位移。 解： 在A、B两点施加一对单对单 位力 略去轴力、剪力的影响： M1 =0 ， （0xR） （Rx2R） （0/2） AC段： CE段：M2 =-F(x-R) ， EG段： M3 =-FR(1+sin) ， 相对对位移的方向与单单位力的方向相同。 专题二 简单静不定问题 第一节 静不定结构的基本概念 第二节 拉压静不定问题 第三节 扭转静不定问题 第四节 静不定梁 第五节 用力法解静不定结构 第六节 综合举例 本章重点 1.拉压静不定

6、问题 2.扭转静不定问题 3. 静不定梁 第一节 静不定结构的基本概念 一、 静定、静不定结构 1. 静定结构 结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得。 2. 静不定结构 结结构的约约束反力与内力数多于静力平衡方程数。 3. 静不定次数 未知力数减去静力平衡方程数。 4.多余约束 超过静定结构所需的约束。 判别下列结构是否静定。指出静不定结构的静不定次数。 静不定结构：结构的强度和刚度均得到提高 二 基本静定系（静定基），相当系统 基本静定系：解除静不定结构的多余约束后得到的静定结构。 相当系统：在静定基上加上外载载荷以及多余约约束力的系统统。 MC MC MB F F MA 第二节

7、拉压静不定问题 静不定结构的求解方法： 1、列出独立的平衡方程 2、找变形几何关系 3、物理关系 4、求解方程组 建立补充方程 一、求解拉压静不定问题的约束反力 1、列出独立的平衡方程 补充方程 例题10-1 3、物理关系 4、求解方组得 解： 2、找变形几何关系 例题10-2 2.找变变形几何关系: 3.物理关系: 解： 1.写平衡方程: 补补充方程: W=12MPa，EW=10GPa，求许许可载载荷F。 250 250 木制短柱的4个角用4个40mm40mm4mm的等边边角钢钢加固， 已知角钢钢的许许用应应力st=160MPa，Est=200GPa；木材的许许用应应力 代入数据，求得 查查

8、表知，40mm40mm4mm等边边角钢钢 4.根据角钢的强度条件确定F 5.根据木柱强度条件确定F 许许可载载荷 250 250 二装配应力 静不定结构中，因杆件尺寸有微小误差，装配后在杆件内产生的应力 称为装配应力。 例10-3 图图示钢钢杆，弹弹性模量E=200GPa，加工误误差和杆长长之比 解： ，将杆装在两刚刚性支座之间间，试试求装配应应力。 三温度应力 静不定结构中，由于温度改变而在杆件内产生 的应力称为温度应力。 例10-5 图示结构中的三角形板可视为刚性板。1杆材料为钢，2杆材料为铜， 两杆的横截面面积分别为A1=1000mm2，A2=2000mm2。钢杆的弹性模量为 E1=21

9、0GPa，线膨胀系数1=12.510-6 -1；铜杆的弹性模量为E2=100GPa， 线膨胀系数2=16.510-6 -1；试求温度升高20时， 1、2杆内的应力。 解：1.列静力平衡方程 2.变形协调方程 3.物理方程 解得 第三节 扭转静不定问题 例10-6 在圆轴圆轴 作用有外力偶矩Me，试绘试绘 出该轴该轴 的的扭矩图图。 解：1.列静力平衡方程 2.变形协调方程 3.代入物理方程，建立补充方程 MA Me- MA MB + - 解得: Me /3 Me2 /3 Me /3 例10-7 一空心圆管A套在实心圆杆B的一端，两杆在同一横截面处各有一 直径相同的贯贯穿孔，但两孔的中心线线相差

10、夹夹角 , 现现在杆B上施加外力偶， 使其扭转到两孔对准的位置，在孔中装上销钉。试求在外力偶除去后两杆所 受的扭矩。 解：1. 静力平衡 2.变形协调方程 3. 物理方程 第四节 静不定梁 求解静不定梁的方法是：解除静不定结构的多余约束，得到受力和变形与 静不定梁完全相同的相当系统；将相当系统解除约束处的变形与静不定梁 相比较，找到多余约束处的变形协调条件。 1.图示梁是否静定？可取的相当系统有几种形式？其变形协调条件是什么？ 讨论题讨论题 2.图示等直梁承受均布荷载q作用,C处用铰链连接。梁是否静定？在截面 C上，剪力、弯矩是否为零？ 例10-8 作图示梁的剪力弯矩图。 解：1. 去掉B处约

11、束，代之以约束反力 2.变形协调方程 3.用叠加法求变形，建立补充方程 4.取梁AB为研究对象，建立平衡方程 5.作内力图 + + - - x C 令 例10-9 图示梁,A处为固定铰链支座,B,C二处为辊轴支座.梁作用有均布 荷载.已知:均布荷载集度q=15N/m,L=4m,梁圆截面直径d=100mm， =100MPa。试校核该梁的强度。 解：1. 去掉C处约束，代之以约束反力 2.变形协调方程 其中： 应用了莫尔积分 应用了卡氏定理，从而： 3.列静力平衡方程 4.作内力图 5.建立强度条件 梁安全 + - + - + - + 例10-10 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，

12、梁的抗弯刚度均为EI， F = 40kN，q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。 拆开B 处铰链，使超静定结构变成两个悬臂梁。 1.变形协调方程为： FB wB1 2.物理关系 解 ： 补充方程： F B wB2 FB MM A A F FA A F B MM C C F FC C 3.取AB 为研究对象，建立平衡方程： 4.取BC 为研究对象，建立平衡方程： F B MM C C F FC C MC方向设反，将其改正 + - - 5.作剪力、弯矩图 例10-11 结构如图示,设梁AB和CD的弯曲刚度EIz相同.拉杆BC的拉 解：将杆CB移除，代之以杆CB的未知 轴力FN。 压刚度EA为

13、已知,求拉杆BC的轴力. 1.变形协调方程为： 2.物理关系 补充方程： 解得： 计算图示三次静不定梁B端的约束反力 解除B点约束，代以约束反力。 A B A 由于B点固定，所以沿 方向的位移均为零。 第五节 用力法解静不定结构 即：根据叠加原理： 为原来载荷作用下，沿 方向的位移。 为 作用下，沿 方向的位移。 用莫尔积分或图乘法可以计算所有的系数，从而解得三个约束反力。 根据位移互等定理，所以方程中有9个变形系数需要确定。 二次静不定结构的力法正则方程为： 方程中有5个变形系数需要确定。 求解过程： A A AA A A AA 代入方程可求得未知数 静不定结构降次 + - + - - +

14、结构对称，受载对称时， 剪力为反对称内力，弯矩为对称内力 10 kN 10 kN _ + 10 kN 10kN 10kN20kN ABCD 20kN 结构对称，受载对称时，轴力对称。 轴力为对称内力， 剪力反对称，弯矩对称。 结构对称受力反对称时，结构产生反对称变形。在对称截面上，对称内力为零。 结构对称受力也对称时，产生对称变形，在对称截面上，反对称内力为零。 利用结结构的这这种对对称、反对对称性质质，可降低静不定次数，简简化计计算。 1.动荷系数的计算 2.动应力、动变形的计算 第一节 惯性载荷作用下的动应力和动变形 第二节 构件受冲击时的应力和变形 本章重点 专题三 动载荷 静应力：构件

15、在静载荷作用下产生的应力。 特点：1. 载荷从零开始缓慢增加，构件加速度不计。 2. 不随时间的改变而改变。 动荷载：加速度运动的构件、承受冲击物作用的构件所受到的载荷。 动应力：构件上由于动荷载引起的应力。 实例：1.曲柄滑块机构； 2.转轴； 3. 打桩。 一、构件作等加速直线运动时的动应力和动变形 惯性力惯性力 静荷载静荷载 动荷载动荷载 动荷系数动荷系数 第一节 惯性载荷作用下的动应力和动变形 研究方法：研究方法：达朗伯原理达朗伯原理需注意的问题：需注意的问题：在每一个质点上加惯性力。在每一个质点上加惯性力。 动应力动应力: : 材料处于线弹性阶段材料处于线弹性阶段, ,变形和内力成正

16、比变形和内力成正比: : 动反力动反力: : 强度条件强度条件: : x x d dx x 设设x x处的惯性力集度为处的惯性力集度为q q g g ( (x x) ) 动应力与横截面面积无关动应力与横截面面积无关 二、构件作等速转动时的动应力 L L 均杆横截面面积为A，单位体积质量为，以角速度绕B点等速转动， 计算杆横截面上最大的动应力。 最大轴力在杆的最大轴力在杆的B B端，端，F F N N = =F F g g a 例11-1 重物M的质质量m=1kg，重物绕绕垂直轴轴作匀速转动转动 。转动转动 角速度 ，试试求垂直轴轴中的最大弯曲应应力。 100 200 100 A B W Fg

17、W M Fg FAx FBx FBy 解 : 1.求惯惯性力Fg 2.求支座反力 29.6N 69 N - + - 6.9 Nm 3.求垂直轴轴AB中的最大弯矩 4.求最大弯曲应应力 （1）不考虑构件与冲击物接触后的回弹。 （2）不计冲击物的变形。 （3）不计冲击过程中的声、热、塑性变形等能量损耗，机械能守恒定律成立 。 基本假定： 第二节 构件受冲击时的应力和变形 冲击击力的特点：作用时间时间 短，力变变化快。 求解冲击应击应 力的方法：动动能定理 设梁的最大动挠度为 ： 则重力做功为： 显然重力做功转化为梁的变形能。 设重物落到最低点时的载荷为 冲击载荷做功为： 梁的变形能为： 根据能量原

18、理 重物的动能： 强度条件强度条件: : 所以： 若静载作用下的位移为 ： 根据载荷与变形的线性关系： 能量方程为： E2105MPa，试分别求两杆的动应力。 例11-2 一重W2kN的物体从h0.05m处自由下落，分别冲击在两杆件上。 已知L1m，A110104m2，A220104m2，材料的弹性模量 解： 2.梁横截面上的最大冲击正应力与最大冲击挠度。 解： （1）梁横截面上最大静应力和 （2）计算动荷系数 例11-3图示悬臂梁，A端固定，自由端B的上方有一重物自由落下，撞击到梁 上。已知：梁材料为木材，E10GPa；梁长L2m， h=40mm，重量W1kN。 求： 1.梁所受的冲击载荷； 冲击处最大静挠度分别为： W=3.09105mm3，E=200GPa，求两梁的最大冲击应力。 例11-4 两根梁受重物冲击。一根支于刚性支座上，另一根支于弹簧常数 k=100 N/mm的弹簧上。已知l=3m，h=0.05m，G=1kN，钢梁的I=3.4107mm4， 解： 1.刚性支承梁 2.弹弹性支承梁 AB C d L 例11-5 在AB轴的B 端装有一个质量很大的飞轮C ,飞轮的转动惯量为J。 轴与飞轮以角速度 作等速旋转转，试计试计 算当A端被突然制动时轴动时轴 内最大动应动应 力。 解：1.飞轮飞轮 的动动能为为 弹弹力的功 由动动能定理， 解得