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1、第十九章平行四边形性质和判定综合习题精选一解答题（共30小题）1（2011资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AEBD于E，CFBD于F（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）2（2011昭通）如图所示，AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D求证：四边形ABCD是平行四边形3（2011徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F（1）求证：ABECDF；（2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO4（2011铜仁地区）已知：如图
2、，在ABC中，BAC=90，DE、DF是ABC的中位线，连接EF、AD求证：EF=AD5（2011泸州）如图，已知D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明6（2010恩施州）如图，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点求证：四边形MFNE是平行四边形7（2009永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA求证：四边形AECF是平行四边形8（2009来宾）在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边ADE和等边BCF，连接BE、DF求证：四边
3、形BEDF是平行四边形9（2006黄冈）如图所示，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE10（2006巴中）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？11（2002三明）如图：已知D、E、F分别是ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分12已知：如图，在ABCD中，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形1
4、3如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上求证：EF和GH互相平分14如图：ABCD中，MNAC，试说明MQ=NP15已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点求证：四边形EHFG是平行四边形16如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件
5、不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）17如图，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且ACB=135，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证明你的结论18如图平行四边形ABCD中，ABC=60，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AEBD，EFBF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长19（2010厦门）如图，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60，DC=EF（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2
6、）若BF=EF，求证：AE=AD20（2010滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？21（2008佛山）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形（1）当ABAC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件22如图，以ABC的三边为边，在BC的同侧分别作三个等边三角形即ABD、BCE、ACF，那么，四边形AFED是否为平行
7、四边形？如果是，请证明之，如果不是，请说明理由23（2007黑龙江）在ABC中，AB=AC，点P为ABC所在平面内一点，过点P分别作PEAC交AB于点E，PFAB交BC于点D，交AC于点F若点P在BC边上（如图1），此时PD=0，可得结论：PD+PE+PF=AB请直接应用上述信息解决下列问题：当点P分别在ABC内（如图2），ABC外（如图3）时，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，PD，PE，PF与AB之间又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，不需要证明24（2006大连）如图1，P为RtABC所在平面内任意一点（不在直线AC上），ACB=90，M为AB边中点操作：以PA、PC为邻边
8、作平行四边形PADC，连续PM并延长到点E，使ME=PM，连接DE探究：（1）请猜想与线段DE有关的三个结论；（2）请你利用图2，图3选择不同位置的点P按上述方法操作；（3）经历（2）之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；如果你认为你写的结论是错误的，请用图2或图3加以说明；（注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分）（4）若将“RtABC”改为“任意ABC”，其他条件不变，利用图4操作，并写出与线段DE有关的结论（直接写答案）25（2005贵阳）在一次数学实践探究活动中，小强用两条直线把平行四边形ABCD分割成四个部分，使含有一组对顶角的两个图形全等；（1）根据小强的分割方法，
9、你认为把平行四边形分割成满足以上全等关系的直线有_组；（2）请在图中的三个平行四边形中画出满足小强分割方法的直线；（3）由上述实验操作过程，你发现所画的两条直线有什么规律？26如图，在直角梯形ABCD中，ABCD，BCD=Rt，AB=AD=10cm，BC=8cm点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线ABCD方向运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动已知动点P、Q同时发，当点Q运动到点C时，P、Q运动停止，设运动时间为t（1）求CD的长；（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；（3）在点P、点Q的运动过程中，是否存在某一时刻，使得BPQ的面积为2
10、0cm2？若存在，请求出所有满足条件的t的值；若不存在，请说明理由27已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，1），则第四个顶点C的坐标是多少？28已知平行四边形ABCD的周长为36cm，过D作AB，BC边上的高DE、DF，且cm，求平行四边形ABCD的面积29如图，在平面直角坐标系中，已知O为原点，四边形ABCD为平行四边形，A、B、C的坐标分别是A（3，），B（2，3），C（2，3），点D在第一象限（1）求D点的坐标；（2）将平行四边形ABCD先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度所得的四边形A1B1C1D1四个顶点的坐标是多少？（3）求平行四边形ABC
11、D与四边形A1B1C1D1重叠部分的面积？30如图所示ABCD中，AF平分BAD交BC于F，DEAF交CB于E求证：BE=CF三角形的中位线练习题 姓名 1连结三角形_的线段叫做三角形的中位线2三角形的中位线_于第三边，并且等于_3一个三角形的中位线有_条4.如图ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则线段CD是ABC的，线段DE是ABC5、如图，D、E、F分别是ABC各边的中点（1）如果EF4cm，那么BCcm如果AB10cm，那么DFcm（2）中线AD与中位线EF的关系是6如图1所示，EF是ABC的中位线，若BC=8cm，则EF=_cm (1) (2) (3) (4)7三角形的三边长分别
12、是3cm，5cm，6cm，则连结三边中点所围成的三角形的周长是_cm8在RtABC中，C=90，AC=5，BC=12，则连结两条直角边中点的线段长为_9若三角形的三条中位线长分别为2cm，3cm，4cm，则原三角形的周长为（ ） A4.5cm B18cm C9cm D36cm10如图2所示，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小聪想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到AC，BC的中点D，E，并且测出DE的长为10m，则A，B间的距离为（ ） A15m B25m C30m D20m11已知ABC的周长为1，连结ABC的三边中
13、点构成第二个三角形，再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2010个三角形的周长是（ ） 、 B、 C、 D、12如图3所示，已知四边形ABCD，R，P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点，当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时， 那么下列结论成立的是（ ） A线段EF的长逐渐增大 B线段EF的长逐渐减少 C线段EF的长不变 D线段EF的长不能确定13如图4,在ABC中，E，D，F分别是AB，BC，CA的中点，AB=6，AC=4，则四边形AEDF的周长是（ ） A10 B20 C30 D4014如图所示， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE=EB
14、，求证：OEBC15如图所示，在ABC中，点D在BC上且CD=CA，CF平分ACB，AE=EB，求证：EF=BD16如图所示，已知在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：MNBC17已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点求证：四边形EFGH是平行四边形18已知：ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点求证：四边形DEFG是平行四边形19已知：如图，E为ABCD中DC边的延长线上的一点，且CEDC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF求证：AB2OF1、 已知在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、
15、G分别是BD、AC、BC的中点，H是EF的中点.求证：EFGH.3、如图所示，ABC中，ABAC，AD平分BAC，CDAD，点E是BC的中点。求证：（1）DEAB；（2）DE=(AB-AC).答案与评分标准一解答题（共30小题）1（2011资阳）如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AEBD于E，CFBD于F（1）求证：BE=DF；（2）若 M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。分析：（1）根据平行四边形的性质和已知条件证明ABECDF即可得到BE=DF；（2）根据平行四边形的判定方法：有一
16、组对边平行且相等的四边形为平行四边形判定四边形MENF的形状解答：（1）四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，ABD=CDB，AEBD于E，CFBD于F，AEB=CFD=90，ABECDF（AAS），BE=DF；（2）四边形MENF是平行四边形证明：有（1）可知：BE=DF，四边形ABCD为平行四边行，ADBC，MDB=MBD，DM=BN，DNFBNE，NE=MF，MFD=NEB，MFE=NEF，MFNE，四边形MENF是平行四边形点评：本题考查了平行四边形的性质以及平行四边形的判定和全等三角形的判定以及全等三角形的性质2（2011昭通）如图所示，AECF的对角线相交于点O，DB经
17、过点O，分别与AE，CF交于B，D求证：四边形ABCD是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：平行四边形的对角线互相平分，对角线互相平分的四边形是平行四边形解答：证明：四边形AECF是平行四边形OE=OF，OA=OC，AECF，DFO=BEO，FDO=EBO，FDOEBO，OD=OB，OA=OC，四边形ABCD是平行四边形点评：本题考查平行四边形的性质定理和判定定理，以及全等三角形的判定和性质3（2011徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AEBD，CFBD，垂足分别为E，F（1）求证：ABECDF；（2）若AC与BD交于点O，
18、求证：AO=CO考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）由BF=DE，可得BE=CF，由AEBD，CFBD，可得AEB=CFD=90，又由AB=CD，在直角三角形中利用HL即可证得：ABECDF；（2）由ABECDF，即可得ABE=CDF，根据内错角相等，两直线平行，即可得ABCD，又由AB=CD，根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即即可证得四边形ABCD是平行四边形，则可得AO=CO解答：证明：（1）BF=DE，BFEF=DEEF，即BE=DE，AEBD，CFBD，AEB=CFD=90，AB=CD，RtABERtCDF（HL）；（2）ABE
19、CDF，ABE=CDF，ABCD，AB=CD，四边形ABCD是平行四边形，AO=CO点评：此题考查了全等三角形的判定与性质与平行四边形的判定与性质此题难度不大，解题的关键是要注意数形结合思想的应用4（2011铜仁地区）已知：如图，在ABC中，BAC=90，DE、DF是ABC的中位线，连接EF、AD求证：EF=AD考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。专题：证明题。分析：由DE、DF是ABC的中位线，根据三角形中位线的性质，即可求得四边形AEDF是平行四边形，又BAC=90，则可证得平行四边形AEDF是矩形，根据矩形的对角线相等即可得EF=AD解答：证明：DE，DF是ABC的中位线，D
20、EAB，DFAC，四边形AEDF是平行四边形，又BAC=90，平行四边形AEDF是矩形，EF=AD点评：此题考查了三角形中位线的性质，平行四边形的判定与矩形的判定与性质此题综合性较强，但难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用5（2011泸州）如图，已知D是ABC的边AB上一点，CEAB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明考点：平行四边形的判定与性质。专题：探究型。分析：根据CEAB，DE交AC于点O，且OA=OC，求证ADOECO，然后求证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论解答：解：猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系是：平
21、行且相等证明：CEAB，DAO=ECO，OA=OC，ADOECO，AD=CE，四边形ADCE是平行四边形，CDAE点评：此题主要考查了平行四边形的判定与性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是求证ADOECO，然后可得证四边形ADCE是平行四边形，即可得出结论6（2010恩施州）如图，已知，ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点求证：四边形MFNE是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：平行四边形的判定方法有多种，选择哪一种解答应先分析题目中给的哪一方面的条件多些，本题所给的条件为M、N分别是DE、BF的中点，根据条件在图形中的位置
22、，可选择利用“一组对边平行且相等的四边形为平行四边形”来解决解答：证明：由平行四边形可知，AD=CB，DAE=FCB，又AE=CF，DAEBCF，DE=BF，AED=CFB又M、N分别是DE、BF的中点，ME=NF又由ABDC，得AED=EDCEDC=BFC，MENF四边形MFNE为平行四边形点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法7（2009永州）如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA求证：四边形AECF是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质。专题：证明题。分析：根据两
23、条对角线相互平分的四边形是平行四边形即可证明四边形AECF是平行四边形解答：证明：连接AC交BD于点O，四边形ABCD为平行四边形，OA=OC，OB=ODBE=DF，OE=OF四边形AECF为平行四边形点评：平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法8（2009来宾在ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边ADE和等边BCF，连接BE、DF求证：四边形BEDF是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题。分析：由题意先证DAE=BCF=60，再由SAS证DCFBAE，继而题目得证解
24、答：证明：四边形ABCD是平行四边形，CD=AB，AD=CB，DAB=BCD又ADE和CBF都是等边三角形，DE=BF，AE=CFDAE=BCF=60DCF=BCDBCF，BAE=DABDAE，DCF=BAEDCFBAE（SAS）DF=BE四边形BEDF是平行四边形点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系9（2006黄冈）如图所示，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE考点：平行四边形的判定与性质。专题：证明题。分析：可根据一组对边平
25、行且相等的四边形是平行四边形证明四边形DBCE是平行四边形，即可证明BC=DE解答：证明：E是AC的中点，EC=AC，又DB=AC，DB=EC又DBEC，四边形DBCE是平行四边形BC=DE点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系10（2006巴中）已知：如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形问当P
26、，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？考点：平行四边形的判定与性质；梯形。专题：动点型。分析：若四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，那么QD=CQ或AP=BQ，根据这个结论列出方程就可以求出时间解答：解：设P，Q同时出发t秒后四边形PDCQ或四边形APQB是平行四边形，根据已知得到AP=t，PD=24t，CQ=2t，BQ=302t（1）若四边形PDCQ是平行四边形，则PD=CQ，24t=2tt=88秒后四边形PDCQ是平行四边形；（2）若四边形APQB是平行四边形，则AP=BQ，t=302tt=1010秒后四边形APQB是平行四边形点评：此题主要考查了平行四边形的性质与判定，
27、不过用运动的观点结合梯形的知识出题学生不是很适应11（2002三明）如图：已知D、E、F分别是ABC各边的中点，求证：AE与DF互相平分考点：平行四边形的判定与性质；三角形中位线定理。专题：证明题。分析：要证AE与DF互相平分，根据平行四边形的判定，就必须先四边形ADEF为平行四边形解答：证明：D、E、F分别是ABC各边的中点，根据中位线定理知：DEAC，DE=AF，EFAB，EF=AD，四边形ADEF为平行四边形故AE与DF互相平分点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键三角形的中位线的性质定理，为证明线段相等和平行提供了依据12已知：如图，在ABCD中
28、，对角线AC交BD于点O，四边形AODE是平行四边形求证：四边形ABOE、四边形DCOE都是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质。专题：证明题。分析：因为ABCD，OB=OD，又AODE是平行四边形，AE=OD，所以AE=OB，又AEOD，根据平行四边形的判定，可推出四边形ABOE是平行四边形同理，也可推出四边形DCOE是平行四边形解答：证明：ABCD中，对角线AC交BD于点O，OB=OD，又四边形AODE是平行四边形，AEOD且AE=OD，AEOB且AE=OB，四边形ABOE是平行四边形，同理可证，四边形DCOE也是平行四边形点评：此题要求掌握平行四边形的判定定理：有一组对边平行且相等的四
29、边形是平行四边形13如图，已知四边形ABCD中，点E，F，G，H分别是AB、CD、AC、BD的中点，并且点E、F、G、H有在同一条直线上求证：EF和GH互相平分考点：平行四边形的判定与性质。专题：证明题。分析：要证明EF和GH互相平分，只需构造一个平行四边形，运用平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分即可证明解答：证明：连接EG、GF、FH、HE，点E、F、G、H分别是AB、CD、AC、BD的中点在ABC中，EG=BC；在DBC中，HF=BC，EG=HF同理EH=GF四边形EGFH为平行四边形EF与GH互相平分点评：本题考查的是综合运用平行四边形的性质和判定定理熟练掌握性质定理和判定定理
30、是解题的关键平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系14如图：ABCD中，MNAC，试说明MQ=NP考点：平行四边形的判定与性质。专题：证明题。分析：先证AMQC为平行四边形，得AC=MQ，再证APNC为平行四边形，得AC=NP，进而求解解答：证明：四边形ABCD是平行四边形，AMQC，APNC又MNAC，四边形AMQC为平行四边形，四边形APNC为平行四边形AC=MQ AC=NPMQ=NP点评：本题考查的知识点为：两组对边分别平行的四边形是平行四边形15已知：如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点
31、O并且分别和AB，CD相交于点E，F，点G，H分别为OA，OC的中点求证：四边形EHFG是平行四边形考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：要证四边形EHFG是平行四边形，需证OG=OH，OE=OF，可分别由四边形ABCD是平行四边形和OEBOFD得出解答：证明：如答图所示，点O为平行四边形ABCD对角线AC，BD的交点，OA=OC，OB=ODG，H分别为OA，OC的中点，OG=OA，OH=OC，OG=OH又ABCD，1=2在OEB和OFD中，1=2，OB=OD，3=4，OEBOFD，OE=OF四边形EHFG为平行四边形点评：此题主要考查平行四边形的判定：对角
32、线互相平分的四边形是平行四边形16如图，已知在ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，BE=DF，点G、H分别在BA和DC的延长线上，且AG=CH，连接GE、EH、HF、FG（1）求证：四边形GEHF是平行四边形；（2）若点G、H分别在线段BA和DC上，其余条件不变，则（1）中的结论是否成立？（不用说明理由）考点：平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质。专题：证明题；探究型。分析：（1）先由平行四边形的性质，得AB=CD，ABCD，根据两直线平行内错角相等得GBE=HDF再由SAS可证GBEHDF，利用全等的性质，证明GEF=HFE，从而得GEHF，又GE=HF，运用一组对边平行且相等
33、的四边形是平行四边形得证（2）仍成立可仿照（1）的证明方法进行证明解答：（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AB=CD，ABCD，GBE=HDF又AG=CH，BG=DH又BE=DF，GBEHDFGE=HF，GEB=HFD，GEF=HFE，GEHF，四边形GEHF是平行四边形（2）解：仍成立（证法同上）点评：本题考查的知识点为：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形17如图，在ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线一点，过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连接AE、CF（1）求证：AF=CE；（2）如果AC=EF，且ACB=135，试判断四边形AFCE是什么样的四边形，并证
34、明你的结论考点：平行四边形的判定与性质；正方形的判定。专题：证明题。分析：（1）由AFEC，根据平行线的性质得到DFA=DEC，DAF=DCE，而DA=DC，易证得DAFDCE，得到结论；（2）由AFEC，AF=CE，根据平行四边形的判定得到四边形AFCE是平行四边形，再根据对角线相等即AC=EF，可判断平行四边形AFCE是矩形，则FCE=CFA=90，通过ACB=135，可得到FCA=13590=45，则易判断矩形AFCE是正方形解答：（1）证明：AFEC，DFA=DEC，DAF=DCE，D是AC的中点，DA=DC，DAFDCE，AF=CE；（2）解：四边形AFCE是正方形理由如下：AFEC
35、，AF=CE，四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，平行四边形AFCE是矩形，FCE=CFA=90，而ACB=135，FCA=13590=45，FAC=45，FC=FA，矩形AFCE是正方形点评：本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形也考查了矩形、正方形的判定方法18如图平行四边形ABCD中，ABC=60，点E、F分别在CD、BC的延长线上，AEBD，EFBF，垂足为点F，DF=2（1）求证：D是EC中点；（2）求FC的长考点：平行四边形的判定与性质。分析：（1）根据平行四边形的对边平行可以得到ABCD，又AEBD，可以证明四边形ABDE是平行四边形，所以
36、AB=DE，故D是EC的中点；（2）连接EF，则EFC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到CDF是等腰三角形，再利用ABC=60推得DCF=60，所以CDF是等边三角形，FC=DF，FC的长度即可求出解答：（1）证明：在平行四边形ABCD中，ABCD，且AB=CD，又AEBD，四边形ABDE是平行四边形，AB=DE，CD=DE，即D是EC的中点；（2）解：连接EF，EFBF，EFC是直角三角形，又D是EC的中点，DF=CD=DE=2，在平行四边形ABCD中，ABCD，ABC=60，ECF=ABC=60，CDF是等边三角形，FC=DF=2故答案为：2点评：本题主要考查了
37、平行四边形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及等边三角形的判定，熟练掌握性质定理并灵活运用是解题的关键，（2）中连接EF构造出直角三角形比较重要19（2010厦门）如图，已知ABC是等边三角形，点D、F分别在线段BC、AB上，EFB=60，DC=EF（1）求证：四边形EFCD是平行四边形；（2）若BF=EF，求证：AE=AD考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题。分析：（1）由ABC是等边三角形得到B=60，而EFB=60，由此可以证明EFDC，而DC=EF，然后即可证明四边形EFCD是平行四边形；（2）如图，连接BE，由BF=EF，E
38、FB=60可以推出EFB是等边三角形，然后得到EB=EF，EBF=60，而DC=EF，由此得到EB=DC，又ABC是等边三角形，所以得到ACB=60，AB=AC，然后即可证明AEBADC，利用全等三角形的性质就证明AE=AD解答：证明：（1）ABC是等边三角形，ABC=60，EFB=60，ABC=EFB，EFDC（内错角相等，两直线平行），DC=EF，四边形EFCD是平行四边形；（2）连接BEBF=EF，EFB=60，EFB是等边三角形，EB=EF，EBF=60DC=EF，EB=DC，ABC是等边三角形，ACB=60，AB=AC，EBF=ACB，AEBADC，AE=AD点评：此题把等边三角形和
39、平行四边形结合在一起，首先利用等边三角形的性质证明平行四边形，然后利用等边三角形的性质证明全等三角形，最后利用全等三角形的性质解决问题20（2010滨州）如图，四边形ABCD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点（1）请判断四边形EFGH的形状？并说明为什么；（2）若使四边形EFGH为正方形，那么四边形ABCD的对角线应具有怎样的性质？考点：平行四边形的判定；三角形中位线定理；正方形的性质。专题：证明题。分析：（1）连接AC，利用中位线定理即可证明四边形EFGH是平行四边形；（2）由于四边形EFGH为正方形，那么它的邻边互相垂直且相等，根据中位线定理可以推出四边形ABCD的对角线应
40、该互相垂直且相等解答：解：（1）如图，四边形EFGH是平行四边形连接AC，E、F分别是AB、BC的中点，EFAC，EF=AC同理HGAC，EFHG，EF=HGEFGH是平行四边形；（2）四边形ABCD的对角线垂直且相等假若四边形EFGH为正方形，它的每一组邻边互相垂直且相等，根据中位线定理得到四边形ABCD的对角线应该互相垂直且相等点评：此题主要考查了三角形的中位线定理，及平行四边形的判定，正方形的性质等知识21（2008佛山）如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形（1）当ABAC时，证明：四边形ADFE为平行四边形；（2）当AB=AC时，顺次连接A、D、F、E四点所构成的图
41、形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件考点：平行四边形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质。专题：证明题。分析：（1）要证明ADEF是平行四边形，可通过证明EF=AD，DF=AE来实现，AD=AC，AE=AB，那么只要证明ABCDFC以及FEBCAB即可AD=DC，CF=CB，又因为FCB=ACD=60，那么都减去一个ACE后可得出BCA=FCD，那么就构成了SAS，ABCDFC，就能求出AE=DF，同理可通过证明FEBCAB得出EF=AD（2）可按BAC得度数的不同来分情况讨论，如果BAC=60，EAD+BAC+DAC=180，因此，A与F重合A、D、F、E四点所构成的图形为一条线段当BAC60时，由（1）AE=AB=AC=AD，因此A、D、F、E四点所构成的图形是菱形解答：（1）证明：ABE、BCF为等边三角形，AB=BE=AE，BC=CF=FB，ABE=CBF=60CBA=FBEABCEBFEF=AC又ADC为等边三角形，CD=AD=ACEF=AD同理可得AE=DF四边形AEFD是平行四边形（2）解：构成的图形有两类，